一 、 曲 線 運(yùn) 動 的 發(fā) 生 條 件 F合 外 力 方 向 與 速 度 方 向 不 在 一 直 線二 、 曲 線 運(yùn) 動 的 特 點(diǎn)速 度 方 向 一 定 變 化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vF nFt三 、 求 解 曲 線 運(yùn) 動 問 題 的 運(yùn) 動 學(xué) 基 本 方 法矢 量 的 合 成 與 分 解 微 元 法 曲 線 運(yùn) 動 的 加 速 度質(zhì) 點(diǎn) 的 瞬 時 加 速 度 定 義 為 0limt va t A vA vB vnv tv 0lim nn t va t 0lim tt t va t 為 求 一 般 的 做 曲 線 運(yùn) 動 質(zhì) 點(diǎn) 在 任 一點(diǎn) 的 瞬 時 加 速 度 ， 通 常 將 其 分 解 為法 向 加 速 度 an與 切 向 加 速 度 at O A點(diǎn) 曲 率 圓n Av vAB n Av v ABt t 0limAn ta 0lim At v ABt 2n va A點(diǎn) 曲 率 圓 半 徑0lim tt t va t aB 在 離 水 面 高 度 為 h的 岸 邊 ， 有 人 用 繩 子 拉 船 靠 岸 ， 若 人 收 繩的 速 率 恒 為 v0， 試 求 船 在 離 岸 邊 s距 離 處 時 的 速 度 與 加 速 度 的 大 小 各 為 多 少 ？ 依 據(jù) 實 際 運(yùn) 動 效 果 分 解 船 的 運(yùn) 動 ：v0 Av vnh s vt船 及 與 船 相 系 的 繩 端 A的 實 際 運(yùn) 動是 水 平 向 左 的 ， 這 可 看 作 是 繩 之 A端 一 方 面 沿 繩 方 向 向 “ 前 方 ” 滑輪 處 “ 收 短 ” ， 同 時 以 滑 輪 為 圓心 轉(zhuǎn) 動 而 成 ， 即 將 實 際 速 度 v分 解成 沿 繩 方 向 “ 收 短 ” 的 分 速 度 vn和垂 直 于 繩 方 向 的 轉(zhuǎn) 動 分 速 度 v t; 注 意 到 繩 子 是 不 可 伸 長 的 ， 人 收 繩 的 速率 v0也 就 是 繩 端 A點(diǎn) 沿 繩 方 向 移 動 速 率 vn: 由 圖 示 v、 vt、 vn矢 量 關(guān) 系 及 位 置 的 幾 何 關(guān) 系 易 得 ： 0nv v0 0cott hv v vs 0sinvv 則 2 2 0h s vs 求船的速度 求船的加速度在 一 小 段 時 間 t內(nèi) ,船 頭 位 置從 A移 A， 繩 繞 滑 輪 轉(zhuǎn) 過 一 小角 度 0: Av v0vtA v v0 tv 0sin vv 0 1 1sin sinv v 由 加 速 度 定 義 得 ： 0limt va t 0cos tancosth ht v v 由 幾 何 關(guān) 系 得 ： cosh 00 0 1 1sin sinlim tancosva hv 則 200 sin sincoslim tan sin sinvh 200 cos sincos 2 2lim tan sin sin2vh 2 30 cotvh 2 203v hs320v hh s 質(zhì) 點(diǎn) 沿 圓 周 做 速 度 大 小 、 方 向 均 變 化的 運(yùn) 動 每 個 瞬 時 的 加 速 度 均 可 分 解 為切 向 加 速 度 at與 法 向 加 速 度 an， 前 者 反 映質(zhì) 點(diǎn) 速 率 變 化 快 慢 ， 后 者 反 映 質(zhì) 點(diǎn) 速 度方 向 變 化 快 慢 如 圖 所 示 ， 質(zhì) 點(diǎn) 從 O點(diǎn) 由 靜 止 開 始 沿 半 徑 為 R的 圓 周 做 速 率均 勻 增 大 的 運(yùn) 動 ， 到 達(dá) A點(diǎn) 時 質(zhì) 點(diǎn) 的 加 速 度 與 速 度 方 