第五章 2 理 解 教材 新 知把 握 熱點(diǎn) 考 向應(yīng) 用 創(chuàng) 新 演 練 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三 知 識 點(diǎn)一 知 識 點(diǎn)二 知 識 點(diǎn) 三 知 識 點(diǎn)四 已 知 復(fù) 數(shù) z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R) 問 題 1： 多 項(xiàng) 式 的 加 減 實(shí) 質(zhì) 是 合 并 同 類 項(xiàng) ， 類 比 想 一想 復(fù) 數(shù) 如 何 加 減 提 示 ： 兩 個 復(fù) 數(shù) 相 加 (減 )就 是 把 實(shí) 部 與 實(shí) 部 、 虛 部 與虛 部 分 別 相 加 (減 )， 即 (a bi) (c di) (a c) (b d)i. 問 題 2： 類 比 向 量 的 加 法 ， 復(fù) 數(shù) 的 加 法 滿 足 交 換 律 和結(jié) 合 律 嗎 ？ 提 示 ： 滿 足 1 加 (減 )法 法 則 設(shè) a bi與 c di(a， b， c， d R)是 任 意 復(fù) 數(shù) ， 則 ： (a bi) (c di) . 2 運(yùn) 算 律 對 任 意 的 z1， z2， z3 C， 有 z1 z2 (交 換 律 )； (z1 z2) z3 (結(jié) 合 律 ).(a c) (b d)iz2 z1z1 (z2 z3) 問 題 1： 復(fù) 數(shù) 的 加 減 類 似 于 多 項(xiàng) 式 加 減 ， 試 想 ： 復(fù) 數(shù)相 乘 是 否 類 似 兩 多 項(xiàng) 式 相 乘 ？ 提 示 ： 是 問 題 2： 復(fù) 數(shù) 的 乘 法 是 否 滿 足 交 換 律 、 結(jié) 合 律 ， 以 及乘 法 對 加 法 的 分 配 律 ？ 提 示 ： 滿 足 問 題 3： 試 舉 例 驗(yàn) 證 復(fù) 數(shù) 乘 法 的 交 換 律 提 示 ： 若 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R)z1z2 (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i，z2z1 (c di)(a bi) (ac bd) (bc ad)i.故 z1z2 z2z1. 復(fù) 數(shù) 的 乘 法(1)定 義 ： (a bi)(c di) .(2)運(yùn) 算 律 ： 對 任 意 z1， z2， z3 C， 有 (ac bd) (ad bc)i交 換 律 z1z2 結(jié) 合 律 (z1z2)z3 乘 法 對 加 法 的 分 配 律 z1(z2 z3) z2z1 z1(z2z3) z1z2 z1z3 復(fù) 數(shù) 的 乘 方 ： 任 意 復(fù) 數(shù) z， z 1， z2和 正 整 數(shù) m， n， 有zmzn ， (zm)n ， (z1z2)n .zm n zmn 1 2n nz z 觀 察 下 列 三 組 復(fù) 數(shù)(1)z1 2 i； z2 2 i；(2)z1 3 4i； z2 3 4i；(3)z1 4i； z2 4i.問 題 1： 每 組 復(fù) 數(shù) 中 的 z1與 z2有 什 么 關(guān) 系 ？提 示 ： 實(shí) 部 相 等 ， 虛 部 互 為 相 反 數(shù) 問 題 2： 試 計(jì) 算 每 組 中 的 z1z2， 你 發(fā) 現(xiàn) 了 什 么 規(guī) 律 嗎 ？提 示 ： z 1與 z2的 積 等 于 z1的 實(shí) 部 與 虛 部 的 平 方 和 實(shí) 部 虛 部共 軛 復(fù) 數(shù) a bi |z|2 問 題 1： 根 據(jù) 乘 法 運(yùn) 算 法 則 和 復(fù) 數(shù) 相 等 的 概 念 ， 請 用 a，b， c， d表 示 出 x， y. 問 題 2： 運(yùn) 用 上 述 方 法 求 兩 個 復(fù) 數(shù) 的 商 非 常 繁 瑣 ，有 更 簡 便 的 方 法 求 兩 個 復(fù) 數(shù) 的 商 嗎 ？ 