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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式 第7課時 不等式的應(yīng)用教學(xué)案 基礎(chǔ)過關(guān) 2．能夠運用不等式的性質(zhì)、定理和方法分析解決有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，方程實根的分布，解決涉及不等式的應(yīng)用問題和轉(zhuǎn)化為不等式的其它數(shù)學(xué)問題． 典型例題 例1.若關(guān)于x的方程4x＋a2x＋a＋1＝0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍. 解:令t＝2x(t＞0)，則原方程化為t2＋at＋a＋1＝0，變形得 變式訓(xùn)練1：已知方程sin2x－4sinx＋1－a＝0有解，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ） A．[－3，6] B．[－2，6] C．[－3，2] D．[－2，2] 解:B 例2. 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A、B孔的面積忽略不計)． 解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y＝，其中k＞0為比例系數(shù).依題意，即所求的a，b值使y值最小. 根據(jù)題設(shè)，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 得b＝(0＜a＜30) ① 于是 y＝＝ ≥ 當(dāng)a＋2＝時取等號，y達到最小值. 這時a＝6，a＝－10(舍去). 將a＝6代入①式得b＝3. 故當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小. 解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大. 由題設(shè)知 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 即 a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0). 因為 a＋2b≥2， 所以 +ab≤30， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時，上式取等號. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18. 即當(dāng)a＝2b時，ab取得最大值，其最大值為18. 所以2b2＝18.解得b＝3，a＝6. 故當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。? 變式訓(xùn)練2：一批物資要用11輛汽車從甲地運到360千米外的乙地，若車速為v千米/小時，兩車的距離不能小于()2千米，運完這批物資至少需要 （ ） A．10小時 B．11小時 C．12小時 D．13小時 解:C 例3. 已知二次函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b＞c且a＋b＋c＝0. （1） 求證：此函數(shù)的圖象與x軸交于相異的兩個點. （2） 設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得線段的長為l，求證：＜l＜2. 證明:(1)由a＋b＋c＝0得b＝－(a＋c). Δ＝(2b)2－4ac＝4(a＋c)2－4ac ＝4(a2＋ac＋c2)＝4[(a＋)2＋c2]＞0. 故此函數(shù)圖象與x軸交于相異的兩點. (2)∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0. 由a＞b得a＞－(a＋c)，∴＞－2. 由b＞c得－(a+c)＞c，∴＜－. ∴－2＜＜－. l＝|x1－x2|＝. 由二次函數(shù)的性質(zhì)知l∈(，2) 變式訓(xùn)練3：設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2bx＋c (c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有實根． (1)證明：－3＜c≤－1且b≥0； (2)若m是方程f(x)＋1＝0的一個實根，判斷f(m－4)的正負，并加以證明． 證明:(1) 又c＜b＜1，故 又方程f(x)＋1＝0有實根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有實根． 故△＝4b2－4(c－1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0c≥3或c≤－1 由由 (2) f(m)＝－1＜0 ∴c＜m＜1 c－4＜m－4＜－3＜c ∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0 ∴f(m－4)的符號為正． 例4. 一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，甲乙兩地相距S(千米)，水速為常量p(千米/小時)，船在靜水中的最大速度為q(千米/小時)(q＞p)，已知船每小時的燃料費用(以元為單位)與船在靜水中速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系數(shù)為k． ⑴ 把全程燃料費用y(元)表示為靜水中速度v的函數(shù)，并求出這個函數(shù)的定義域． ⑵ 為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度應(yīng)為多少？ 解:(1) y＝kv2，v∈(p，q] (2) i) 2p≤q時，船的實際前進速度為p； ii) 2p＞q時，船的實際前進速度為q－p． 變式訓(xùn)練4：某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同學(xué)，老師們打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需要購買若干張游泳卡外，每次游泳還要包一輛汽車，無論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費均為40元，若使每個同學(xué)游泳8次，每人最少交多少錢？ 解:設(shè)購卡x張，總費用y元． y＝240(x＋)≥3840 x＝8時，ymin＝3840 384048＝80(元) 答：每人最少交80元錢． 歸納小結(jié) 小結(jié)歸納 不等式的應(yīng)用主要有兩類： ⑴ 一類是不等式在其它數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，主要是求字母的取值范圍，這類問題所進行的必須是等價轉(zhuǎn)化．注意溝通各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，活用不等式的概念、方法，融會貫通． ⑵ 一類是解決與不等式有關(guān)的實際問題，這類問題首先應(yīng)認真閱讀題目，理解題目的意義，注意題目中的關(guān)鍵詞和有關(guān)數(shù)據(jù)，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)建模，再運用不等式的有關(guān)知識加以解決．