2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列練習(xí) 理1數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aan BanCan Dan2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Snn22n1，則()Aan2n1(nN*)Ban2n1(nN*)CanDan3在數(shù)列an中，已知a11，且當(dāng)n2時(shí)，a1a2ann2，則a3a5()A. B. C. D.4(xx年福建)閱讀如圖X511所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，如果輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S(10,20)，那么n()圖X511A3 B4 C5 D65(xx年新課標(biāo))數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.6已知數(shù)列an滿足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，則axx_，axx_.7(xx年浙江樂清一模)已知遞增數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2kn2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_8(xx年廣東江門一模)將集合2s2t|0s<t，且s，tZ中的元素按上小下大，左小右大的原則排成如圖X512所示的三角形數(shù)表，將數(shù)表中位于第i行第j列的數(shù)記為bij(ij>0)，則b43_.35691012圖X5129已知在等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a1b11，b48，an的前10項(xiàng)和S1055.(1)求an和bn；(2)現(xiàn)分別從an和bn的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)寫出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項(xiàng)的值相等的概率10已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n1)n(nN*)，則當(dāng)n為多大時(shí)，an最大？第2講等差數(shù)列1(xx年福建)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，S312，則a6()A8 B10 C12 D142(xx年安徽)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6 B4 C2 D23(xx年天津)設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1()A2 B2 C. D4已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a7a13的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各式：a21；a7；S13；S14；S8S5.其結(jié)果為確定常數(shù)的是()A B C D5(xx年新課標(biāo))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m()A3 B4 C5 D66(xx年遼寧)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則()Ad<0 Bd>0Ca1d<0 Da1d>07(xx年廣東)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.8(xx年廣東)在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.9(xx年四川)在等差數(shù)列an中，a1a38，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和10(xx年新課標(biāo))已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a4a7a3n2.第3講等比數(shù)列1在等比數(shù)列an中，a23，a7a1036，則a15()A12 B12C6 D62(xx年江西)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)為()A24 B0 C12 D243設(shè)在公差d0的等差數(shù)列an中，a1，a3，a9成等比數(shù)列，則()A. B.C. D.4(xx年重慶)對任意的等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是()Aa1，a3，a9成等比數(shù)列 Ba2，a3，a6成等比數(shù)列Ca2，a4，a8成等比例列 Da3，a6，a9成等比數(shù)列5設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若8a2a50，則()A11 B5C8 D116(xx年新課標(biāo))設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an7(xx年重慶)已知an是等差數(shù)列，a11，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8_.8(xx年江西)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_9(xx年四川)在等比數(shù)列an中，a2a12，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和10(xx年北京)已知an是等差數(shù)列，滿足a13，a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且是等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和第4講數(shù)列的求和1在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前3項(xiàng)和為21，則a3a4a5()A33 B72 C84 D1892(xx年新課標(biāo))等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A. B C. D3(xx年新課標(biāo))等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.4(xx年大綱)在等比數(shù)列an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)gan的前8項(xiàng)和等于()A6 B5 C4 D35已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A. B. C. D.6若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()A15 B12C12 D157(xx年廣東揭陽一模)已知等差數(shù)列an滿足a1>0，5a88a13，則當(dāng)前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n()A20 B21 C22 D238如圖X541，它滿足：第n行首尾兩數(shù)均為n；圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角則第n(n2)行的第2個(gè)數(shù)是_122343477451114115圖X5419(xx年新課標(biāo))已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和10(xx年廣東佛山一模)數(shù)列an，bn的每一項(xiàng)都是正數(shù)，a18，b116，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列，n1,2,3，.(1)求a2，b2的值；(2)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，<成立第5講利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式1在等比數(shù)列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，則m()A9 B10C11 D122古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”如圖X551，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是()圖X55113310；25916；361521；491831；642836.A BC D3數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN*)若b32，b1012，則a8()A0 B3C8 D114設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若8a2a50，則下列式子中數(shù)值不能確定的是()A. B.C. D.5(xx年新課標(biāo))若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snan，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an_.6已知數(shù)列an滿足a11，an1，則an_.7已知在數(shù)列an中，a11，an12ann，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an_.8已知在數(shù)列an中，a11，an13an3n，則an_.9(xx年新課標(biāo))已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明：是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明：.10(xx年安徽)數(shù)列an滿足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn3n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.