向 夾 角 為 ， 質(zhì) 點(diǎn) 通 過 的 弧 s所 對 的 圓 心 角 為 ， 試 確 定 與 間 的 關(guān) 系 vAa AO s atan由 題 給 條 件 2 2tn a ta R則 2 22 , Anta as vRt 而 22 ,A tv a t s R 2n tta a ta R 222stt R 2tanntaa 又 tan 2 如 圖 所 示 ， 質(zhì) 點(diǎn) 沿 一 圓 周 運(yùn) 動 ， 過 M點(diǎn) 時 速 度 大 小 為v， 作 加 速 度 矢 量 與 圓 相 交 成 弦 MA=l， 試 求 此 加 速 度 的 大 小 將 M點(diǎn) 加 速 度 沿 切 向 與 法 向 進(jìn) 行 分 解 ! vaM AlO atan法 向 加 速 度 2sinn va a R 22a vlsin =2而 lR 2sinva R 如 圖 所 示 ， 曲 柄 OA長 40 cm,以 等 角 速 度 =0.5rad/s繞 O軸 反 時 針 方 向 轉(zhuǎn) 動 由 于 曲 柄 的 A端 推 動 水 平 板 B而 使 滑 桿 C沿 豎 直方 向 上 升 ， 求 當(dāng) 曲 柄 與 水 平 線 夾 角 =30 時 ， 滑 桿 C的 加 速 度 桿 A與 B板 接 觸 點(diǎn) 有 相 同 沿 豎 直 方 向 的 加 速 度 !桿 上 A點(diǎn) 加 速 度 2 Aa l O AB CaA aAyaC 20.05m/sBa 21sin 2Ay Aa a l 此 即 滑 桿 C的 加 速 度 C Aya a代 入 數(shù) 據(jù) 得 滑 桿 C的 加 速 度 有 一 只 狐 貍 以 不 變 的 速 度 v1沿 著 直 線 AB逃 跑 ， 一 獵犬 以 不 變 的 速 率 v2追 擊 ， 其 運(yùn) 動 方 向 始 終 對 準(zhǔn) 狐 貍 某 時 刻 狐 貍 在 F處 ， 獵 犬 在 D處 ， FD AB， 且 FD L， 如 圖 試 求 此 時 獵 犬 的 加 速度 的 大 小 設(shè) t時 間 內(nèi) ， v2方 向 變 化 , 0時 : FLA BD A Bv1 v2 v2vv21v t1tan v tL 由 加 速 度 定 義 ， 獵 犬 加 速 度 0limt va t 20limt v t 1 2a vvL 賽 車 在 公 路 的 平 直 段 上 以 盡 可 能 大 的 加 速 度 行 駛 ， 在 0.1 s內(nèi)速 度 由 10.0m s加 大 到 10.5 m s， 那 么 該 賽 車 在 半 徑 為 30 m的 環(huán) 形 公 路 段 行 駛 中 ，要 達(dá) 到 同 樣 大 的 速 度 需 要 多 少 時 間 ？ 當(dāng) 環(huán) 形 公 路 段 的 半 徑 為 多 少 時 ， 賽 車 的 速 度就 不 可 能 增 大 到 超 過 10 m/s？ （ 公 路 的 路 面 是 水 平 的 ） 直 線 加 速 時 車 的 加 速 度 : 20 0 0 5m/stv va t 在 環(huán) 形 公 路 上 ， 法 向 加 速 度 2tn va R 0tt v va t切 向 加 速 度 2 2 20n ta a a 代 入 數(shù) 據(jù) 4 210.5 0.25 25900 t 0.15t 20 0mv aR 當(dāng) 軌 道 半 徑 令 法 向 加 速 度 大 小 等 于 a0:無 切 向 加 速 度 ， 賽 車 速 率 不 會 增 加 m 20mR 質(zhì) 點(diǎn) 沿 半 徑 為 R的 圓 周 運(yùn) 動 ， 初 速 度 的 大 小 為v0 在 運(yùn) 動 過 程 中 ， 點(diǎn) 的 切 向 加 速 度 與 法 向 加 速 度 大 小 恒 相 等 ， 求 經(jīng)時 間 T質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 v 設(shè) 速 率 從 v0增 