第 五 講 三 角 函 數(shù) 的 化 簡 求 值一 、 引 言 ：（ 一 ） 本 節(jié) 的 地 位 ： 三 角 函 數(shù) 知 識(shí) 是 高 中 教學(xué) 的 重 要 知 識(shí) 之 一 ， 體 現(xiàn) 考 綱 對 運(yùn) 算 能 力 、邏 輯 推 理 能 力 的 要 求 ， 在 歷 年 的 高 考 中 ， 是必 考 查 的 內(nèi) 容 之 一 . 三 角 函 數(shù) 化 簡 求 值 是 高考 的 重 要 內(nèi) 容 之 一 ， 應(yīng) 熟 練 掌 握 . （ 二 ） 考 綱 要 求 ： 通 過 本 節(jié) 的 學(xué) 習(xí) 要 理 解 任意 角 三 角 函 數(shù) 的 概 念 、 會(huì) 將 任 意 角 的 正 弦 值 、余 弦 值 、 正 切 值 分 別 用 正 弦 線 、 余 弦 線 、 正切 線 表 示 出 來 、 根 據(jù) 三 角 函 數(shù) 的 定 義 或 三 角函 數(shù) 線 判 斷 三 角 函 數(shù) 值 在 各 個(gè) 象 限 的 符 號(hào) 、理 解 終 邊 相 同 角 的 三 角 函 數(shù) 值 相 同 的 含 義 ，掌 握 同 角 三 角 函 數(shù) 關(guān) 系 及 誘 導(dǎo) 公 式 ， 并 能 夠應(yīng) 用 它 們 進(jìn) 行 簡 單 的 三 角 函 數(shù) 式 的 化 簡 、 求值 及 恒 等 變 形 . 本 節(jié) 重 點(diǎn) ： 理 解 任 意 角 三 角函 數(shù) 的 概 念 、 掌 握 同 角 三 角 函 數(shù) 關(guān) 系 及 誘 導(dǎo)公 式 ， 并 能 夠 應(yīng) 用 它 們 進(jìn) 行 簡 單 的 三 角 函 數(shù)式 的 化 簡 、 求 值 及 恒 等 變 形 . （ 三 ） 考 情 分 析 ： 一 般 一 個(gè) 大 題 一 個(gè)或 兩 個(gè) 小 題 ， 類 型 有 化 簡 求 值 、 恒 等變 形 、 圖 象 性 質(zhì) 等 . 主 要 考 查 數(shù) 形 結(jié)合 、 函 數(shù) 與 方 程 思 想 、 分 類 與 整 合 思想 、 轉(zhuǎn) 化 與 化 歸 等 重 要 思 想 . 二 、 考 點(diǎn) 梳 理 ：1.任 意 角 的 三 角 函 數(shù) 定 義（ 1） 利 用 單 位 圓 定 義 任 意 角 的 三 角 函 數(shù) ， 設(shè) 是 一 個(gè) 任 意 角 ,它 的 終 邊 與 單 位 圓 交 于 點(diǎn) 那 么 叫 做 的 正 弦 ,記 做 ， 即 ； 叫 做 的 余 弦 ,記 做 ， 即 ； 叫 做 的 正 切 ,記 為 ， 即 tan ( 0).y xx ( , )P x ysin sin y yx cos cos x y x tan （ 2） 三 角 函 數(shù) 值 的 符 號(hào) 規(guī) 律 ： 正 弦 ： 一 、 二 象 限 正 ， 三 、 四 象 限 負(fù) ； 余 弦 ： 一 、 四 象 限 正 ， 二 、 三 象 限 負(fù) ； 正 切 ： 一 、 三 象 限 正 ， 二 、 四 象 限 負(fù) . 2 同 角 三 角 函 數(shù) 的 基 本 關(guān) 系 式 ：（ 1） 平 方 關(guān) 系 ： ；（ 2） 商 的 關(guān) 系 ： .2 2sin cos 1 sintan cos 3 誘 導(dǎo) 公 式 ： 公 式 一 ： ； ； .公 式 二 ： ； ； .公 式 三 ： ； ； .公 式 四 ： ； ； .sin(2 ) sink cos(2 ) cosk tan(2 ) tank sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan 公 式 五 ： ； .公 式 六 ： ； .記 憶 誘 導(dǎo) 公 式 的 常 用 口 訣 是 ： 奇 變 偶 不 變 ，符 號(hào) 看 象 限 ， 其 中 “ 奇 、 偶 ” 是 指 中 的 奇 偶 性 ； “ 符 號(hào) ” 是 把任 意 角 看 成 銳 角 時(shí) 原 函 數(shù) 值 的 符 號(hào) .sin( ) cos2 cos( ) sin2 sin( ) cos2 cos( ) sin2 ( )2k k Z k 三 、 典 型 問 題 選 講 ： tantan （ 二 ） 知 值 求 值例 2 已 知 ， 則 （ ） A. B. C. D.tan 2 2 2sin sin cos 2cos 43 5434 45 分 析 ： 由 ， 可 得 、 的值 ， 或 利 用 進(jìn) 行 求 解 .tan 2 sin cos2 2sin cos 1 解 ： 答 案 ： D 2 22 2 2 2sin sin cos 2cossin sin cos 2cos sin cos 2 2tan tan 2tan 1 4 2 2 44 1 5 .