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1、函數(shù)概念發(fā)展的四個重要時期 一、函數(shù)概念的萌芽時期 函數(shù)思想是隨數(shù)學(xué)開始研究事物的運(yùn)動變化而出現(xiàn)的。早期的數(shù)學(xué)是不研究事物的運(yùn)動變化的。古希臘數(shù)學(xué)家亞里斯多德曾指出，數(shù)學(xué)研究的是抽象的概念，而抽象概念是來自事物靜止不動的屬性。例如數(shù)學(xué)中的數(shù)、線、形，這些數(shù)學(xué)對象都不包括運(yùn)動，運(yùn)動變化是物理學(xué)研究物體的對象，等等。受其影響，直到14世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才開始研究物體的運(yùn)動問題。到了16世紀(jì)，由于實踐的需要，自然科學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)\(yùn)動的研究，自然各種變化和各種變化著的量之間的關(guān)系成為數(shù)學(xué)家注意的對象。伽利略是最早開展這方面研究的科學(xué)家之一，在他的著作中多處使用比例的語言表達(dá)了量與量之間的依賴關(guān)系，例如從靜止?fàn)?/p>

2、態(tài)自由下落的物體所經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比，等等。這正是函數(shù)概念所表達(dá)的思想意義。 16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在研究曲線問題時，注意到量的變化及量之間的依賴關(guān)系，在數(shù)學(xué)中引時了變量思想，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑，也為數(shù)函數(shù)的產(chǎn)生準(zhǔn)備了思想基礎(chǔ)。但直到17世紀(jì)下半期，牛頓-萊布尼茨建立微積分時還沒有明確的函數(shù)概念。 函數(shù)作為數(shù)學(xué)術(shù)語是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1673年引進(jìn)的，當(dāng)時萊布尼茨指的是曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂結(jié)的長度等，凡與曲線上的有關(guān)的量，稱為函數(shù)。從這個定義可以看出，萊布尼茨利用了幾何概念，在幾何的范圍內(nèi)提示了某些量之間的依存關(guān)系。 總之，18世紀(jì)以前，函數(shù)的研究

3、多從屬于曲線的研究，帶有“幾何”烙印的萊布尼茨的函數(shù)定義廳以說是這個時期函數(shù)思想發(fā)展的總結(jié)。 二、 函數(shù)概念的“解析定義”時期 18世紀(jì)微積分的發(fā)展促進(jìn)了函數(shù)概念“解析定義的發(fā)展。出生于伯努利家族的雅各.伯努利和約翰.伯努利兩兄弟，在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域有過建樹，他們不但整理加工了萊布尼茨零碎而又是梗概性的文章，而且他們對函數(shù)概念的發(fā)展也做了創(chuàng)造性的工作。在研究積分計算問題上，約翰.伯努力認(rèn)為：積分計算的目的是給定變量的微分中，找出變量本身之間的關(guān)系。在對待”找出變量本身之間的關(guān)系”.的表示上，顯然用萊布尼茨定義的函數(shù)表示是困難的。于是1718年約翰.伯努利從解析的角度給出了函數(shù)的定義：變量的函

4、數(shù)就是變量和常數(shù)以任何方式組成的表達(dá)式，記作X或ζ。其后，他對函數(shù)記號又作了改進(jìn)，用φx表示x的函數(shù)。記號f(x)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1734年引進(jìn)的。 歐拉是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，他的研究涉及數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，在歐拉時代，主要運(yùn)算關(guān)系是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算，歐拉把由這些運(yùn)算結(jié)合起來的變量和常數(shù)而得到的式子稱為解析表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，歐拉把伯努利的函數(shù)定義改進(jìn)了一步，1748年歐拉在他的《無窮小分析引論》中寫到：變量的函數(shù)是一個解析表達(dá)式，它是這個變量和一些常數(shù)以任何方式組成的。歐拉又稱這種“解析函數(shù)”。另外，歐拉在這部著作中還定義了多元函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)，這對函數(shù)意義

5、的認(rèn)識起到很重要的作用。 1750年左右，在研究弦振動問題時，歐拉發(fā)現(xiàn)所有的解析式都能用一條曲線表示，但并不是所有的曲線都能用一條曲線來表示，又由于當(dāng)時積分運(yùn)算的發(fā)展以及對橢圓積分的進(jìn)一步認(rèn)識，歐擔(dān)意識到原的函數(shù)定義有些狹隘，于是他相繼給出了比上述定義更廣泛的函數(shù)定義：若某些量以如下方式依賴于另一些量，即當(dāng)后者變化時前者也隨之而變化，則稱前量是后量的函數(shù)。 函數(shù)概念雖經(jīng)伯努利、歐拉等人的努力，其意義有了較大的擴(kuò)展，但在當(dāng)時，人們對函數(shù)的認(rèn)識普遍是：(1)連續(xù)曲線所給的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并一定能由一個解析式來表示；（2）把不連續(xù)的曲線或折線分成多條曲線或折線而建立的函數(shù)，不是一個函數(shù)而是多個函