加 ,取 運(yùn) 動 過 程 中 第 i個 極 短 時 間 t， 由 題 意 有本題用微元法 210limi i i it iv v vt R 120 1lim lim i n i iit n i iv vT t R v 則 1 11 1lim nn i i iR v v 0 1 1 2 11 1 1 1 1 1 nR v v v v v v 11 1lim n i in i i iv vR v v 01 1R v v 00RvRv vT 若 速 率 從 v0減 小 , 有 00RvRv vT y 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動 是 質(zhì) 點(diǎn) 相 對 槽 的 運(yùn) 動 及 與 槽 一 起轉(zhuǎn) 動 兩 者 之 合 運(yùn) 動 如 圖 所 示 ， 圓 盤 半 徑 為 R， 以 角 速 度 繞 盤 心 O轉(zhuǎn) 動 ， 一 質(zhì)點(diǎn) 沿 徑 向 槽 以 恒 定 速 度 u自 盤 心 向 外 運(yùn) 動 ， 試 求 質(zhì) 點(diǎn) 的 加 速 度 AO本 題 討 論 中 介 參 考 系 以 勻 速 轉(zhuǎn) 動 時 ， 質(zhì) 點(diǎn) 加 速 度 的 構(gòu) 成 u 設(shè) 某 一 瞬 時 質(zhì) 點(diǎn) 沿 槽 運(yùn) 動 到 與 O相 距 r的 位 置 A B xOAu rBu r u t t 經(jīng) t時 間 ， 質(zhì) 點(diǎn) 沿 槽 運(yùn) 動 到 與 盤 心 O相 距 r+ut 的位 置 B ， 盤 轉(zhuǎn) 過 了 角 度 t， 故 質(zhì) 點(diǎn) 實 際 應(yīng) 在 位 置 B 在 t時 間 內(nèi) ， 質(zhì) 點(diǎn) 沿 y方 向 速 度 增 量 為 cos sinyv u t r u t t u 在 t時 間 內(nèi) ， 質(zhì) 點(diǎn) 沿 x方 向 速 度 增 量 為 sin cosxv u t r u t t r 注 意 到 t0時 cos 1t sin t t 2 0t 0lim yAy t va t 0limt u r u t t ut 2r 0lim xAx t va t 0limt r u t u t rt 2 u 2 24A ra u 方向與x成1tan 2ru 2r 2 u 牽 連 加 速 度 Aa相 對 中 介 參 考 系 的 加 速 度 a相對牽 連 加 速 度 牽 連 2a r2a u科 y xOA 由 于 參 考 系 轉(zhuǎn) 動 及 質(zhì) 點(diǎn) 對 參 考 系 有 相 對 運(yùn) 動 而產(chǎn) 生 的 ， 方 向 指 向 u沿 方 向 轉(zhuǎn) 過 90 的 方 向 返 回試 手 如 圖 所 示 ,一 等 腰 直 角 三 角 形 OAB在 其 自 身 平 面 內(nèi)以 等 角 速 度 繞 頂 點(diǎn) O轉(zhuǎn) 動 ， 某 一 點(diǎn) M以 等 相 對 速 度 沿 AB邊 運(yùn) 動 ， 當(dāng)三 角 形 轉(zhuǎn) 了 一 周 時 ， M點(diǎn) 走 過 了 AB， 如 已 知 AB b， 試 求 M點(diǎn) 在 A時的 速 度 與 加 速 度 求質(zhì)點(diǎn)的速度O ABM引 入 中 介 參 照 系 -三 角 形 OAB質(zhì) 點(diǎn) 對 軸 O的 速 度 （ 相 對 速 度 ）三 角 形 A點(diǎn) 對 軸 的 速 度 （ 牽 連 速 度 ）質(zhì) 點(diǎn) 對 軸 O的 速 度 （ 絕 對 速 度 ） vM 2 Av b 2MA bv vMA vA?M A MAv v v 三 速 度 關(guān) 系 為 vM2 22 2 22 2 2 cos4524M b bv b b 45 28 4 12b 方向與AB夾角1 2tan 2 