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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.4 柯西不等式和排序不等式教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　用柯西不等式、排序不等式證明不等式 【例1】設(shè)a1，a2，…，an都為正實數(shù)，證明：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. 【證明】方法一：由柯西不等式，有 (＋＋…＋＋)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥ (＋＋…＋)2＝(a1＋a2＋…＋an)2. 不等式兩邊約去正數(shù)因式a1＋a2＋…＋an即得所證不等式. 方法二：不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an，則a≤a≤…≤a，≥≥…≥. 由排序不等式有 a＋a＋…＋a＋a≥a＋a＋…＋a＝a1＋a2＋…＋an， 故不等式成立. 方法三：由均值不等式有 ＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…，＋a1≥2an，將這n個不等式相加得 ＋＋…＋＋＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所證不等式. 【點撥】 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結(jié)構(gòu)形式或有相似之處.將其配成相關(guān)結(jié)構(gòu)形式是解決問題的突破口，有時往往要進行添項、拆項、重組、配方等方法的處理. 【變式訓(xùn)練1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正數(shù)，求證：＋＋≥9. 【證明】左邊＝[2(a＋b＋c)](＋＋) ＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9， (或左邊＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋) ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9) 所以＋＋≥9. 題型二　用柯西不等式求最值 【例2】 若實數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝4 (當(dāng)且僅當(dāng)1＝kx,2＝ky,3＝kz時等號成立， 結(jié)合x＋2y＋3z＝2，解得x＝，y＝，z＝)， 所以14(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥. 故x2＋y2＋z2的最小值為. 【點撥】 根據(jù)柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要給x2＋y2＋z2再配一個平方和形式的因式，再考慮需要出現(xiàn)定值，就要讓柯西不等式的右邊出現(xiàn)x＋2y＋3z的形式，從而得到解題思路.由此可見，柯西不等式可以應(yīng)用在求代數(shù)式的最值中. 【變式訓(xùn)練2】已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值. 【解析】因為(x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋()2] ≥(3x＋y＋z)2≥(3x＋2y＋z)2， 所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－，y＝－，z＝－時， 3x＋2y＋z取最小值，最小值為－2. 題型三　不等式綜合證明與運用 【例3】 設(shè)x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 【證明】(1)當(dāng)x≥1時，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：順序和≥反序和得 11＋xx＋x2x2＋…＋xnxn≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.① 又因為x，x2，…，xn，1為序列1，x，x2，…，xn的一個排列，于是再次由排序原理：亂序和≥反序和得1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋xn1≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1， 即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，② 將①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③ (2)當(dāng)0＜x＜1時，1＞x＞x2＞…＞xn. 由①②仍然成立，于是③也成立. 綜合(1)(2)，原不等式成立. 【點撥】 分類討論的目的在于明確兩個序列的大小順序. 【變式訓(xùn)練3】把長為9 cm的細鐵線截成三段，各自圍成一個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值. 【解析】設(shè)這三個正三角形的邊長分別為a、b、c，則a＋b＋c＝3，且這三個正三角形面積和S滿足： 3S＝(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝?S≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時，等號成立. 總結(jié)提高 1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認(rèn)識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用. 2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明.證明排序不等式時，教科書展示了一個“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動，初步認(rèn)識排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡單應(yīng)用. 3.利用柯西不等式或排序不等式常常根據(jù)所求解(證)的式子結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)，有難度的逐步調(diào)整去構(gòu)造.對于具體明確的大小順序、數(shù)目相同的兩列數(shù)考慮它們對應(yīng)乘積之和的大小關(guān)系時，通?？紤]排序不等式.