2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 6.1 不等式的性質教案網絡體系總覽考點目標定位1.理解不等式的性質及應用.2.掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單地應用.3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|b|ab|a|+|b|.復習方略指南本章內容在高考中，以考查不等式的性質、證明、解法和最值方面的應用為重點，多數(shù)是與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何綜合在一起被考查，單獨考查不等式的問題較少，尤其是不等式的證明題.借助不等式的性質及證明，主要考查函數(shù)方程思想、等價轉化思想、數(shù)形結合思想及分類討論思想等數(shù)學思想方法.含參數(shù)不等式的解法與討論，不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角等內容的綜合問題，仍將是今后高考命題的熱點.本章內容理論性強，知識覆蓋面廣，因此復習中應注意：1.復習不等式的性質時，要克服“想當然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準則和實數(shù)的運算法則為依據.2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構造法、幾何法，這些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧賓奪主.3.解（證）某些不等式時，要把函數(shù)的定義域、值域和單調性結合起來.4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用.5.利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.對于含有絕對值的不等式（問題），要緊緊抓住絕對值的定義實質，充分利用絕對值的幾何意義.7.要強化不等式的應用意識，同時要注意到不等式與函數(shù)方程的對比與聯(lián)系.6.1 不等式的性質知識梳理1.比較準則：ab0ab；ab=0a=b；ab0ab.2.基本性質：（1）abba.（2）ab，bcac.（3）aba+cb+c；ab，cda+cb+d.（4）ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd.（5）ab0（nN，n1）；ab0anbn（nN，n1）.3.要注意不等式性質成立的條件.例如，重要結論：ab，ab0，不能弱化條件得ab，也不能強化條件得ab0.4.要正確處理帶等號的情況.如由ab，bc或ab，bc均可得出ac；而由ab，bc可能有ac，也可能有a=c，當且僅當a=b且b=c時，才會有a=c.5.性質（3）的推論以及性質（4）的推論可以推廣到兩個以上的同向不等式.6.性質（5）中的指數(shù)n可以推廣到任意正數(shù)的情形.特別提示不等式的性質從形式上可分兩類：一類是“”型；另一類是“”型.要注意二者的區(qū)別.點擊雙基1.若ab0，則下列不等式不能成立的是A.B.2a2bC.|a|b|D.（）a（）b解析：由ab0知ab0，因此ab，即成立；由ab0得ab0，因此|a|b|0成立.又（）x是減函數(shù)，所以（）a（）b成立.故不成立的是B.答案：B2.（xx年春季北京，7）已知三個不等式：ab0，bcad0，0（其中a、b、c、d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是A.0B.1C.2D.3解析：由ab0，bcad0可得出0.bcad0，兩端同除以ab，得0.同樣由0，ab0可得bcad0.ab0.答案：D3.設（0，），0，那么2的范圍是A.（0，）B.（，）C.（0，）D.（，）解析：由題設得02，0.0.2.答案：D4.ab0，m0，n0，則，的由大到小的順序是_.解析：特殊值法即可答案：5.設a=2，b=2，c=52，則a、b、c之間的大小關系為_.解析：a=2=0，b0.c=52=0. bc=37=0.cba.答案：cba典例剖析【例1】 已知1a+b3且2ab4，求2a+3b的取值范圍.剖析：a+b，ab的范圍已知，要求2a+3b的取值范圍，只需將2a+3b用已知量a+b，ab表示出來.可設2a+3b=x（a+b）+y（ab），用待定系數(shù)法求出x、y.解：設2a+3b=x（a+b）+y（ab），解得（a+b），2（ab）1.（a+b）（ab），即2a+3b.評述：解此題常見錯誤是：1a+b3，2ab4.+得12a7.由得4ba2.+得52b1，3b.+得2a+3b.思考討論1.評述中解法錯在何處?2.該類問題用線性規(guī)劃能解嗎?并試著解決如下問題：已知函數(shù)f（x）=ax2c，滿足4f（1）1，1f（2）5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20 1【例2】 （xx年福建，3）命題p：若a、bR，則|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=的定義域是（，13，+），則A.“p或q”為假B.“p且q”為真C. p真q假D. p假q真剖析：只需弄清命題p、q的真假即可.解：|a+b|a|+|b|，若|a|+|b|1不能推出|a+b|1，而|a+b|1一定有|a|+|b|1，故命題p為假.又函數(shù)y=的定義域為|x1|20，|x1|2.x1或x3.q為真.答案：D【例3】 比較1+logx3與2logx2（x0且x1）的大小.剖析：由于要比較的兩個數(shù)都是對數(shù)，我們聯(lián)系到對數(shù)的性質，以及對數(shù)函數(shù)的單調性.解：（1+logx3）2logx2=logx.當或即0x1或x時，有l(wèi)ogx0，1+logx32logx2.當或時，logx0.解得無解，解得1x，即當1x時，有l(wèi)ogx0，1+logx32logx2.當x=1，即x=時，有l(wèi)ogx=0.1+logx3=2logx2.綜上所述，當0x1或x時，1+logx32logx2；當1x時，1+logx32logx2；當x=時，1+logx3=2logx2.評述：作差看符號是比較兩數(shù)大小的常用方法，在分類討論時，要做到不重復、不遺漏.