1 求質(zhì)點(diǎn)的加速度a a a aM MA A 科相 對 中 介 參 考 系 的 加 速 度 0MAa 牽 連 加 速 度 2 2ba 科 2 2Aa b O ABM aAa科aM 222 22 2 2 2 2 cos452 2M b ba b b 2 22 2 1b 方向與AO夾角 1 1tan 2 1 曲 線 運(yùn) 動 軌 跡 的 曲 率曲 線 的 彎 曲 程 度 用 曲 率 描 述 曲 線 上 某 點(diǎn) 的 曲 率 定 義 為 s 0limtK s 圓 周 上 各 點(diǎn) 曲 率 相 同 : R 1K R R 曲 線 上 各 點(diǎn) 對 應(yīng) 的 半 徑 為 該 點(diǎn)曲 率 倒 數(shù) 1/K的 圓 稱 為 曲 率 圓 ,該圓 圓 心 稱 曲 線 該 點(diǎn) 的 曲 率 中 心 ! M1 用 矢 量 分 解 法 求 橢 圓 長 軸 與 短 軸 端 點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 ,已 知 長 半 軸 與 短 半 軸 為 a和 b. 設(shè) 質(zhì) 點(diǎn) 在 M平 面 內(nèi) 沿 橢 圓 軌 道 以 速 率 v運(yùn) 動 ， 這 個 運(yùn) 動 在 M1平 面 的 一 個 分 運(yùn) 動 軌 道 恰 成 半 徑 為 b的 圓 ， 則 兩 平 面 間 夾 角1cos ba 對 橢 圓 長 軸 端 的 A點(diǎn) : A1 aA12A Ava 對 A點(diǎn) 投 影 A1點(diǎn) : 21A va b1 cosA A Aba a aa 又 2A ba 橢 圓 短 軸 端 B點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 由 B1vvM A aABv aBaB 22 cosB B vva b 2B ab 用 運(yùn) 動 分 解 法 求 拋 物 線 上 某 點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 .y xOp 2p 2 2y px設(shè) 質(zhì) 點(diǎn) 以 速 度 v0做 平 拋 運(yùn) 動0 212x v ty gt 在 中 消 去 t得 22 02vs hg shO2 2y p x v 0v 2 hv ghPg 對 軌 跡 上 的 P點(diǎn) : 2cos vg 式 中 2 20 2v v gh 020cos 2vv gh 2 200 022v ghv gg v h 2 20 0, 2v vg g 32 2 0 02v ghgv 3220 2021 ghv vg 3221 xp p 2 2P p 拋 物 線 上x=p/2點(diǎn) P 旋 轉(zhuǎn) 半 徑 為 r、 螺 距 為 h的 等 距 螺 旋 線 ， 曲 率 半 徑 處處 相 同 試 用 運(yùn) 動 學(xué) 方 法 求 解 曲 率 半 徑 值 設(shè) 物 體 以 v0做 勻 速 率 的 圓 周 運(yùn) 動 、 同 時以 vh沿 垂 直 于 v0方 向 做 勻 速 直 線 運(yùn) 動 ， 每前 進(jìn) 一 個 螺 距 ， 完 成 一 次 圓 周 ， 即 有 02 hr hv v 設(shè) 螺 旋 線 上 任 一 點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 為 則 20n va r 2 20 20 hv v rv 22 21 4h rr 0v hv2 20 hv v hr 受 恒 力 作 用力 與 初 速 度 垂 直軌 跡 為 半 支 拋 物 線勻 變 速 曲 線 運(yùn) 動 vx 物 體 在 時 刻 t的 位 置 20 22 2 10 0121 , tan2 2ss v t h gt gtx v t gt s v 方 向 與 成 s h s 物 體 在 時 刻 t的 速 度 0 22 