導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考題第 1 題 . 2007海南、寧夏文) 設(shè)函數(shù)f ( x)ln(2 x3)x2（）討論f ( x) 的單調(diào)性；（）求 f ( x) 在區(qū)間314， 的最大值和最小值4答案：解：f ( x) 的定義域?yàn)?，2（） f22x4x26x22(2 x1)(x1)( x)32x32x32x3x1時(shí)， f (x)0 ；當(dāng) 1x1時(shí)， f (x)0 ；當(dāng) x1當(dāng)2時(shí)， f ( x) 0 22從而， f (x) 分別在區(qū)間3，1，1 ，單調(diào)增加，在區(qū)間， 1單調(diào)減少2212（）由（）知f (x) 在區(qū)間31的最小值為f114，ln 2442又 f3139ln71ln311490 4fln162167221 ln429所以 f (x) 在區(qū)間3111ln74， 的最大值為 f416241第 2 題 .（ 2002 海南、寧夏理）曲線yx在點(diǎn) (4， e2 ) 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的e2面積為（） 9e2 4e2 2e2 e22答案：第 3 題 .（2007 海南、寧夏理）設(shè)函數(shù)f ( x)ln( xa)x2 （I ）若當(dāng) x1 時(shí)， f (x) 取得極值，求 a 的值，并討論f ( x) 的單調(diào)性；（II ）若 f ( x) 存在極值，求 a 的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln e 2答案：解：（） f12x ，( x)ax用心愛心專心1依題意有 f( 1)30 ，故 a2從而 f ( x)2x23x1(2 x1)( x1) x332x2f ( x) 的定義域?yàn)? ，當(dāng)3x1時(shí)， f (x)0；22當(dāng) 1 x1時(shí)， f(x)0 ；21當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)2從而， f (x) 分別在區(qū)間3 ，1，1 ，單調(diào)增加，在區(qū)間， 1單調(diào)減少2212（） f (x) 的定義域?yàn)?(a，) ， f ( x)2x22ax1 xa方程 2x22ax10的判別式4a28（）若0 ，即2a2 ，在 f (x) 的定義域內(nèi)f( x)0 ，故 f (x) 無(wú)極值（）若0，則 a2 或 a2 若 a2 ， x (2， ) ， f ( x)( 2x 1)2x2當(dāng)x2(x)0 ，當(dāng) x，22 ，時(shí)， f (x)0 ，所以 f (x)2時(shí)， f222無(wú)極值若 a2 ， x( 2，) ， f( x)(2x 1)20 ， f (x) 也無(wú)極值x2（）若0，即 a2 或 a2 ，則 2x22ax10 有兩個(gè)不同的實(shí)根x1aa22， x2aa2222當(dāng) a2時(shí)， x1a， x2a ，從而 f( x) 在 f ( x) 的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故 f (x) 無(wú)極值用心愛心專心2當(dāng) a2 時(shí)， xa ， xa ，f ( x)在f (x)的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，12由極值判別方法知f (x) 在 xx1， xx2 取得極值綜上， f (x) 存在極值時(shí)， a 的取值范圍為 (2， ) f ( x) 的極值之和為f ( x1 )f ( x2 )ln( x1a)x12ln( x2a)x22ln 1a 211ln 2ln e 22第 4 題 .（2007 湖南理）函數(shù)f (x)12 xx3 在區(qū)間 3，3 上的最小值是答案：16第 5 題 . (2007湖南文 ) 已知函數(shù)f (x)1 x3 1 ax2 bx 在區(qū)間 11)， ， (13， 內(nèi)各有一個(gè)32極值點(diǎn)（I ）求 a24b 的最大值；（ II ）當(dāng) a24b8 時(shí)，設(shè)函數(shù)yf (x) 在點(diǎn) A(1， f (1) 處的切線為l ，若 l 在點(diǎn) A 處穿過(guò)函數(shù) yf (x) 的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A 附近沿曲線yf ( x) 運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 時(shí)，從 l 的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)） ，求函數(shù)f ( x) 的表達(dá)式答案：解：（ I ）因?yàn)楹瘮?shù)f ( x)1 x3 1 ax2 bx 在區(qū)間 11)， ， (13， 內(nèi)分別有一個(gè)極值32點(diǎn)，所以f ( x)x2axb0 在 11)， ， (13， 內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為x1， x2 （ x1x2 ），則 x2x1a24b ，且 0x2x1 4 于是0a24b 4 ， 0a24b 16 ，且當(dāng) x11，x23 ，即 a2 ， b3 時(shí)等號(hào)成立故 a24b 的最大值是16（II ）解法一：由f (1) 1 ab 知 f ( x) 在點(diǎn) (1， f (1) 處的切線 l 的方程是y f (1)f (1)(x1) ，即 y(1 a21b)xa ，32因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) A(1， f (1) 處穿過(guò) yf ( x) 的圖象，所以 g(x)f ( x)(1 a b) x21 a 在 x1 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則32x 1 不是 g( x) 的極值點(diǎn)用心愛心專心3而 g( x)1x31ax2bx(1ab)x21a ，且3232g (x)x2axb (1ab)x2axa1( x 1)(x 1 a) 若 11a ，則 x 1 和 x1a 都是 g(x) 的極值點(diǎn)所以 11a ，即 a2又由 a24b8 ，得 b1故 f (x)1 x3x2x 21 a3解法二：同解法一得 g( x)f ( x)(1ab) x321( x1) x2(13a) x(23a) 322因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) A(1， f (1) 處穿過(guò) yf ( x) 的圖象，所以 g(x) 在 x1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)于是存在 m1， m2 （ m11m2 ）當(dāng) m1x1 時(shí)， g( x)0 ，當(dāng) 1 xm2 時(shí)， g( x)0 ；或當(dāng) m1x1時(shí)， g( x)0 ，當(dāng) 1xm2 時(shí)， g( x) 0 設(shè) h( x)x21 3ax23a，則22當(dāng) m1x1 時(shí)， h(x)0 ，當(dāng) 1 xm2 時(shí)， h( x)0 ；或當(dāng) m1x1時(shí)， h( x)0 ，當(dāng) 1xm2 時(shí)， h( x)0 由 h(1)0 知 x 1 是 h(x) 的一個(gè)極值點(diǎn)，則h (1)2113a0 21 x3所以 a2 又由 a24b8 ，得 b1，故 f ( x)x2x3第 6 題 . (2007 江蘇 ) 已知函數(shù) f ( x)x312 x8 在區(qū)間3，3上的最大值與最小值分別為 M ， m ，則 M m_答案：32第 7 題 . (2007江西理 ) 設(shè) p : f ( x)exln x 2x2mx1 在 (0，) 內(nèi)單調(diào)遞增，q : m 5 ，則 p 是 q 的（）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件答案： B用心愛心專心4第 8 題 .（全國(guó)卷 I 理）設(shè)函數(shù) f (x)exe x （）證明：f ( x) 的導(dǎo)數(shù) f (x) 2；（）若對(duì)所有x 0 都有 f ( x) ax ，求 a 的取值范圍答案：解：（） f (x) 的導(dǎo)數(shù) f(x)exe x 由于 exe-x 2 ex e x2 ，故 f (x) 2 （當(dāng)且僅當(dāng) x0 時(shí)，等號(hào)成立） y（）令 g (x)f ( x)ax ，則ADg ( x)f (x) a exe xa ，F(xiàn)1 OPxF2（）若 a 2 ，當(dāng) x0 時(shí)， g ( x)exe xa 2 a 0 ，BC故 g( x) 在 (0， ) 上為增函數(shù)，所以， x 0 時(shí)， g( x) g(0) ，即 f ( x) ax （）若 a2，方程 g (x) 0 的正根為 x1 lnaa242，此時(shí)，若 x(0， x1) ，則 g ( x) 0 ，故 g (x) 在該區(qū)間為減函數(shù)所以， x(0， x1) 時(shí)， g ( x) g (0)0，即 f (x)ax ，與題設(shè) f ( x) ax 相矛盾綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是，2第 9 題 .