深化拓展函數(shù)f（x）=x2+（b1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）、（x2，0），且x2x11.當tx1時，比較t2+bt+c與x1的大小.提示：令f（x）=（xx1）（xx2），x2+bx+c=（xx1）（xx2）+x.把t2+bt+c與x1作差即可.答案：t2+bt+cx1.闖關訓練夯實基礎1.（xx年遼寧，2）對于0a1，給出下列四個不等式：loga（1+a）loga（1+）；loga（1+a）loga（1+）；a1+aa1；a1+aa.其中成立的是A.B.C.D.解析：0a1，a，從而1+a1+.loga（1+a）loga（1+）.又0a1，a1+aa.故與成立.答案：D2.若p=a+（a2），q=2，則A.pqB.pqC.pqD.pq解析：p=a2+24，而a2+4a2=（a2）2+22，q4.pq.答案：A3.已知12a0，A=1+a2，B=1a2，C=，D=則A、B、C、D按從小到大的順序排列起來是_.解析：取特殊值a=，計算可得A=，B=，C=，D=.DBAC.答案：DBAC4.若13，42，則|的取值范圍是_.解析：42，0|4.4|0.3|3.答案：（3，3）5.已知a2，b2，試比較a+b與ab的大小.解：ab（a+b）=（a1）（b1）1，又a2，b2，a11，b11.（a1）（b1）1，（a1）（b1）10.aba+b.6.設A=xn+xn，B=xn1+x1n，當xR+，nN時，求證：AB.證明：AB=（xn+xn）（xn1+x1n）=xn（x2n+1x2n1x）=xnx（x2n11）（x2n11）=xn（x1）（x2n11）.由xR+，xn0，得當x1時，x10，x2n110；當x1時，x10，x2n10，即x1與x2n11同號.AB0.AB.培養(yǎng)能力7.設0x1，a0且a，試比較|log3a（1x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.解：0x1，當3a1，即a時，|log3a（1x）3|log3a（1+x）3|=|3log3a（1x）|3log3a（1+x）|=3log3a（1x）log3a（1+x）=3log3a（1x2）.01x21，3log3a（1x2）0.當03a1，即0a時，|log3a（1x）3|log3a（1+x）3|=3log3a（1x）+log3a（1+x）=3log3a（1x2）0.綜上所述，|log3a（1x）3|log3a（1+x）3|.8.設a1，令a2=1+.（1）證明介于a1、a2之間；（2）求a1、a2中哪一個更接近于；（3）你能設計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由.（1）證明：（a1）（a2）=（a1） （1）=0.介于a1、a2之間.（2）解：|a2|=|1|=|=|a1|a1|.a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，則a3比a2更接近于.由（2）知|a3|=|a2|a2|.探究創(chuàng)新9.已知x1，n2且nN*，比較（1+x）n與1+nx的大小.解：設f（x）=（1+x）n（1+nx），則（x）=n（1+x）n1n=n（1+x）n11.由（x）=0得x=0.當x（1，0）時，（x）0，f（x）在（1，0）上遞減.當x（0，+）時，（x）0，f（x）在（0，+）上遞增.x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）0.（1+x）n1+nx.評述：理科學生也可以用數(shù)學歸納法證明.思悟小結1.不等式的性質是解、證不等式的基礎，對任意兩實數(shù)a、b有ab0ab，ab=0a=b，ab0ab，這是比較兩數(shù)（式）大小的理論根據，也是學習不等式的基石.2.一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質，并注意解題中靈活、準確地加以應用.3.對兩個（或兩個以上）不等式同加（或同乘）時一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.對于含參問題的大小比較要注意分類討論.教師下載中心教學點睛1.加強化歸意識，把比較大小問題轉化為實數(shù)的運算.2.通過復習要強化不等式“運算”的條件.如ab、cd在什么條件下才能推出acbd.3.強化函數(shù)的性質在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯(lián)系.拓展題例【例1】 已知f（x）=|log2（x+1）|，mn，f（m）=f（n）.（1）比較m+n與0的大??；（2）比較f（）與f（）的大小.剖析：本題關鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號.解：（1）f（m）=f（n），|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.log22（m+1）=log22（n+1）.log2（m+1）+log2（n+1）log2（m+1）log2（n+1）=0，log2（m+1）（n+1）log2=0.mn，1.log2（m+1）（n+1）=0.mn+m+n+1=1.mn+m+n=0.當m、n（1，0或m、n0，+）時，由函數(shù)y=f（x）的單調性知x（1，0時，f（x）為減函數(shù)，x0，+）時，f（x）為增函數(shù)，f（m）f（n）.1m0，n0.mn0.m+n=mn0.（2）f（）=|log2|=log2=log2，f（）=|log2|=log2.=0.f（）f（）.【例2】 某家庭準備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價相同，請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算？解：設該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費總金額分別為y1和y2.一張全票價格為a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.y1y2=a+0.55ax0.75a（x+1）=0.2a（1.25x）.當x1.25時，y1y2；當x1.25時，y1y2.又因x為正整數(shù)，所以當x=1，即兩口之家應選擇乙旅行社；當x2（xN），即三口之家或多于三口的家庭應選擇甲旅行社.