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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練 平面向量應(yīng)用（含解析） 1、(1)(xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則＝________. (2)(xx天津卷)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點．若＝1，則AB的長為________． 解析　(1)以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)．則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)． ∴＝(1,2)，＝(－2,2)． 從而＝(1,2)(－2,2)＝1(－2)＋22＝2. (2)由題意可知，＝＋，＝－＋.因為＝1，所以(＋)＝1， 即2＋－2＝1.① 因為||＝1，∠BAD＝60，所以＝||， 因此①式可化為1＋||－||2＝1，解得||＝0(舍去)或，所以AB的長為. 答案　(1)2　(2) 2、在邊長為1的菱形ABCD中，∠BAD＝60，E是BC的中點，則＝(　　)． A. B. C. D. (2)在△ABC所在平面上有一點P，滿足＋＋＝，則△PAB與△ABC的面積之比值是(　　)． A. B. C. D. 解析　(1)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則A，C， B. ∴E點坐標(biāo)為， ∴＝(，0)，＝， ∴＝＝. (2)由已知可得＝2， ∴P是線段AC的三等分點(靠近點A)， 易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3. 答案　(1)D　(2)A 3、(xx湖南卷)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且＝0. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最值． 解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由(＋)(－)＝0， 得||2－||2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0， 化簡得＋＝1. 所以點P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因＝(－)(－)＝(－－)(－)＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點，設(shè)P(x0，y0)， 則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)， 所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17 ＝－(y0＋3)2＋20. 因y0∈[－2，2]，所以當(dāng)y0＝－3時，2取得最大值20，故的最大值為19； 當(dāng)y0＝2時，2取得最小值為13－4(此時x0＝0)，故的最小值為12－4. 3、已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足＝0，＝－，當(dāng)點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 解　設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－，得 (x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴ 把a(bǔ)＝－代入①， 得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)． 所以動點M的軌跡方程為y＝x2(x≠0)． 4、已知a，b是單位向量，ab＝0?.若向量c滿足|c－a－b|＝1?，則|c|的最大值為________． 解析　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意知a⊥b，且a與b是單位向量， ∴可設(shè)＝a＝(1,0)，＝b＝(0,1)，＝c＝(x，y)． ∴c－a－b＝(x－1，y－1)， ∵|c－a－b|＝1， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即點C(x，y)的軌跡是以M(1,1)為圓心，1為半徑的圓． 而|c|＝， ∴|c|的最大值為|OM|＋1， 即|c|max＝＋1. 答案?。? 5．△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2 ＋＋＝0，||＝||，則＝(　　)． A. B. C．3 D．2 解析　由2 ＋＋＝0，得2 ＋－＋－＝0，即＝－，即O，B，C三點共線，BC為△ABC外接圓的直徑，故∠BAC＝90.又||＝||，得B＝60，所以C＝30，且||＝(如圖所示)． 所以＝||||cos 30＝2＝3. 答案　C 6．給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上運動．若＝x ＋y ，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________． 解析　：以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)， B， 設(shè)∠AOC＝α， 則C(cos α，sin α)， 由＝x ＋y ， 得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin， 又α∈，所以當(dāng)α＝時，x＋y取得最大值2. 7．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|ab|＝|a||b|，則tan x的值等于(　　)． A．1 B．－1 C. D. 解析　由|ab|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x， 而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1. 答案　A 8．若|a|＝2sin 15，|b|＝4cos 15，a與b的夾角為30，則ab的值是(　　)． A. B. C．2 D. 解析　ab＝|a||b|cos 30＝8sin 15cos 15＝4sin 30＝. 答案　B 9．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－ab＝0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4ab＝0， 即4|b|2＋42|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　D 10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對應(yīng)的三角形的邊長，若4a＋2bC＋3c＝0，則cos B＝(　　)． A．－ B. C. D．－ 解析　由4a＋2bC＋3c＝0，得 4a＋3c＝－2bC＝－2b(－)＝2b＋ 2b，所以4a＝3c＝2b. 由余弦定理得cos B＝＝＝－. 答案　A 11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝＝1，那么c＝________. 解析　由題意知＋＝2， 即－＝(＋) ＝2＝2?c＝||＝. 答案　 12．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，則＝________. 解析　易知滿足|＋|＝||的A，B，C構(gòu)成直角三角形的三個頂點，且∠A為直角，于是＝||cos∠ABC＝1cos 60＝. 答案　 13．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，則＝________. 解析　依題意得(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， 即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B>0， 于是有cos A＝，sin A＝＝， 又S△ABC＝bcsin A＝bc＝， 所以bc＝3，＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3＝－1. 答案?。? 14．已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及點A(1,1)，M是圓C上的任意一點，點N在線段MA的延長線上，且＝2，求點N的軌跡方程． 解　設(shè)M(x0，y0)，N(x，y)．由＝2，得 (1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴ ∵點M(x0，y0)在圓C上， ∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1. ∴所求點N的軌跡方程是x2＋y2＝1. 