提 示 ： 可 以 用 分 母 的 共 軛 復(fù) 數(shù) 同 乘 分 子 與 分 母 后 ，再 進(jìn) 行 運(yùn) 算 1 復(fù) 數(shù) 的 加 法 、 減 法 和 乘 法 與 多 項(xiàng) 式 的 加 法 、 減法 和 乘 法 相 類 似 ， 但 應(yīng) 注 意 在 乘 法 中 必 須 把 i2換 成 1，再 把 實(shí) 部 、 虛 部 分 別 合 并 2 復(fù) 數(shù) 的 除 法 和 實(shí) 數(shù) 的 除 法 有 所 不 同 ， 實(shí) 數(shù) 的 除法 可 以 直 接 約 分 、 化 簡 得 出 結(jié) 果 ； 而 復(fù) 數(shù) 的 除 法 是 先 將兩 復(fù) 數(shù) 的 商 寫 成 分 式 ， 然 后 分 母 實(shí) 數(shù) 化 (分 子 、 分 母 同 乘分 母 的 共 軛 復(fù) 數(shù) ) 例 1 計(jì) 算 ： (1)(1 2i) (3 4i) (5 6i)；(2)5i (3 4i) ( 1 3i)；(3)(a bi) (2a 3bi) 3i(a， b R)思 路 點(diǎn) 撥 利 用 復(fù) 數(shù) 加 減 運(yùn) 算 的 法 則 計(jì) 算 精 解 詳 析 (1)(1 2i) (3 4i) (5 6i) (4 2i) (5 6i) 1 8i.(2)5i (3 4i) ( 1 3i) 5i (4 i) 4 4i.(3)(a bi) (2a 3bi) 3i (a 2a) b ( 3b) 3i a (4b 3)i. 一 點(diǎn) 通 復(fù) 數(shù) 加 、 減 運(yùn) 算 的 方 法 技 巧 ： （ 1） 復(fù) 數(shù) 的 實(shí) 部 與 實(shí) 部 相 加 、 減 ； 虛 部 與 虛 部 相 加 、減 （ 2） 把 i看 作 一 個 字 母 ， 類 比 多 項(xiàng) 式 加 、 減 中 的 合 并同 類 項(xiàng) 2 若 (3 10i)y ( 2 i)x 1 9i， 求 實(shí) 數(shù) x， y的 值 思 路 點(diǎn) 撥 按 照 復(fù) 數(shù) 的 乘 法 與 除 法 運(yùn) 算 法 則 進(jìn) 行計(jì) 算 精 解 詳 析 (1)(1 i)(1 i) ( 1 i) 1 i2 ( 1 i) 2 1 i 1 i.(2)(2 i)( 1 5i)(3 4i) 2i ( 2 10i i 5i2)(3 4i) 2i ( 2 11i 5)(3 4i) 2i (3 11i)(3 4i) 2i (9 12i 33i 44i 2) 2i 53 21i 2i 53 23i. 一 點(diǎn) 通 （ 1） 復(fù) 數(shù) 的 乘 法 可 以 把 i看 作 字 母 ， 按 多 項(xiàng) 式 的 乘法 法 則 進(jìn) 行 ， 注 意 把 i2化 成 1， 進(jìn) 行 最 后 結(jié) 果 的 化 簡 ；復(fù) 數(shù) 的 除 法 先 寫 成 分 式 的 形 式 ， 再 把 分 子 與 分 母 都 乘 以分 母 的 共 軛 復(fù) 數(shù) ， 并 進(jìn) 行 化 簡 （ 2） im(m N )具 有 周 期 性 ， 且 最 小 正 周 期 為 4，則 ： i 4n 1 i， i4n 2 1， i4n 3 i， i4n 1(nN )； i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0(n N ) 3 (2011浙 江 高 考 )若 復(fù) 數(shù) z 1 i， i為 虛 數(shù) 單 位 ， 則 (1z)z ( )A 1 3i B 3 3iC 3 i D 3解 析 ： (1 z)z z z2 1 i (1 i)2 1 i 2i 1 3i.答 案 ： A 4 (2012山 東 高 考 )若 復(fù) 數(shù) z滿 足 z(2 i) 11 7i(i為 虛 數(shù)單 位 )， 則 z為 ( )A 3 5i B 3 5iC 3 5i D 3 5i答 案 ： A 解 ： (1)(4 i5)(6 2i7) (7 i11)(4 3i) (4 i)(6 2i) (7 i)(4 3i) 24 8i 6i 2 28 21i 4i 3 47 39i. 答 案 ： D