2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (二)教案 理 新人教A版典例精析題型一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例1】已知函數(shù)f(x)x2ln x.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上的值域；(2)求證：x1時，f(x)x3.【解析】(1)由已知f(x)x，當(dāng)x1，e時，f(x)0，因此f(x)在 1，e上為增函數(shù).故f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)，因而f(x)在區(qū)間1，e上的值域為，1.(2)證明：令F(x)f(x)x3x3x2ln x，則F(x)x2x2，因為x1，所以F(x)0，故F(x)在(1，)上為減函數(shù).又F(1)0，故x1時，F(xiàn)(x)0恒成立，即f(x)x3.【點撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.【變式訓(xùn)練1】已知對任意實數(shù)x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0時，f(x)0，g(x)0，則x0時()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】選B.題型二優(yōu)化問題【例2】 (xx湖南模擬)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最?。俊窘馕觥?1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256.(2)由(1)知f(x)mx(x512).令f(x)0，得x512.所以x64.當(dāng)0x64時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64x640時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).所以f(x)在x64處取得最小值.此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小.【變式訓(xùn)練2】(xx上海質(zhì)檢)如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則由已知可得4(4r2h)9.6，所以2rh1.2.S2.4r3r2，h1.22r0，所以r0.6.所以S2.4r3r2(0r0.6).令f(r)2.4r3r2，則f(r)2.46r.令f(r)0得r0.4.所以當(dāng)0r0.4，f(r)0；當(dāng)0.4r0.6，f(r)0.所以r0.4時S最大，Smax1.51.題型三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點問題【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)x3mx2(m24)x，xR.(1)當(dāng)m3時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，且.若對任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m3時，f(x)x33x25x，f(x)x26x5.因為f(2)，f(2)3，所以切點坐標(biāo)為(2，)，切線的斜率為3，則所求的切線方程為y3(x2)，即9x3y200.(2)f(x)x22mx(m24).令f(x)0，得xm2或xm2.當(dāng)x(，m2)時，f(x)0，f(x)在(，m2)上是增函數(shù)；當(dāng)x(m2，m2)時，f(x)0，f(x)在(m2，m2)上是減函數(shù)；當(dāng)x(m2，)時，f(x)0，f(x)在(m2，)上是增函數(shù).因為函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，且f(x)xx23mx3(m24)，所以解得m(4，2)(2,2)(2,4).當(dāng)m(4，2)時，m2m20，所以m2m20.此時f()0，f(1)f(0)0，與題意不合，故舍去.當(dāng)m(2,2)時，m20m2，所以m20m2.因為對任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)為函數(shù)f(x)在，上的最小值.因為當(dāng)xm2時，函數(shù)f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1.當(dāng)m(2,4)時，0m2m2，所以0m2m2.因為對任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)為函數(shù)f(x)在，上的最小值.因為當(dāng)xm2時，函數(shù)f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1(舍去).綜上可知，m的取值范圍是1.【變式訓(xùn)練3】已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間，e上有兩個不等解，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a0時，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(，)，遞減區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，).(2)ln 2，).總結(jié)提高在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問題時，首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.