15．已知△ABD是等邊三角形，且＋＝，||＝，那么四邊形ABCD的面積為(　　)． A. B. C．3 D. 解析　 如圖所示，＝－＝－，∴2＝2， 即3＝2＋2－， ∵||＝||， ∴||2－||||cos 60＝3，∴||＝2. 又＝－＝，∴||＝||＝1， ∴||2＋||2＝||2，∴BC⊥CD. ∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝22sin 60＋1＝ ，故選B. 答案　B 16.已知向量m＝，n＝. (1)若mn＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝mn，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍． 解　(1)mn＝sin cos ＋cos2 ＝sin ＋＝sin＋， ∵mn＝1，∴sin＝. cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝， ∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜. ∴＜＋＜，sin∈. 又∵f(x)＝sin＋， ∴f(A)＝sin＋. 故函數(shù)f(A)的取值范圍是. 17．已知向量a＝(m2,4)，b＝(1,1)，則“m＝－2”是“a∥b”的(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　依題意，當(dāng)m＝－2時，a＝(4,4)，b＝(1,1)，所以a＝4b，即a∥b，即由m＝－2可以推出a∥b；當(dāng)a∥b時，m2＝4，得，m＝2，所以不能推得m＝－2，即“m＝－2”是“a∥b”的充分不必要條件． 答案　A 18．(xx德州一模)已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b與a－b平行，則k的值是(　　)． A．－6 B．－ C. D．14 解析　由題意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因為a＋2b和a－b平行，則2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝. 答案　C 19．已知|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)． A．9 B．3 C．1 D．2 解析　由|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，得a2－4ab＋4b2＝1， ∴4ab＝4，∴|a＋2b|2＝a2＋4ab＋4b2＝5＋4＝9， ∴|a＋2b|＝3. 答案　B 20．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，則實數(shù)m的值為(　　)． A．－2 B．2 C．4 D．6 解析　因為(a－b)⊥b，所以(a－b)b＝ab－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2. 答案　B 21．已知|a|＝1，|b|＝6，a(b－a)＝2，則向量a與b的夾角為(　　)． A. B. C. D. 解析　a(b－a)＝ab－a2＝2，所以ab＝3， 所以cos＝＝＝.所以＝. 答案　B 22.已知向量a＝(1，－cos θ)，b＝(1,2cos θ)且a⊥b，則cos 2θ等于(　　)． A．－1 B．0 C. D. 解析　a⊥b?ab＝0，即1－2cos2θ＝0，∴cos 2θ＝0. 答案　B 23．(xx成都期末測試)已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2＋＋＝0，則有(　　)． A.＝2 B.＝ C.＝3 D．2＝ 解析　由2＋＋＝0，得＋＝－2＝2，即＋＝2＝2，所以＝，即O為AD的中點． 答案　B 24．平面上有四個互異點A，B，C，D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC的形狀是(　　)． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．無法確定 解析　由(＋－2)(－)＝0， 得[(－)＋(－)](－)＝0， 所以(＋)(－)＝0. 所以||2－||2＝0，∴||＝||， 故△ABC是等腰三角形． 答案　B 25．已知正方形ABCD(字母順序是A→B→C→D)的邊長為1，點E是AB邊上的動點(可以與A或B重合)，則的最大值是(　　)． A．1 B. C．0 D．－1 解析　建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)E(x,0)，x∈[0,1]，則D(0,1)，C(1,1)，B(1,0)，所以＝(x，－1)(－1,0)＝－x，當(dāng)x＝0時取得最大值0. 答案　C 26．若a＝(1，－2)，b＝(x,1)，且a⊥b，則x＝________. 解析　由a⊥b，得ab＝x－2＝0，∴x＝2. 答案　2 27．已知向量a＝(1,1)，b＝(2,0)，則向量a，b的夾角為________． 解析　a＝(1,1)，b＝(2,0)，∴|a|＝，|b|＝2， ∴cos＝＝＝，∴＝. 答案　 28．在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，BC＝1，D為斜邊AB的中點，則＝________. 解析　＝(－)＝－＝21－2cos 30＝－1. 答案?。? 29．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)． (1)若a∥，且||＝||，求向量的坐標(biāo)； (2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值． 解　(1)∵＝(cos θ－1，t)， 又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t.① 又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.② 由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝1. 當(dāng)t＝1時，cos θ＝3(舍去)，當(dāng)t＝－1時，cos θ＝－1， ∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t＝， ∴y＝cos2θ－cos θ＋ ＝cos2θ－cos θ＋＝＋ ＝2－， ∴當(dāng)cos θ＝時，ymin＝－. 30．設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2 x＝1. 又x∈，從而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2 x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當(dāng)x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 31.已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點． (1)求＋＋； (2)若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證：＋＝3. (1)解　∵＋＝2，又2＝－， ∴＋＋＝－＋＝0. (2)證明　顯然＝(a＋b)． 因為G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)． 由P，G，Q三點共線，得∥， 所以，有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ. 而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b， ＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b， 所以a＋b＝λ. 又因為a，b不共線，所以 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3. 32.已知f(x)＝ab，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝，＝3，求邊長b和c的值(b＞c)． 解　(1)由題意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， ∴f(x)的最小正周期T＝π， ∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調(diào)遞減， ∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1. 又＜2A＋＜，∴2A＋＝π.∴A＝. ∵＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5， 又b＞c，∴b＝3，c＝2.