2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊8.1向量的坐標表示及其運算教案八滬教版一、教學(xué)內(nèi)容分析向量的概念對學(xué)生而言并不陌生，在物理中早有矢量的學(xué)習(xí)，所以入門并不困難。同時向量又是數(shù)形結(jié)合的重要橋梁，在解析幾何和立體幾何中都有重要的應(yīng)用，所以向量的一些基本概念及基本運算的掌握至關(guān)重要。 二、教學(xué)目標設(shè)計1理解向量的概念，會區(qū)分標量與向量。2理解向量的模、相等的向量、零向量、負向量、平行的向量等概念。3掌握向量加法、減法的概念，會利用平行四邊形法則或三角形法則作兩個向量的和。4理解向量加法所滿足的運算率。5理解向量減法是向量加法的逆運算。三、教學(xué)重點及難點重點：向量的概念、向量加法的概念難點：平行四邊形法則和三角形法則四、教學(xué)用具準備直尺、投影儀、多媒體實例引入五、教學(xué)流程設(shè)計幾何理解向量及向量的加減法概念符號運用與深化(例題解析、鞏固練習(xí))課堂小結(jié)并布置作業(yè)六、教學(xué)過程設(shè)計一、向量1設(shè)置情境師：（邊畫圖邊講解）美國“小鷹”號航空母艦導(dǎo)彈發(fā)射處接到命令：向1200公里處發(fā)射兩枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈（精度10米左右，射程超過2000公里），試問導(dǎo)彈是否能擊中伊拉克的軍事目標？ 生：不能，因為沒有給定發(fā)射的方向師：現(xiàn)實生活中還有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？生：力、速度、加速度等有大小也有方向，溫度和長度只有大小沒有方向師：對！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我們把既有大小又有方向的量叫做向量數(shù)學(xué)中用點表示位置，用射線表示方向常用一條有向線段表示向量在數(shù)學(xué)中，通常用點表示位置，用射線表示方向（1）意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等（2）向量的表示方法： A(起點) B（終點）a幾何表示法：點和射線 有向線段具有一定方向的線段 有向線段的三要素：起點、方向、長度符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段記作（注意起訖）AB北 字母表示法：可表示為（印刷時用黑體字） 例 用1cm表示5n mail（海里）（3）模的概念：向量的大小長度稱為向量的模。記作：|，模是可以比較大小的注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。 從19世紀末到20世紀初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。2探索研究（學(xué)生自學(xué)概念）（1）介紹向量的一些概念師：長度為零的向量叫什么向量？如何表示？長度為1的向量叫做什么向量？是不是只有一個？（學(xué)生看書回答）生：長度為零的向量叫做零向量，表示為：0；長度等于1的向量叫做單位向量，有許多個，每個方向都有一個師：滿足什么條件的兩個向量是相等向量？符號如何表示？單位向量是相等向量嗎？生：如果兩個向量大小相等且方向相同，那么這兩個向量叫做相等向量，a=b單位向量不一定是相等向量，單位向量的方向不一定相同師：有一組向量，它們的方向相同或相反，那么這組向量有什么關(guān)系？生：平行師：對！我們把方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量，符號如何表示？如果我們把一組平行向量的起點全部移到同一點，這時它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？生：是平行向量， a/b，各向量的終點都在同一條直線上師：對！由此，我們把平行向量又叫做共線向量（2）例題分析【例1】判斷下列命題真假或給出問題的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）與零向量相等的向量是什么向量？（4）與任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（6）兩個非零向量相等的充要條件是什么？（7）共線向量一定在同一直線上嗎？解：（1）根據(jù)定義：平行向量可以方向相反，故命題（1）為假； （2）平行向量沒有長、短要求，故命題（2）為假； （3）只有零向量； （4）零向量； （5）平行向量； （6）模相等且方向相同； （7）不一定，只要它能被平移成共線就行說明：零向量是向量，只不過它的起、終點重合依定義、其長度為零【例2】如圖1，設(shè)是正六邊形的中心，分別寫出圖中與向量、，相等的向量解：練習(xí)：（投影）在上題中變式一，與向量長度相等的向量有多少個？（11個）變式二，是否存在與向量長度相等，方向相反的向量？（存在）變式三，與向量共線的向量有哪些？（有、和）3演練反饋（投影）（1）下列各量中是向量的是（ ）A動能 B重量C質(zhì)量 D長度（2）等腰梯形中，對角線 與相交于點，點、分別在兩腰、上，過且，則下列等式正確的是（ ）A BC D（3）物理學(xué)中的作用力和反作用力是模_且方向_的共線向量參考答案：（1）B； （2）D； （3）相等，相反4總結(jié)提煉（1）描述一個向量有兩個指標：模、方向（2）平行概念不是平面幾何中平行線概念的簡單移植，這兒的平行是指方向相同或相反的一對向量，它與長度無關(guān)，它與是否真的不在一條直線上無關(guān)（3）向量的圖示，要標上箭頭及起、終點，以體現(xiàn)它的直觀性二、向量的加法1設(shè)置情境請同學(xué)看這樣一個問題：（投影）（1）由于大陸和臺灣沒有直航，因此xx年春節(jié)探親，要先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和時什么？