(2007全國(guó) I1x3x 在點(diǎn)4文 ) 曲線 y1， 處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積33為（） 1 2 1 29933答案： A第 10 題 . (2007全國(guó) I文 ) 設(shè)函數(shù) f ( x)2 x33ax 23bx 8c 在 x1 及 x2 時(shí)取得極值（）求 a、b 的值；（）若對(duì)于任意的x0，3 ，都有 f (x)c2 成立，求 c 的取值范圍答案：（） f( x)6x26ax 3b ，用心愛心專心5因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) 在 x1及 x2 取得極值，則有f (1) 0 ， f (2) 0 66a3b，0即24 12a 3b 0解得 a3 ， b4（）由（）可知，f ( x)2x39x212x8c ，f (x)6x218x126( x1)(x2) 當(dāng) x (01)， 時(shí)， f ( x) 0；當(dāng) x(12)， 時(shí)， f( x)0；當(dāng) x(2，3) 時(shí)， f ( x)0 所以，當(dāng) x1 時(shí)， f ( x) 取得極大值f (1)58c ，又 f (0)8c ， f (3) 9 8c 則當(dāng) x0，3時(shí)， f (x) 的最大值為 f (3)98c 因?yàn)閷?duì)于任意的 x0，3，有 f ( x)c2 恒成立，所以98cc2 ，解得c1或 c9 ，因此 c 的取值范圍為(， 1)(9，) 第 11 題 . (2007全國(guó) II理 ) 已知函數(shù)f ( x)x3x （1）求曲線yf (x) 在點(diǎn) M (t， f (t) 處的切線方程；（2）設(shè) a0 ，如果過(guò)點(diǎn) (a， b) 可作曲線 yf (x) 的三條切線，證明：abf (a) 答案：解：（ 1）求函數(shù)f (x) 的導(dǎo)數(shù)：f (x)3x21 曲線 yf ( x) 在點(diǎn) M (t， f (t) 處的切線方程為：yf (t )f (t )( xt ) ，即y(3t 21)x2t 3 （ 2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)(a， b) ，則存在 t ，使b(3t21)a2t3 用心愛心專心6于是，若過(guò)點(diǎn) (a，b) 可作曲線 yf ( x) 的三條切線，則方程2t33at 2a b0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記g (t )2t 33at 2a b ，則g (t)6t 26at6t (t a) 當(dāng) t 變化時(shí)， g(t)， g (t ) 變化情況如下表：t( ，0)0(0， a)a(a， )g (t)00極大極小值g(t)值 abbf ( a)由 g(t ) 的單調(diào)性，當(dāng)極大值 ab0或極小值 bf (a)0 時(shí)，方程 g(t ) 0 最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng) ab 0時(shí)，解方程 g(t)0 得 t0， t3a，即方程g(t )0 只有兩個(gè)相異的實(shí)2數(shù)根；當(dāng) bf (a)0時(shí)，解方程 g (t)0 得 ta ， ta ，即方程 g (t) 0 只有兩個(gè)相異2的實(shí)數(shù)根綜上，如果過(guò) (a，b) 可作曲線 yf ( x) 三條切線，即 g (t )0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，ab0，則b f (a) 0即 a b f (a) 第 12 題 . (2007陜西理 ) 設(shè)函數(shù) f ( x)ex2，其中 a 為實(shí)數(shù)xax a（ I ）若 f ( x) 的定義域?yàn)?R ，求 a 的取值范圍；（ II ）當(dāng) f ( x) 的定義域?yàn)?R 時(shí)，求 f (x) 的單調(diào)減區(qū)間答案：解：（） f ( x) 的定義域?yàn)镽 ， x2ax a0 恒成立，a24a 0 ，0 a 4 ，即當(dāng) 0 a 4 時(shí) f( x) 的定義域?yàn)?R 用心愛心專心7（） f( x)x(xa2)ex，令 f( x) 0 ，得 x( xa2) 0( x2axa)2由 f (x)0 ，得 x0 或 x2 a ，又0 a4 ，0a2 時(shí)，由 f( x)0 得 0x2a ；當(dāng) a2時(shí)， f( x) 0 ；當(dāng) 2 a4 時(shí)，由 f( x) 0得 2ax0 ，即當(dāng) 0a2 時(shí)， f ( x) 的單調(diào)減區(qū)間為(0，2a) ；當(dāng) 2a4時(shí)， f (x) 的單調(diào)減區(qū)間為 (2a，0) x322 t 第 13 題 . (2007浙江理 ) 設(shè) f ( x)，對(duì)任意實(shí)數(shù) t ，記 gt (x)t 3 x33（I ）求函數(shù) yf (x)g8 ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當(dāng) x0 時(shí)， f (x) gt ( x) 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立；（）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0 ，使得 g8 ( x0 ) gt ( x0 ) 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立答案：（ I）解： yx34x1633由 yx240 ，得x2 因?yàn)楫?dāng) x(， 2) 時(shí)， y0 ，當(dāng) x(2，2) 時(shí)， y0 ，當(dāng) x(2，) 時(shí)， y0，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(， 2) ， (2，) ，單調(diào)遞減區(qū)間是( 2，2) （II）證明：（ i ）方法一：x322 t (x 0) ，則令 h( x)f ( x) gt ( x)t 3 x33h ( x) x22t 3 ，用心愛心專心81當(dāng) t0 時(shí)，由 h (x) 0 ，得 x t 3 1當(dāng) x(0， x 3 ) 時(shí)， h ( x)0 ，1當(dāng) x( x3， ) 時(shí)， h ( x)0 ，1所以 h( x) 在 (0，) 內(nèi)的最小值是 h(t 3 )0 故當(dāng) x0 時(shí)， f ( x) gt (x) 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立方法二：22 t(t對(duì)任意固定的x0 ，令 h(t ) gt ( x) t 3 x0) ，則311h (t )2 t 3 ( x t 3 ) ，3由 h (t)0 ，得 tx3 當(dāng) 0t x3 時(shí)， h (t ) 0 當(dāng) tx3 時(shí)， h (t )0，所以當(dāng) tx3時(shí)， h(t) 取得最大值 h( x3 )1 x33因此當(dāng) x0時(shí)， f ( x) gt ( x) 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立（ii ）方法一：f (2)8g8 (2) 3由（ i）得， g8 (2) gt (2)對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立即存在正實(shí)數(shù) x02 ，使得 g8 (2) gt (2)對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立下面證明 x0 的唯一性：當(dāng) x02 ， x0 0 ， t 8 時(shí)，f ( x0 )x03， g8( x0 ) 4x0 16 ，33由（ i）得， x034x0 16，33用心愛心專心9再取 tx03 ，得 gx 3 ( x0 )x03，03所以 g8( x0 ) 4 x016x03gx 3 ( x0 ) ，330即 x02 時(shí)，不滿足 g8 ( x0 ) gt ( x0 ) 對(duì)任意 t0都成立故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x02 ，使得 g8 ( x0 ) gt (x0 ) 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立方法二：對(duì)任意x0 0， g8( x0 )4x016，1 x 33因?yàn)?gt (x0 ) 關(guān)于 t 的最大值是，所以要使 g8 (x0 ) gt ( x 0) 對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必30要條件是：4x0 16 1x03 ，33即 (x02)2 ( x04) 0 ，又因?yàn)?x00 ，不等式成立的充分必要條件是x0 2 ，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x02，使得 g8 ( x0 ) gt (x0 ) 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立第 14題 . (2007 湖 北 理 ) 已 知 定 義 在 正 實(shí) 數(shù) 集 上 的 函 數(shù)12f ( x)x 2 a x2，g( x)3a2 ln xb ，其中 a0設(shè)兩曲線 yf ( x) ， yg( x) 有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I ）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；（II ）求證： f ( x) g( x) （ x0 ）答案： 本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力解：（）設(shè) yf (x) 與 yg( x)( x0) 在公共點(diǎn) (x0， y0 ) 處的切線相同 f ( x)x2a ， g ( x)3a2g (x0 ) ， f (x0 ) g ( x0 ) ，由題意 f ( x0 )x用心愛心專心101222x02ax03aln x0b，3a2得： x0a ，或 x03a （舍去）即3a2由 x02ax0，x02ax0即有 b1 a22a23a2 ln a5 a23a2 ln a 22令 h(t )5t 23t 2 ln t(t0)，則 