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2019-2020年中考數(shù)學(xué) 函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn)突破解題技巧傳播十五 1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng) 過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封 閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線C2：（＜0）的頂點(diǎn)． （1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求的值． 【答案】解：（1）令y=0，則 ， ∵m＜0，∴，解得：， 。 ∴A（，0）、B（3，0）。 （2）存在。理由如下： ∵設(shè)拋物線C1的表達(dá)式為（）， 把C（0，）代入可得，。 ∴Ｃ1的表達(dá)式為：，即。 設(shè)P（p，）， ∴ S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC =。 ∵<0，∴當(dāng)時(shí),S△PBC最大值為。 （3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，）， ∴BD2=，BM2=，DM2=。 ∵∠MBD<90, ∴討論∠BMD=90和∠BDM=90兩種情況： 當(dāng)∠BMD=90時(shí)，BM2+ DM2= BD2 ，即＋=， 解得：, (舍去)。 當(dāng)∠BDM=90時(shí)，BD2+ DM2= BM2 ，即＋=， 解得：， (舍去) 。 綜上所述， 或時(shí)，△BDM為直角三角形。 【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，由S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC得到△PBC面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理求出最大值。 （3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90時(shí)；②∠BDM=90時(shí)，討論即可求得m的值。 2、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖，A點(diǎn)為（－2，0）。則下列結(jié)論中，正確的是【 】 A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D。 【解析】將A（－2，0）代入，得。 ∴二次函數(shù)?！喽魏瘮?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－a）。 當(dāng)x=－1時(shí)，反比例函數(shù)。 由圖象可知，當(dāng)x=－1時(shí)，反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，且都在x下方， ∴，即。故選D。 （實(shí)際上應(yīng)用排它法，由，也可得ABC三選項(xiàng)錯(cuò)誤） 3．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論： ①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正確的結(jié)論是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】 試題分析：①圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，能得到：a＞0，＞0，則b＜0。正確。 ②∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴x=2與x=0時(shí)的函數(shù)值相等，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＞0。錯(cuò)誤。 ③當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=a﹣b+c＞0。正確。 ④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b。 ∵當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＜0。∴a+c＜﹣b。∴b＜a+c＜﹣?！鄚a+c|＜|b|?！啵╝+c）2＜b2。正確。 所以正確的結(jié)論是①③④。故選C。 4、如果一個(gè)正比例函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象交，那么值為 . 【答案】。 【解析】∵A，B在反比例函數(shù)上，∴。 又∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱， ∴對(duì)于有。 ∴。 5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，∠BOA=45，則過(guò)A點(diǎn)的雙曲線解析式是　 ?。? 【答案】 【解析】 試題分析：∵∠BOA=45，∴設(shè)A（m，m）。 ∵⊙O的半徑為1，∴AO=1?！鄊2+m2=12，解得：m=，∴A（，）， 設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）， ∵圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，∴k==?！喾幢壤瘮?shù)解析式為。 6、如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0） （1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A　 　，k=　 ?。? （2）隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=時(shí)： ①請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上； ②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值； （3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍． 【答案】解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（t，4）。 ∵直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0），∴4=kt，則（k＞0）。 （2）①當(dāng)a=時(shí)，，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為。 對(duì)于，當(dāng)x=時(shí)， ∴點(diǎn)在拋物線上。 ∴當(dāng)a=時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上。 ②如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K， ∵AC⊥x軸，∴AC∥EK。 ∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，∴K為BC的中點(diǎn)。 ∴EK是△ACB的中位線。 ∴EK=AC=2，CK=BC=2?！郋（t+2，2）。 ∵點(diǎn)E在拋物線上， ∴，解得t=2。 ∴當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，t=2。 （3）如圖2，由得， 解得，或x=0（不合題意，舍去）。 ∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是。 當(dāng)時(shí)，|y2﹣y1|=0，由題意得，即。 又， ∴當(dāng)時(shí)，取得最大值。 又當(dāng)時(shí)，取得最小值0， ∴當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而增大。 由題意，得，將代入得，解得。 綜上所述，a與t的關(guān)系式為，t的取值范圍為。 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長(zhǎng)度；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來(lái)求k的值： （2）①求得拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)，若該點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，即表示該頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上；反之，該頂點(diǎn)不在函數(shù)圖象上。 ②如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K．則EK是△ACB的中位線，所以根據(jù)三角形中位線定理易求點(diǎn)E的坐標(biāo)，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線即可求得t=2。 （3）如圖2，根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)是，則，由此可以求得a與t的關(guān)系式。由求得取得最大值時(shí)的x值，同時(shí)由時(shí)，取得最小值0，得出當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而增大。從而由題意，得，結(jié)合，求出t的取值范圍。 7、已知：拋物線C1：y＝x2。如圖（1），平移拋物線C1得到拋物線C2，C2經(jīng)過(guò)C1的頂點(diǎn)O和A（2，0），C2的對(duì)稱軸分別交C1、C2于點(diǎn)B、D。 （1）求拋物線C2的解析式； （2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結(jié)論； （3）如圖（2），將拋物線C2向下平移m個(gè)單位（m＞0）得拋物線C3，C3的頂點(diǎn)為G，與y軸交于M。點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P（）在直線MG上。問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)，在拋物線C3上存在點(diǎn)Q，使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？ 【答案】解：（1）∵拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0），∴設(shè)拋物線C2的解析式為。 ∵拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），∴，解得。 ∴拋物線C2的解析式為。 （2）∵，∴拋物線C2的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）。 當(dāng)x=1時(shí)， ，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1）。 ∴根據(jù)勾股定理，得OB=AB=OD=AD=?！嗨倪呅蜲DAB是菱形。 又∵OA=BD=2，∴四邊形ODAB是正方形。 （3）∵拋物線C3由拋物線C2向下平移m個(gè)單位（m＞0）得到， ∴拋物線C3的解析式為。 在中令x=0，得，∴M。 ∵點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴N?！郙N=。 當(dāng)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)有兩種情況： ①若MN是平行四邊形的一條邊，由MN=PQ=和P（）得Q（）。 ∵點(diǎn)Q 在拋物線C3上，∴，解得或（舍去）。 ②若MN是平行四邊形的一條對(duì)角線，由平行四邊形的中心對(duì)稱性，得Q（）。 ∵點(diǎn)Q 在拋物線C3上，∴，解得或（舍去）。 綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在拋物線C3上存在點(diǎn)Q，使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形。 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得拋物線C2的解析式。 （2）求出各點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用勾股定理求出各邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)，根據(jù)正方形的判定定理可得結(jié)論。 （3）分MN為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況討論即可。