（2）如圖1（2），飛機從到，再改變方向從到，則兩次位移的和是，應(yīng)該是_（3）如圖1（3），船的速度是，水流速度是則兩個速度的和是應(yīng)該是_圖1A BCA BC上海香港臺北生：（1）這人兩次的位移的和是從臺北到上海；（2）飛機兩次位移的和是；（3）兩個速度的和是師：很好！兩人向量的和仍是一個向量本節(jié)課就來研究兩個向量的和（板書課題：向量的加法）2探索研究（1）向量的加法的定義： 已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，則向量叫做 向量的和。記作： 即零向量與任意向量，有（2）兩個向量的和向量的作法：三角形法則:兩個向量“首尾”相接 注意：1三角形法則對于兩個向量共線時也適用； 2兩個向量的和向量仍是一個向量 例1已知向量，求作向量 作法：在平面內(nèi)任取一點O，作 ，則平行四邊形法則： 由同一點A為起點的兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的向量就是向量的和。這種作兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則 注意：平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用 3向量和與數(shù)量和的區(qū)別： 當向量不共線時，的方向與不同向，且當向量同向時，的方向與同向，且 當向量反向時，若，則的方向與同向，且；若，則的方向與反向，且；4向量的運算律：交換律： 證明：當向量不共線時,如上圖，作平行四邊形ABCD，使， 則, 因為， 所以 當向量共線時，若與同向，由向量加法的定義知： 與同向，且 與同向，且，所以 若與反向，不妨設(shè)，同樣由向量加法的定義知：與同向，且與同向，且，所以 綜上，結(jié)合律：學(xué)生自己驗證。由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，對于多個向量的加法運算就可以按照任意的次序與任意的組合來進行了例如： 例2如圖，一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時喝水的流速為，求船實際航行的速度的大小與方向。解：設(shè)表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度在中，所以因為答：船實際航行的速度的大小為，方向與水流速間的夾角為4演練反饋（投影）（1）在平行四邊形中，則用、表示向量的是（ ）A B C0 D（2）若為內(nèi)一點，則是的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心（3）下列各等式或不等式中一定不能成立的個數(shù)（ ）圖5A0 B1 C2 D35總結(jié)提煉（1）是一個向量，在三角形法則下：平移向量，使的起點與的終點重合，則就是以的起點為起點，的終點為終點的新向量（2）一組首尾相接的向量和：，如圖5（3）對任意兩個向量、，任有成立三、向量的減法1設(shè)置情境上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算：減法（板書課題：向量的減法）2探索研究（1）向量減法相反向量：與長度相等，方向相反的向量叫做相反向量。記作 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量 注意：1與互為相反向量。即 2任意向量與它的相反向量的和是零向量。即 3如果、是互為相反向量，那么 與的差：向量加上的相反向量，叫做與的差 即向量的減法：求兩個向量的差的運算叫做向量的減法的作法：已知向量、，在平面內(nèi)任取一點O，作，則。即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量 思考：為從向量的終點指向向量的終點的向量是什么？（）師：還可以從加法的逆運算來定義，如圖1所示，因為，所以就是，因而只要作出了，也就作出了圖1要作出，可以在平面內(nèi)任取一點，作，則師：若兩向量平行，如何作它們的差向量？兩個向量的差仍是一個向量嗎？它們的大小如何（的幾何意義）？方向怎樣？生：兩個向量的差還是一個向量，的大小是，是連接、的終點的線段，方向指向被減向量練習(xí)：（投影）判斷下列命題的真假（1）（ ）（2）相反向量就是方向相反的向量（ ）（3）（ ）（4）（ ）參考答案：、（2）例題分析【例1】已知向量、，求作向量，師：已知的四個向量的起點不同，要作向量與，首先要做什么？生：首先在平面內(nèi)任取一點，作，作、，則，圖2【例2】如圖3所示，中，用、表示向量、圖3師：由平行四邊形法則得由作向量差的方法得練習(xí)：（投影）對例2進行變式訓(xùn)練變式一，本例中，當、滿足什么條件時，與互相垂直？變式二，本例中，當、滿足什么條件時，？變式三，本例中，與有可能相等嗎？為什么？參考答案：變式一：當為菱形時，即時，與垂直變式二：當為長方形時，即變式三：不可能，因為的對角線總是方向不同的3演練反饋（投影）（1）中，則等于（ ）A B C D（2）下列等式中，正確的個數(shù)是（ ）； ； ； ； A5 B4 C3 D2（3）已知，則的取值范圍是_參考答案：（1）B； （2）B； （3）3，134總結(jié)提煉（1）相反向量是定義向量減法的基礎(chǔ)，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量：（2）向量減法有兩種定義：將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算：將減法運算定義為加法運算的逆運算：如果，則從作圖上看這兩種定義沒有本質(zhì)區(qū)別，前一個定義就是教材采用的定義法，但作圖稍繁一點；后一種定義便于作圖和記憶，兩個有相同起點的向量相減，所得向量是連接兩向量終點，并且指向被減向量的終點七、教學(xué)設(shè)計說明作為向量這一章節(jié)的開篇，根據(jù)一般的認識規(guī)律和學(xué)生的心理特征，可以由實例引入，由淺入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使學(xué)生很好的理解新概念、新規(guī)則。