2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.2 雙曲線教案 理 新人教A版典例精析題型一雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知動圓E與圓A：(x4)2y22外切，與圓B：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心E的軌跡方程.【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE|r，|BE|r，所以|AE|BE|2，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,2|AB|.根據(jù)雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支.因為a，c4，所以b2c2a214，故點E的軌跡方程是1(x).【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線1的右支上一點，M，N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為()A.6B.7C.8D.9【解析】選D.題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運用【例2】雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使0，求此雙曲線離心率的取值范圍.【解析】設(shè)P(x，y)，則由0，得APPQ，則P在以AQ為直徑的圓上，即 (x)2y2()2，又P在雙曲線上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，當(dāng)xa時，P與A重合，不符合題意，舍去；當(dāng)x時，滿足題意的點P存在，需xa，化簡得a22b2，即3a22c2，所以離心率的取值范圍是(1，).【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是()A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足k，即k2e21，故選C.題型三有關(guān)雙曲線的綜合問題【例3】(xx廣東模擬)已知雙曲線y21的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個動點.(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；(2)若過點H(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由題意知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x).方法一：聯(lián)立解得交點坐標(biāo)為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點P(x1，y1)在雙曲線y21上，所以y1.將代入上式，整理得所求軌跡E的方程為y21，x0且x.方法二：設(shè)點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，得y2(x22).又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此y1，即y1.代入式整理得y21.因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2均不重合.故點A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(，0)的直線l的方程為xy0.解方程組得x，y0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點A2.故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，1).綜上分析，軌跡E的方程為y21，x0且x.(2)設(shè)過點H(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯(lián)立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，則k1k21，故h.過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由()1，得h.此時，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡E分別僅有一個交點(，)與(，).所以，符合條件的h的值為或.【變式訓(xùn)練3】雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于()A.12B.32C.42D.52【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.據(jù)題意設(shè)|AF1|x，則|AB|x，|BF1|x.由雙曲線定義有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)(1)xx4a，即x2a|AF1|.故在RtAF1F2中可求得|AF2|.又由定義可得|AF2|AF1|2a2a2a，即22a，兩邊平方整理得c2a2(52)e252，故選D.總結(jié)提高1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)|PF1|PF2|2a|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)|PF1|PF2|2a|F1F2|時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線；當(dāng)|PF1|PF2|2a|F1F2|時，P無軌跡.3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線yx，可將雙曲線方程設(shè)為(0)，再利用其他條件確定的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法.