6、數(shù)的集合，故絕不可能用一個解析式表示。能用一個式子表示的函數(shù)稱作真函數(shù)，其余的都叫偽函數(shù)；（3）基于對多項式相等的認(rèn)識，認(rèn)為對區(qū)間[a,b]上的一切值，恒有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)是相同的，從而對[a,b]以外的x的值，這兩個函數(shù)的值也相待；（4）只有周期性曲線才能用周期函數(shù)（三角類）表示。 對于上述認(rèn)識，1807年中，法國數(shù)學(xué)家傅立葉在他的《熱的分析理論》一文中，舉了如下例子來說明“由不連續(xù)的線給出的函數(shù)能用一個三角函數(shù)式來表示”。 函數(shù)是不連續(xù)的。如果令n=1,2,3……，則此函數(shù)可用所得到的無窮多個子工來表示。傅立葉還證明了這個不連續(xù)線可唯一地用 y=+++…… 來表示。這說明（1

7、）函數(shù)能否用唯一的一個式子表示，作為區(qū)分函數(shù)的真?zhèn)蔚臉?biāo)準(zhǔn)，顯然是不合理的；(2)直線 y= 與式子y=+++……所表示的線，在0

8、值的量叫做變量。當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中一個的值，就可以決定所有其他變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表達(dá)的，這時這個量就取名為自變量，而由這自變量表示的其他量就叫做這個自變量的函數(shù)。按照這個定義，只要由自變量x的一個值就可以決定y的相應(yīng)值 ，則y就 是x的函數(shù)。顯然，這個函數(shù)定義比以往的要廣泛得多，。后來德國數(shù)學(xué)家狄利克雷和黎曼注意到，重要的不是“自變”所引起的因變現(xiàn)象，應(yīng)該是變量間的“對應(yīng)”關(guān)系。1837年，狄利克雷給出了意義更廣泛的函數(shù)定義。 狄氏的函數(shù)定義：若對給定區(qū)間上x每個值，有唯一的一個y值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。 狄利克雷上的述定

9、義，成功地引進(jìn)了“單值”對應(yīng)這個概念，巧妙地避免了過去函數(shù)定義中的不明確的“依賴關(guān)系”的描述，以清晰完美的方式表達(dá)了變量間的依賴關(guān)系，被19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家普遍接受，成為函數(shù)的近代定義的原型。按照這個定義可以清楚地解釋函數(shù)： f(x)= 對于這個函數(shù)狄利克雷還巧妙地給出了它的極限形式： 四、 函數(shù)概念的“集合定義”時期 19世紀(jì)70年代 ，康托的集合論誕生以前，函數(shù)的研究僅限于數(shù)的范圍內(nèi)。集合論的產(chǎn)生對函數(shù)概念的研究也突破了“數(shù)”的界限。20世紀(jì)初，美國數(shù)學(xué)家維布倫首先使用集合給出了以下概念定義:(1)變量定義。所謂變量，就是代表事物的集合中任一事物的記號；（2）常量定義。常量是變量

10、的特殊情形，即是上述集合中只含有一個事物時的變量；（3）區(qū)域定義。變量x所代表的“事物的集合”稱為該變量的區(qū)域或變域。 這組定義比以往使用的變量、區(qū)域的意義更一般，因為它突破了數(shù)的限制，并且這個變量定義還彌補(bǔ)了過去的變量包含的“變動”意思的不明確缺陷。利用這組定義，維布倫給出了以下函數(shù)定義：若在變量y的集合與另一變量x的集合之間，有這樣的關(guān)系成立，即對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。 后來數(shù)學(xué)家又注意到“對應(yīng)”意義也不夠明確，于是法國布爾巴基學(xué)派用“有序?qū)Α贝媪恕皩?yīng)”，提高了概念的準(zhǔn)確性，從而也擴(kuò)大函數(shù)的適用范圍。 布爾巴基的函數(shù)定義：設(shè)A和B是兩個集合，f是AXB的一個非空子集，若f滿足對于任意a ∈A，存在唯一的b∈B，使（a,b）∈f，則稱f為A到B的一個函數(shù)。 總之，在函數(shù)概念的發(fā)展過程中，函數(shù)概念是一步步走向完善的，而且每一步所建立的函數(shù)新概念，總是全部包含以前的函數(shù)概念，直到成庫今天這樣優(yōu)美、精確而令人贊嘆的形式。