1 0 0 0, tans h vv v v gt gtv v gt v v 方 向 與 成 0v hv0v v水 平 方 向 勻 速 運(yùn) 動 與 豎 直方 向 自 由 落 體 運(yùn) 動 的 合 成 返 回 0 sin2 cosvt g 2 20 sin2 cosH v g 平 拋 初 速 大 小 不 同 ,落 在 斜 面 上 時 速 度 方 向 相 同 ! H xyv0g02 tanv g 空 中 飛 行 時 間距 斜 面 最 大 高 度沿 斜 面 方 向 的 勻 加 速 運(yùn) 動 與 垂直 斜 面 方 向 的 上 拋 運(yùn) 動 之 合 成 ! 如 圖 所 示 ， 小 冰 球 從 高 為 H 的 光 滑 坡 頂 由 靜 止 開 始下 滑 ， 這 個 坡 的 末 端 形 如 水 平 跳 板 當(dāng) 跳 板 高 h為 何 值 時 ， 冰 球 飛 過的 距 離 s最 遠(yuǎn) ？ 它 等 于 多 少 ？ H hA B 22 2 .hS g H h H h hg 物 體 從 坡 末 端 B水 平 飛 出 后 做 平 拋 運(yùn) 動 :由 基 本 不 等 式 性 質(zhì) , 2H h h Hh 當(dāng) 時maxS H 兩 個 質(zhì) 點(diǎn) 以 加 速 度 g在 均 勻 重 力 場 中 運(yùn) 動 開 始 時兩 個 質(zhì) 點(diǎn) 位 于 同 一 點(diǎn) ， 且 其 中 一 個 質(zhì) 點(diǎn) 具 有 水 平 速 度 v1 3.0 m s；另 一 個 質(zhì) 點(diǎn) 水 平 速 度 v2 4.0 m s， 方 向 與 前 者 相 反 求 當(dāng) 兩 個 質(zhì) 點(diǎn)的 速 度 矢 量 相 互 垂 直 時 ， 它 們 之 間 的 距 離 當(dāng) 兩 質(zhì) 點(diǎn) 速 度 互 相 垂 直 時 ，速 度 矢 量 關(guān) 系 如 圖 示 : v1vyv1t v2tv2vy 1 2 2tan cot tan 3v v 由 矢 量 圖 得1tan 2 3yv v 而 m/s1ta 0. 3n 2vt g s 1 2S v v t 則 m7 35 如 圖 ， 一 倉 庫 高 25 m， 寬 40 m 今 在 倉 庫 前 l m、高 5 m的 A處 拋 一 石 塊 ， 使 石 塊 拋 過 屋 頂 ， 問 距 離 l為 多 大 時 ， 初 速 度v0之 值 最 小 ？ （ g取 10 m/s2） h Sv0l vB A HB 45過 B點(diǎn) 時 速 度 方 向 與 水平 成 45 時 ， 可 以 最小 的 vB越 過 40m倉 庫 頂 ! 2 sin45cos45 BB vS v g 由 Bv gS 2 20sin sin45 2Bv v g H h 從 A到 B豎 直 方 向 分 運(yùn) 動 有 0sin sin45cos45 BB v vl v g 從 A到 B水 平 方 向 分 運(yùn) 動 有 20 3 1l m14.6 m x 岸 木 排 停 泊 在 河 上 ， 到 岸 的 距 離 L 60 m 流 水 速 度同 離 岸 的 距 離 成 比 例 地 增 大 ， 在 岸 邊 u0=0， 而 在 木 排 邊 流 速 uL=2 m/s 小 汽 船 離 開 岸 駛 向 木 排 船 對 水 的 速 度 v=7.2 km/h 問 駕 駛 員在 起 航 前 應(yīng) 該 使 船 指 向 何 方 ， 使 以 后 無 須 校 正 船 速 就 能 靠 上 與 起 航處 正 對 面 的 木 排 ？ 這 時 船 航 行 多 少 時 間 ？ V0=v 流 水 速 度 為 u kx船 的 合 速 度 為 LV u v 在 岸 邊 船 的 合 速 度 大 小 V0=v 方 向 如 示 !12 2L vu k 中 m/s=2Lu kL m/s中 間 時 刻 船 合 速 度 沿 x方 向 ,航 線 如 示 30 v u中 V V v uLcosLt v 通 過 L的 時 間 30 602cos30 20 3 s 如 圖 所 示 ， 一 個 完 全 彈 性 小 球 自 由 下 落 ， 經(jīng) 5m碰到 斜 面 上 的 A點(diǎn) 同 時 斜 面 正 以 V 10m s在 水 平 面 上 做 勻 速 運(yùn) 動 ，斜 面 與 水 平 面 的 傾 角 為 45 問 在 離 A點(diǎn) 多 遠(yuǎn) 處 ， 小 球 將 與 斜 面 發(fā) 生第 二 次 碰 撞 ？ 球 以 v=10 m/s入 射 ， 與 斜 面 的 接 近 速 度 vA V v 球2v 球 =10 m/s球 與 斜 面 的 分 離 速 度 v 球2v 球 =10 m/s球 從 與 斜 面 分 離 到 再 次 碰 撞 歷 時 g4520 22 cos45 45 2vt g 球 = s s注 意 到 球 沿 斜 面 體 方 向 初 速 度 為 零 ， 加 速 度 gsin45 21 sin452AA g t 球 再 與 斜 面 碰 撞 處 距 A 40 2 m 如 圖 所 示 ， 一 人 站 在 一 平 滑 的 山 坡 上 ， 山 坡 與 水 平 面 成 角 度 他 與 水 平 成 仰 角 扔 出 的 石 子 落 在 斜 坡 上 距 離 為 L， 求 其 拋 出 時 初 速 度 v0及 以 此大 小 初 速 度 拋 出 的 石 子 在 斜 坡 上 可 以 達(dá) 到 的 最 大 距 離 xyv0g L石 子 沿 山 坡 方 向 做 勻 加 速 運(yùn) 動 20 1cos sin2L v t g t 石 子 沿 垂 直 山 坡 方 向 做 勻 加 速 運(yùn) 動 0sin2 cosvt g 0 cos2cos sinv gL 得設(shè) 拋 出 石 子 的 仰 角 為 2022 cos sincosvL g 2 0 2 sin 2 sincosvg 2022 cos sincosvL g 2 2 當(dāng) 2 max 0 2 1 sincosvL g 小 球 以 恒 定 速 度 v沿 水 平 面 運(yùn) 動 ， 在 A點(diǎn) 墜 落 于 半 徑 為 r和 深 為 的 豎 直 圓 柱 形 井 中 小 球 速 度 v與 過 點(diǎn) 井 的 直 徑 成 ， 俯 視 如 圖 問 v、 H 、 r、之 間 關(guān) 系 如 何 ， 才 能 使 小 球 與 井 壁 和 井 底 彈 性 碰 撞 后 ， 能 夠 從 井 里 “ 跳 出 來 ”（ 不 計 摩 擦 ） vAr 小 球 運(yùn) 動 軌 跡 的 俯 視 圖 如 示 小 球 兩 次 與 壁 相 碰 點(diǎn) 間 水 平 射 程 為 2 cosr 1 2 cosrt v 歷 時 從 進(jìn) 入 至 與 底 碰 撞 歷 時 2 2Ht g為 使 小 球 與 井 壁 和 井 底 彈 性 碰 撞 后 ， 能 夠 從 井 里 “ 跳 出 來 ”1 22nt ktcos 2r Hn kv g 即 (n、 k均 為 正 整 數(shù) ) 小 球 在 豎 直 方 向 做 自 由 下落 或 碰 底 上 拋 至 速 度 為 零 小 球 在 水 平 方 向 以 v勻 速 運(yùn) 動 ,碰 壁 “ 反 射 ” 如 圖 ， 一 位 網(wǎng) 球 運(yùn) 動 員 用 拍 朝 水 平 方 向 擊 球 ， 第 一 只 球 落 在自 己 一 方 場 地 上 后 彈 跳 起 來 剛 好 擦 網(wǎng) 而 過 ， 落 在 對 方 場 地 處 第 二 只 球 直 接 擦網(wǎng) 而 過 ， 也 落 在 處 球 與 地 面 的 碰 撞 是 完 全 彈 性 的 ， 且 空 氣 阻 力 不 計 ， 試 求 運(yùn)動 員 擊 球 高 度 為 網(wǎng) 高 的 多 少 倍 ？ B ACOH設(shè) C點(diǎn) 高 度 為 h， 由 題 意 球 1運(yùn) 動 時 間 為1 23 Ht g由 題 意 球 2運(yùn) 動 時 間 為 2 2Ht g 水 平 射 程 相 同 1 2 2 12 2 3v t v vv t x 2 12 222H h H hHv vg g gx 2 H h H 34h H 初 速 度 為 v0 的 炮 彈 向 空 中 射 擊 ， 不 考 慮 空 氣阻 力 ， 試 求 出 空 間 安 全 區(qū) 域 的 邊 界 的 方 程 這 個 問 題 可 抽 象 為 一 個 求 射 出 炮 彈 在 空 中 可 能 軌跡 的 包 絡(luò) 線 方 程 問 題 ， 包 絡(luò) 線 以 外 即 為 安 全 區(qū) 域 如 圖 ， 在 空 間 三 維 坐 標(biāo) 中 ， 設(shè) 初 速 度 方 向 與 xy平 面 成 角 ， 由 拋 體 運(yùn) 動 規(guī) 律 可 建 立 時 間 t的 三 個 參 數(shù) 方 程 xz y O v0 vxvy vz xx v t 20 1sin 2z v t gt yy v t 22 2 20cosx y v t 且 2 22 2 2 201tan 2 cosx yz x y gv 2 2 2 22 2 22 20 01 1tan tan2 2x y x yx y g gv v 這 是 發(fā) 射 角 各 不 相 同 的 炮 彈 的 空 間 軌 跡 方 程 2 2 2 22 2 22 20 0tan tan 02 2g x y g x yx y zv v 即此 方 程 式 有 解 時 ， 必 滿 足 2 2 2 22 2 2 20 04 02 2g x y g x yx y zv v 2 42 2 0 022 0v vx y zg g 包 絡(luò) 線 方 程 為 2 22 20 021 02g x yg zv v 這 里 我 們 運(yùn) 用 了 曲 線 簇 的 包 絡(luò) 線 的 數(shù) 學(xué) 模型 處 理 了 一 個 有 實 際 應(yīng) 用 背 景 的 物 理 問 題 整 理 該 包 絡(luò) 線 方 程 為 所 求 安 全 區(qū) 域 的 邊 界 方 程 機(jī) 車 以 等 速 率 v0沿 直 線 軌 道 行 駛 機(jī) 車 車 輪 半 徑 為 r 如 車 輪只 滾 動 不 滑 動 ， 將 輪 緣 上 的 點(diǎn) M在 軌 道 上 的 起 點(diǎn) 位 置 取 為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 并 將 軌 道 取為 x軸 ， 如 圖 所 示 ， 求 M點(diǎn) 的 運(yùn) 動 軌 跡 方 程 以 及 軌 跡 的 曲 率 半 徑 ， 并 求 當(dāng) M點(diǎn) 所 在的 車 輪 直 徑 在 水 平 位 置 時 ， 該 點(diǎn) 的 速 度 與 加 速 度 y xO M AM點(diǎn) 的 兩 個 分 運(yùn) 動 與 輪 心 相 同 的 勻 速 運(yùn) 動對 輪 心 的 勻 速 圓 周 運(yùn) 動 Oy x2r 0v T0v tr00 sin vx v t r tr 0cos vy r r tr 0v t 2 22 0r v t x r y 2 22 1cos r yr r x r yr 0 0sin vr t v t xr 0cos vr t r yr M點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 為 求 軌 跡 方 程 ： M M點(diǎn) 速 度 矢 量 與 加 速 度 矢 量 關(guān) 系 如 示 求 軌 跡 的 曲 率 半 徑 ： vMaMatv0 v02vM點(diǎn) 加 速 度 即 20M va r法 向 分 量 2Mn va 20 sin 2vr 02 sin 2Mv v 而 20 202 sin 2sin 2vv r 4 sin 2r M 90求 當(dāng) M點(diǎn) 所 在 的 車 輪 直 徑 在 水 平 位 置 時 ，該 點(diǎn) 的 速 度 與 加 速 度 ： vMaMatv0 v02v0sin45M vv 02v 方 向 與 x軸 成 45 2 0a vr 方 向 +x