歸 納 總 結(jié) ： 本 題 考 查 用 三 角 函 數(shù) 同 角 關(guān) 系化 簡 求 值 ， 注 意 的 運(yùn) 用 .2 2sin cos 1 例 3 若 是 第 二 象 限 角 ， 且求 的 值 分 析 ： 利 用 誘 導(dǎo) 公 式 化 簡 已 知 條 件 ， 再 利 用同 角 三 角 函 數(shù) 公 式 解 決 問 題 .sin(180 ) cos( 360 )cos(180 ) 54)540sin( 解 ： 因 為 ， 所 以 .又 是 第 二 象 限 角 ， 所 以 則 =4sin(540 ) 5 4sin 5 3cos .5 sin(180 ) cos( 360 )cos(180 ) 4 3( )sin cos 15 5 .3cos 35 歸 納 總 結(jié) ： 利 用 誘 導(dǎo) 公 式 化 簡 求 值 ， 一般 先 將 負(fù) 角 化 為 正 角 ， 然 后 再 轉(zhuǎn) 化 為 銳角 求 值 ， 運(yùn) 用 誘 導(dǎo) 公 式 時(shí) ， 要 注 意 公 式右 邊 的 符 號(hào) . 例 4 已 知 .求 的 值 . 2 3cos , ,4 10 2 4x x sin x 分 析 :方 法 1將 看 成 一 個(gè) 整 體 角 ， 利用 求 解 ；方 法 2是 將 展 開 ， 與 聯(lián) 立 求 解 .4x 4 4x x 2cos 4 10 x 1cossin 22 xx1cossin 22 xx 解 法 1. 因 為 , 所 以 ,于 是3,2 4x ,4 4 2x 2 7 2sin 1 cos4 4 10 x x sin sin sin cos cos sin4 4 4 4 4 4x x x x 7 2 2 2 2 4.10 2 10 2 5 解 法 2 由 題 設(shè) 得 , 即 .解 得 ,2 2 2cos sin2 2 10 x x 1sin cos 5x x 2 2 1sin cos ,5sin cos 1,x xx x sin4 3sin 5 5xx 或3,2 4x 因 為 ,所 以 .4sin 5x 歸 納 總 結(jié) ： 熟 練 掌 握 公 式 是 解 決 三 角 函 數(shù)問 題 的 基 礎(chǔ) ， 如 同 角 三 角 函 數(shù) 公 式 等 ， 另外 整 體 思 想 在 解 題 中 也 常 常 用 到 . 例 5（ 2009， 廣 東 ） 已 知 向 量 與 互 相 垂 直 ， 其 中（ 1） 求 和 的 值 ；（ 2） 若 ， , 求 的 值 .分 析 ： 利 用 及 三 角 函 數(shù) 公 式 求 或 的 值 . (sin , 2) a(1,cos )b (0, ).2sin cos5cos( ) 3 5 cos 0 2cos a bsin cos , ,即 .又 , ,即 , .又 , .sin 2cos 0 a ba bsin 2cos 2 2sin cos 1 2 24cos cos 1 2 1cos 5 2 4sin .5 2 5(0, ), sin2 5 5cos 5 解 ： （ 1） (2) ，5cos( ) 5(cos cos sin sin ) 5 cos 2 5 sin 3 5 cos , ,.cos sin 2 2 2cos sin 1 cos 即 2 1cos 2 , 0 2 又 2cos 2 歸 納 總 結(jié) ： 本 題 考 查 同 角 三 角 函 數(shù) 公 式 及兩 角 差 的 余 弦 ， 注 意 角 的 范 圍 . 例 6 已 知 求 的 值 . sin( )22 sin 2, (0, ),cos( ) 分 析 ： 本 題 考 查 應(yīng) 用 誘 導(dǎo) 公 式 化 簡 求 值 .解 析 ： 由 已 知 條 件 得 sin( )22sin 2, (0, ),cos( ) 即 2sin 1 2. 解 得 1sin .2 由 0 ， 1sin 2 從 而或 . ， 6 6 歸 納 總 結(jié) ： 本 題 是 知 道 一 個(gè) 角 的 三 角函 數(shù) 值 求 角 ， 在 求 解 過 程 中 注 意 角 的范 圍 的 討 論 . 例 7已 知 0 ,1 13cos ,cos( ) ,7 14 且 2( )求 的 值 ；tan（ ） 求 .