2019-2020年高三數(shù)學一輪復習第6講二次曲線與二次曲線教案一、考情分析高考說明中明確指出：“對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關兩個二次曲線交點坐標的問題（兩圓的交點除外）”， 但是，在解答某些問題時，難免會遇到兩個二次曲線相切或相交的問題，因此，解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里應該讓學生明白：雙二次曲線消元后，得到的方程的判別式與交點個數(shù)不等價其次，有些問題涉及兩個二次曲線，但所討論和研究的并不是交點，而是它們的某些參量之間的關系，由于涉及到的參量較多，問題往往顯得較為復雜，這類問題要特別加以注意，理清思路，順藤摸瓜，設計好解題步驟本講主要是調(diào)動學生學習的主動性，注意交代知識的來龍去脈，教給學生解決問題的思路，幫助考生培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，培養(yǎng)良好的個性品質(zhì)，以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，進一步提高學生“應用數(shù)學”的水平二、精典例析例1：拋物線的焦點為，以為圓心，以為半徑，在軸的上方作一個半圓，設半圓與拋物線交于不同的兩點，點是的中點（1）求的值；（2）是否存在，使得成等差數(shù)列？解析：（1）顯然，半圓的方程為，設在準線上的射影分別為，點的橫坐標分別為，則：，且，；（2）若存在，使得成等差數(shù)列，則：，即點在拋物線上，矛故不存在，使得成等差數(shù)列例2：討論圓與拋物線的位置關系解析：圓是以為圓心，1為半徑的圓，從草圖不難發(fā)現(xiàn)，當時，圓與拋物線無公共點；當時，圓與拋物線相切；當時，圓與拋物線相交；而當時，圓與拋物線的關系則很難從圖形上加以判斷為此，我們需借助方程組的解的個數(shù)來加以說明，（），顯然，當時，；當時，；當時，事實上，當時，的確有圓與拋物線相切；當時，圓與拋物線無公共點而當時，雖然有，但圓與拋物線卻并不總有公共點，也即判別式與方程組解的個數(shù)不等價原因是：在方程組轉(zhuǎn)化為方程（）的過程中，忽略了條件事實上，方程組解的個數(shù)等于方程（）的非負解的個數(shù)綜上，圓與拋物線的位置關系如下：當或時，圓與拋物線無公共點；當時，圓與拋物線相切（只有一個公共點）；當時，圓與拋物線相交（兩個公共點）；當時，圓與拋物線相交（三個公共點）；當時，圓與拋物線相交（四個公共點）；當時，圓與拋物線相切（兩個公共點）點評：雙二次曲線的問題，要注意判別式的符號與交點個數(shù)并不完全等價例3：(05重慶卷) 已知橢圓，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點 （1）求雙曲線的方程； （2）若直線l：與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點，且l與的兩個交點A和B滿足(O為原點)，求k的取值范圍解析：（1）設雙曲線，則：，故雙曲線的方程為（2），直線l：與橢圓恒有兩個不同的交點，；同理，直線l：與雙曲線恒有兩個不同的交點， ；設，則： ， ， ；或，故k的取值范圍為例4：已知橢圓，它的離心率為直線，它與以原點為圓心，以的短半軸為半徑的圓相切（）求橢圓的方程；（）設橢圓的左焦點為，左準線為動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點試點到圓上的點的最短距離解析：（）直線與以原點為圓心，以b為半徑的圓相切，；又 橢圓的離心率為，； 橢圓的方程為（）橢圓的左焦點的坐標為，左準線的方程為：連接，則由拋物線的定義可知：點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，其方程為：點到圓上的點的最短距離，實際上就是拋物線與圓上的點的最短距離下面我們分別從幾何和代數(shù)的角度來考慮這個問題：法一：首先，如果拋物線上點與圓上點之間距離最小，則必過圓心（否則，連接，設交圓于點，則：，與最小矛盾）在拋物線上任取一點M（x,y），則：，（當且僅當時取得等號）故點到圓上的點的最短距離為法二：用純代數(shù)的方法去思考設為拋物線上任意點，為圓上任意點，則：，當且僅當拋物線和圓上的兩點分別為和時取得等號點評：方法二需要較強的代數(shù)變形的能力，充分運用圖形的幾何性質(zhì)可以使得問題簡化例5：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點和，兩曲線在第一象限內(nèi)的交點為橢圓與軸負半軸交于點，且三點共線，分向量的比為，又直線與雙曲線的另一交點為，若（）求橢圓的離心率；（）求雙曲線和橢圓的方程解析：（）若設橢圓的方程為：，則：三點共線，且分有向線段的比為，點的坐標為，代入橢圓方程，得橢圓的離心率（）橢圓的方程為：，直線的方程為：，設雙曲線的方程為：，則：， 在雙曲線上， ， ， 橢圓方程為，雙曲線方程為點評：解答本題，最大的問題在于：所給條件雜亂無序，不知從何入手，為此，應該理清頭緒，層層遞進，分步解答例6：設拋物線過定點，且以直線為準線（）求拋物線頂點的軌跡的方程； （）若直線與軌跡交于不同的兩點，且線段恰被直線平分，設弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍解析：（）設拋物線的頂點為，則其焦點為，則：故拋物線頂點的軌跡的方程為：（）因為是弦MN的垂直平分線與軸交點的縱坐標，由MN所唯一確定因此，要求的取值范圍，還應該從直線與軌跡相交入手顯然，直線與坐標軸不可能平行，設直線的方程為，則：，直線與軌跡交于不同的兩點， 線段恰被直線平分，下面，只需找到與的關系，即可求出的取值范圍由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點BB/在中，令，可解得：，將點代入，可得：；故故的取值范圍是從以上解題過程來看，求的取值范圍，主要有兩個關鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關系，二是構(gòu)造一個有關參量的不等式從這兩點出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：法二：設弦MN的中點為，則由點為橢圓上的點，可知：，兩式相減得：，；點在弦MN的垂直平分線上，；點在線段上（為直線與橢圓的交點），故的取值范圍是點評：解決直線和圓錐曲線的位置關系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項系數(shù)和判別式，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便涉及弦中點問題，利用韋達定理或運用平方差法時（設而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法從構(gòu)造不等式的角度來說，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點在橢圓內(nèi)”是等價的例7：(04年北京東城)已知橢圓的中心在原點，左焦點為，其右焦點和右準線分別是拋物線的頂點和準線（1）求橢圓的方程；（2）若點為橢圓上的點，的內(nèi)切圓的半徑為，求點到軸的距離；（3）若點為橢圓上的一個動點，當為鈍角時求點的取值范圍解析：（1）拋物線的頂點為，準線方程為，設橢圓的方程為，則：，故橢圓的方程為（2）設橢圓內(nèi)切圓的圓心為Q，則：，設點到軸的距離為，則： （3）設點的坐標為，則： 為鈍角，即為所求例8：（05年山東卷）已知動圓過定點，且與直線相切（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標解析：（1）設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，則：，即動點到定點與定直線的距離相等，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，方程為（2）設，則：，且，直線的斜率存在，設其方程為，則：，當時，即時，故直線的方程可表示為，即直線恒過定點當時，即時，則：，故直線的方程可表示為，即直線恒過定點綜上，當時，直線恒過定點；當時直線恒過定點三、課后反思