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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 9.2 雙曲線教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　雙曲線的定義與標準方程 【例1】已知動圓E與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心E的軌跡方程. 【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－， 所以|AE|－|BE|＝2，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,2＜|AB|. 根據(jù)雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支. 因為a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14， 故點E的軌跡方程是－＝1(x≥). 【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支. 【變式訓練1】P為雙曲線－＝1的右支上一點，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和 (x－5)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】選D. 題型二　雙曲線幾何性質(zhì)的運用 【例2】雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍. 【解析】設(shè)P(x，y)，則由＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上， 即 (x－)2＋y2＝()2，① 又P在雙曲線上，得－＝1，② 由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0， 即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0， 當x＝a時，P與A重合，不符合題意，舍去； 當x＝時，滿足題意的點P存在，需x＝＞a， 化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜， 所以離心率的取值范圍是(1，). 【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法. 【變式訓練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　) A.k2－e2＞1 B.k2－e2＜1 C.e2－k2＞1 D.e2－k2＜1 【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1，故選C. 題型三　有關(guān)雙曲線的綜合問題 【例3】(xx廣東模擬)已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點. (1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程； (2)若過點H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值. 【解析】(1)由題意知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，則有 直線A1P的方程為y＝(x＋)，① 直線A2Q的方程為y＝(x－).② 方法一：聯(lián)立①②解得交點坐標為x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③ 則x≠0，|x|＜. 而點P(x1，y1)在雙曲線－y2＝1上，所以－y＝1. 將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為＋y2＝1，x≠0且x≠. 方法二：設(shè)點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，①②得y2＝(x2－2).③ 又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此－y＝1，即y＝－1. 代入③式整理得＋y2＝1. 因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2均不重合.故點A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(，0)的直線l的方程為x＋y－＝0. 解方程組得x＝，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點A2. 故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，－1). 綜上分析，軌跡E的方程為＋y2＝1，x≠0且x≠. (2)設(shè)過點H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)， 聯(lián)立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0， 解得k1＝，k2＝－. 由于l1⊥l2，則k1k2＝－＝－1，故h＝. 過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由(－)＝－1，得h＝. 此時，l1，l2的方程分別為y＝x＋與y＝－x＋， 它們與軌跡E分別僅有一個交點(－，)與(，). 所以，符合條件的h的值為或. 【變式訓練3】雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于(　　) A.1＋2 B.3＋2 C.4－2 D.5－2 【解析】本題考查雙曲線定義的應用及基本量的求解. 據(jù)題意設(shè)|AF1|＝x，則|AB|＝x，|BF1|＝x. 由雙曲線定義有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a ?(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(＋1)x－x＝4a，即x＝2a＝|AF1|. 故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝＝. 又由定義可得|AF2|＝|AF1|－2a＝2a－2a，即＝2－2a， 兩邊平方整理得c2＝a2(5－2)?＝e2＝5－2，故選D. 總結(jié)提高 1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，但應特別注意不同點，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等. 2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線；當||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線；當 ||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|時，P無軌跡. 3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題： (1)已知雙曲線方程，求它的漸近線； (2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝x，可將雙曲線方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法.