分 析 ： 本 題 考 查 三 角 恒 等 變 形 的 主 要 基本 公 式 、 三 角 函 數(shù) 值 的 符 號(hào) ， 已 知 三 角函 數(shù) 值 求 角 以 及 計(jì) 算 能 力 . 解 ： （ ） 由 ， 得 1cos ,07 2 22 1 4 3sin 1 cos 1 .7 7 sin 4 3 7tan 4 3cos 7 1 . （ ） 由 ， 得 .0 2 0 2 又 ， . 13cos 14 22 13 3 3sin 1 cos 1 14 14 由 得 . cos cos cos cos sin sin 1 13 4 3 3 3 17 14 7 14 2 所 以 .3 歸 納 總 結(jié) ： 注 意 角 的 范 圍 ， 范 圍 定 符 號(hào) 也定 .熟 練 掌 握 公 式 ， 熟 悉 角 的 “ 配 湊 ” 使 問題 求 解 更 簡 捷 . （ 四 ） 與 其 他 知 識(shí) 綜 合例 8 已 知 為 的 最 小 正 周 期 ，且 ,求 的 值 .0 ，1tan 1 (cos 2)4 ， ， ，a bm 22cos sin 2( )cos sin 分 析 ： 利 用 求 得 關(guān) 于 三 角 函 數(shù) 的表 達(dá) 式 ， 利 用 誘 導(dǎo) 公 式 、 三 角 公 式 將 所 求化 簡 得 值 . m ( ) cos 2f x x a b a b 解 ： 因 為 為 的 最 小正 周 期 ， 故 因 ， 又 故 ( ) cos 2 8f x x ma b 1cos tan 24 a bcos tan 24 m 由 于 ， 所 以0 4 2 22cos sin 2( ) 2cos sin(2 2)cos sin cos sin 22cos sin 2 2cos (cos sin )cos sin cos sin 1 tan 2cos 2cos tan 2(2 ).1 tan 4 m 歸 納 小 結(jié) ： 本 小 題 主 要 考 查 周 期 函 數(shù) 、平 面 向 量 數(shù) 量 積 與 三 角 函 數(shù) 基 本 關(guān) 系 式 ，考 查 運(yùn) 算 能 力 和 推 理 能 力 例 9已 知 函 數(shù) 是 關(guān) 于 對 稱的 奇 函 數(shù) ， 若 ， ,求 的 值 .( )y f x 3x (1) 1f 3 2cos sin 5x x f 15sin 2cos( )4xx 分 析 ： 首 先 利 用 三 角 函 數(shù) 公 式 化 簡 所 求 的式 子 ， 再 由 函 數(shù) 的 奇 偶 性 和 周 期 性 求 解 . 解 ： 由 得 ： ， .又 , .3cos sin 25x x 32 cos( ) 24 5x 3cos( )4 5x 2 18(cos sin ) 1 sin 2 25x x x 7sin 2 25x 71515sin 2 25 (7)3cos( )4 5xf f fx 由 函 數(shù) 關(guān) 于 對 稱 ，得 ( )y f x 3x ( ) (6 )f x f x . 又 由 函 數(shù) 為 奇 函 數(shù) ，得 ( )y f x( 1) (1) 1.f f 15sin 2 (7) ( 1) 1cos( )4xf f fx .歸 納 總 結(jié) ： 本 題 考 查 同 角 三 角 函 數(shù) 關(guān) 系 ，二 倍 角 公 式 ， 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 等 知 識(shí) ， 是 綜 合性 比 較 強(qiáng) 的 題 目 . 四 、 本 專 題 總 結(jié) 本 節(jié) 課 包 含 任 意 角 的 三 角 函 數(shù) 定 義 ， 同 角三 角 函 數(shù) 的 基 本 關(guān) 系 式 ， 誘 導(dǎo) 公 式 等 知 識(shí) ， 主要 研 究 化 簡 、 知 非 特 殊 角 求 值 ， 知 值 求 值 ， 知值 求 角 等 問 題 ， 主 要 方 法 有 ： 角 的 “ 配 湊 ” ，整 體 代 入 等 方 法 ， 體 現(xiàn) 化 歸 與 轉(zhuǎn) 化 思 想 、 函 數(shù)與 方 程 思 想 、 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 等 ， 應(yīng) 注 意 熟 練 掌握 概 念 、 公 式 ， 提 高 綜 合 應(yīng) 用 知 識(shí) 的 能 力 .應(yīng)用 公 式 時(shí) 要 注 意 公 式 成 立 的 條 件 ， 注 意 角 的 范圍 的 討 論 .