h (t)2t (13ln t) 于是21當(dāng) t(13ln t)0 ，即 0te3 時(shí)， h (t ) 0 ；1當(dāng) t(13ln t)0 ，即 te3 時(shí)， h (t )0 11故 h(t ) 在，3為增函數(shù)，在3， 為減函數(shù)，0ee12于是 h(t) 在 (0， ) 的最大值為 h e33 e3 2（）設(shè) F ( x)f ( x)g( x)1 x22ax 3a 2 ln x b(x 0) ，2則 F (x)x2a3a2( xa)( x 3a) ( x0) xx故 F ( x) 在 (0，a) 為減函數(shù)，在 ( a， ) 為增函數(shù)，于是函數(shù) F ( x) 在 (0， ) 上的最小值是F (a)F ( x0 )f (x0 )g( x0 )0 故當(dāng) x0 時(shí)，有 f ( x)g (x) 0 ，即當(dāng) x0時(shí)， f (x) g ( x)第 15 題 .(2007 安徽文 ) 設(shè)函數(shù) f (x)cos2x4t sin x cos x4t3t23t 4 ，xR ，22其中 t 1，將 f ( x) 的最小值記為g (t ) （ I ）求 g(t) 的表達(dá)式；（ II ）討論 g(t ) 在區(qū)間 ( 11)， 內(nèi)的單調(diào)性并求極值答案：解：（ I ）我們有f ( x)cos2 x4t sin x cos x4t 3t23t 422sin2x1 2t sin4t2t 23t4sin2x2t sin xt 24t 33t3用心愛心專心11(sin xt)24t 33t 3 由于 (sin x t )2 0 ， t 1，故當(dāng) sin x t 時(shí)， f ( x) 達(dá)到其最小值g(t ) ，即g(t)4t33t3 （ II ）我們有 g (t)12t 233(2t1)(2t1)，t1 列表如下：t，11 ，11 ，12222212g (t )00極大值極小值g(t)g112g2由此可見， g(t ) 在區(qū)間，1和1， 單調(diào)增加， 在區(qū)間11， 單調(diào)減小， 極小值為122122g 12 ，極大值為 g24 2第 16 題 .設(shè) a 0 ， f ( x) x 1 ln2 x 2a ln x( x 0) （）令 F (x)xf( x) ，討論 F (x) 在 (0， ) 內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有 xln 2 x2a ln x1答案： （）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有f ( x) 12ln x2a， x0 ，xx故 F (x)xf ( x)x2ln x2a， x0 ，于是 F ( x) 12x20，xx， x列表如下：x(0，2)2(2， )F ( x)0極小值F (x)F (2)故知 F (x) 在 (0，2) 內(nèi)是減函數(shù)，在(2， ) 內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x2 處取得極小值用心愛心專心12F (2)22ln 22a （）證明：由a 0 知， F ( x) 的極小值 F (2)22ln 22a0 于是由上表知，對(duì)一切x(0， ) ，恒有 F (x)xf ( x)0從而當(dāng) x0 時(shí)，恒有f (x)0，故 f (x) 在 (0， ) 內(nèi)單調(diào)增加所以當(dāng) x1 時(shí)， f ( x)f (1)0 ，即 x1ln 2x2a ln x0 故當(dāng) x1時(shí)，恒有 xln 2 x2a ln x1天津理 ) 已知函數(shù) f ( x)2ax a21R ) ，其中 aR 第 17 題 . (2007x21( x（）當(dāng) a1時(shí)，求曲線 yf ( x) 在點(diǎn) (2， f (2) 處的切線方程；（）當(dāng) a0 時(shí)，求函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間與極值答案：（）解：當(dāng) a1 時(shí)， f ( x)x2x ， f (2)4，2152( x22 2x26又 f (x)1) 2x 2x， f(2)( x21)2( x21)225所以，曲線 yf ( x) 在點(diǎn) (2， f (2)處的切線方程為y46 (x 2) ，525即 6x2 y32 0（）解：f ( x)2a(x21)2x(2axa21)2( xa)( ax1) (x2 1)2(x21)2由于 a0 ，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)a0時(shí)，令 f( x)0 ，得到x11，x2a當(dāng)x變化時(shí)，的變af ( x) f (x)化情況如下表：x ，111，aa(a， )aaaf( x)00f (x)極極小值大值所以 f (x) 在區(qū)間 ， 1， ( a， ) 內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間1， a內(nèi)為增函數(shù)