2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)一輪復(fù)習(xí) 第23課時(shí) 正方形一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理（課前完成）1. （一）定義:（1）正方形的定義： 的平行四邊形叫正方形。(2）依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。2. 正方形的性質(zhì)與判定：正方形的的性質(zhì)： 正方形的常用判定方法： 正方形的四個(gè)角都是_，四條邊都_； 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； _的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂 對(duì)角線相等的_是正方形直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 對(duì)角線互相垂直的_是正方形.3.正方形的對(duì)稱性與面積：正方形是_對(duì)稱圖形，又是 對(duì)稱圖形,它有_條對(duì)稱軸S= 4.完成下表原四邊形形狀任意四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形箏形中點(diǎn)四邊形形狀結(jié)論：中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的 有關(guān)，若原四邊形的對(duì)角線 ，則其中點(diǎn)四邊形是菱形；若原四邊形的對(duì)角線互相垂直則其中點(diǎn)四邊形是 ；若原四邊形的對(duì)角線 ，則其中點(diǎn)四邊形是 。二、基礎(chǔ)診斷題1順次連接正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）A矩形B正方形C菱形D直角梯形2. 如圖，菱形中，則以為邊長(zhǎng)的正方形的周長(zhǎng)為( )A14B15C16 D17第3題圖BACDFE（第2題圖）3.如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 三、典型例題 例題1（xx福州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點(diǎn)F，則BFC為【 】A45 B55 C60 D75例題2、（xx年四川南充）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）分析：過(guò)點(diǎn)A作ADx軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CEx軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出OAD=COE，再利用“角角邊”證明AOD和OCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據(jù)點(diǎn)C在第二象限寫出坐標(biāo)即可解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADx軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CEx軸于E，四邊形OABC是正方形，OA=OC，AOC=90，COE+AOD=90，又OAD+AOD=90，OAD=COE，在AOD和OCE中，AODOCE（AAS），OE=AD=，CE=OD=1，點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，1）故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)例題3、（xx宜賓）如圖，將n個(gè)邊長(zhǎng)都為2的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，An分別是正方形的中心，則這n個(gè)正方形重疊部分的面積之和是（）AnBn1C（）n1 D （）n考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：規(guī)律型分析：根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分即為（n1）個(gè)陰影部分的和解答：解：由題意可得一個(gè)陰影部分面積等于正方形面積的，即是4=1，5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：14，n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：1（n1）=n1故選：B點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計(jì)算方法，難點(diǎn)是求得一個(gè)陰影部分的面積四、達(dá)標(biāo)檢測(cè)題（一）基礎(chǔ)檢測(cè)一、選擇題（每小題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.）1（xx蘭州）下列命題中正確的是（）A有一組鄰邊相等的四邊形是菱形B有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形C對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形D一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形2如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形，邊與DC交于點(diǎn)O，則四邊形的周長(zhǎng)是( )A B C D3. 如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）2題圖3題圖A 8 B 4 C 8 D 6 4題圖 7題圖 4 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：BEDF，DAF15，AC垂直平分EF，BE+DFEF，SCEF2SABE其中正確的結(jié)論有( )個(gè) A2 B3 C4 D5二、填空題5 如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，連接ACBD，CE平分ACD交BD于點(diǎn)E，則DE= 6. 已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是 .7. 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是 。8. 如圖矩形紙片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一點(diǎn)E，ED2cm，AD上有一點(diǎn)P，PD3cm，過(guò)P作PFAD交BC于F，將紙片折疊，使P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與PF交于Q點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)是_cm.9（xx泰州）如圖，正方向ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，DAE=30，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q若PQ=AE，則AP等于1或2cm10（xx蘇州）已知正方形ABCD的對(duì)角線AC=，則正方形ABCD的周長(zhǎng)為4三、解答題11（xx自貢）如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小 12（xx隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)（1）求證：ABMDCM；（2）填空：當(dāng)AB：AD=1：2時(shí)，四邊形MENF是正方形（二）能力提升1（xx廣州）將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng)時(shí)，如圖，測(cè)得，當(dāng)時(shí)，如圖，（ ）（A） （B）2 （C） （D） 2.（xx濰坊）如圖，已知正方形ABCD，頂點(diǎn)A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過(guò)xx次變換后，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋ǎ〢（xx，2）B（xx，2）C（xx，2）D（xx，2）3（xx株洲）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)腁B=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）A選B選C選D選4（xx涼山州）順次連接矩形四邊中點(diǎn)所形成的四邊形是 學(xué)校的一塊菱形花園兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6m和8m，則這個(gè)花園的面積為 5（xx梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE（1）求證：CE=CF；（2）若點(diǎn)G在AD上，且GCE=45，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？6（xx濟(jì)寧）如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連接BF、DF.（1）求證：BF=DF；（2）連接CF，請(qǐng)直接寫出BECF的值（不必寫出計(jì)算過(guò)程）.7(xx年山東省濱州市)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到DC處，連接AC，BC，CC，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過(guò)程8（xx年山東煙臺(tái)）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明）（3）如圖，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖若AD=2，試求出線段CP的最小值9（xx威海）猜想與證明：如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論拓展與延伸：（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 （2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立五、課后反饋1. 如圖所示，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)，則cosOMN的值為（ ）A B C D1 DNABCMO3題圖2 如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，分別連接AM、CM. 求證：AM=CM.3.如圖1，有一組平行線，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在上，過(guò)點(diǎn)且垂直于于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，（1），正方形的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)在直線上，以為邊在的左側(cè)作菱形，使點(diǎn)分別在直線上寫出與的函數(shù)關(guān)系并給出證明；若，求菱形的邊長(zhǎng)AEDBCGABCDEFG【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，知, 又，所以正方形的邊長(zhǎng)為 （2）過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)M，在中, ,故，所以互余，與之和為，故=.過(guò)E點(diǎn)作ON垂直于分別交于點(diǎn)O，N，若,，,故, , ，由勾股定理可知菱形邊長(zhǎng)為.