第6講合情推理和演繹推理1觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx.由歸納推理，得若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)2(xx年廣東茂名一模)已知2112,221334，23135456,2413575678，依此類推，第n個(gè)等式為_ _.3(xx年陜西)觀察下列等式：1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_4如圖X561，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，則截下的一個(gè)直角三角形按如圖X561(1)所標(biāo)邊長，由勾股定理，得c2a2b2.設(shè)想把正方形換成正方體，把截線換成如圖X561(2)所示的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OABC，若用s1，s2，s3表示三個(gè)側(cè)面面積，s4表示截面面積，則可以類比得到的結(jié)論是_(1)(2)圖X5615已知cos，coscos，coscoscos，根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是_6(xx年廣東汕頭一模)觀察下列一組等式：24，24，3，3，4，4，根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得出一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的等式，這個(gè)等式可表示為_7(xx年福建龍巖模擬)代數(shù)式1(“”表示無限重復(fù))是一個(gè)固定值，可以令原式t，由1t，解得其值為t，用類似方法可得_.8某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)試從上述5個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論9(xx年廣東廣州一模)在等差數(shù)列an中，a1a25，a37，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)m，n，且1<m<n，使得S1，Sm，Sn成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的m，n的值；若不存在，請說明理由第7講直接證明與間接證明1下列各式中，對xR都成立的是()Alg(x21)lg(2x) Bx212xC.1 Dx22要證a2b21a2b20，只要證()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)03若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcac.其證明過程如下：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.又a，b，c不全相等，2(a2b2c2)2(abbcac)a2b2c2abbcac.此證法是()A分析法 B綜合法C反證法 D分析法與綜合法并用4如下是證明1>的過程：要證1>，只需證>1，即證()2>(1)2，即證>，即證35>11，顯然成立1>.其證法是()A分析法 B綜合法C間接證法 D分析法與綜合法并用5(xx年山東)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A方程x2axb0沒有實(shí)根B方程x2axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x2axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x2axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根6，是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：mn；n；m.以其中的三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題_7下表中的對數(shù)值有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的：x358915lgx2abac33a3c4a2b3abc1請將錯(cuò)誤的一個(gè)改正為_8(xx年福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三個(gè)關(guān)系：a2；b2；c0有且只有一個(gè)正確，則100a10bc_.9(xx年湖北)已知等比數(shù)列an滿足|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由10(xx年浙江)已知等差數(shù)列an的公差d>0，設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65成立第8講數(shù)學(xué)歸納法1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，從“nk”到“nk1”左端需乘的代數(shù)式是()A2k1 B2(2k1)C. D.2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1222n22212，第二步證明由“k到k1”時(shí)，左邊應(yīng)加()Ak2 B(k1)2Ck2(k1)2k2 D(k1)2k23對一切正整數(shù)n，n2與2n的大小關(guān)系為 ()A對一切nN*，恒有n2<2n B對一切nN*，恒有n22n C當(dāng)n1或n5時(shí)，n2<2n，n2,3,4時(shí)，n22n D以上都不對4f(n)和g(n)都是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，滿足：f(1)g(1)；對nN*，f(n)f(n1)g(n)g(n1)那么猜想對nN*時(shí)，有()Af(n)>g(n)Bf(n)<g(n)Cf(n)g(n)Df(n)與g(n)大小關(guān)系不能確定5用數(shù)學(xué)歸納法證明122225n1是31的整數(shù)倍時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，上式等于()A12 B1222C122223 D122223246已知Sk(k1,2,3，)，則Sk1()ASk BSkCSk DSk7若不等式>對于一切nN*成立，則正整數(shù)m的最大值為_8已知f(n)，則下列說法正確的是_f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)；f(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)；f(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)；f(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2).9(xx年廣東深圳一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n1)(Sn1)(n2)2an(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求an；(3)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<.10(xx年重慶)設(shè)a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若b1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<c<a2n1對所有nN*恒成立？證明你的結(jié)論第五章數(shù)列、推理與證明第1講數(shù)列的概念與簡單表示法1B2.C3.B4B解析：根據(jù)題意，該算法的功能為第一步：k1，S2011，k2；第二步：S2113，k3；第三步：S2317，k4；第四步：S27115，k5.此時(shí)S15(10,20)，應(yīng)該退出程序那么此時(shí)判斷框中的條件是5>4，故n的值為4.5.解析：由已知，得an1，a82，a71，a611，a512.同理，a4，a31，a22，a1.610解析：axxa450331，axxa21007a1007a425210.7(3，)解析：由an為遞增數(shù)列，得an1an(n1)2k(n1)2n2kn22n1k>0恒成立，即k>(2n1)恒成立，即k>(2n1)max3.820解析：32021；52022,62122；92023,102123,122223；172024,182124,202224，.故b4320.9解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則S1010a145d55d1ana1(n1)dn，b4b1q38q2bnb1qn12n1，則ann，bn2n1.(2)a11，a22，a33，b11，b22，b34，從an，bn的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)寫出相應(yīng)的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，共9個(gè)，符合題意的有(1,1)，(2,2)，共2個(gè)，故抽取的兩項(xiàng)的值相等的概率為.10解：an1an(n2)n1(n1)nn，而n>0，當(dāng)n<9時(shí)，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即a10a9；當(dāng)n>9時(shí)，an1an<0，即an1<an.因此a1<a2<<a9a10>a11>a12>.當(dāng)n9或n10時(shí)，數(shù)列an有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為a9或a10.第2講等差數(shù)列1C解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a12，S3(a1a3)a23a212，a24，d2，則a6a15d12.2A解析：S88a1d4a34(a12d)，4a120d，a15d.又a7a16dd2，a110，a9a18d108(2)6.3D解析：S1，S2，S4成等比數(shù)列，SS1S4，即(2a11)2a1(4a16)解得a1.4A解析：由a1a7a13是一個(gè)確定的常數(shù)，得3a7是確定的常數(shù)，故正確；S1313a7是確定的常數(shù)，故正確；S8S5a6a7a83a7是確定的常數(shù)，故正確5C解析：SmSm1am2，Sm1Smam13，兩式相減，得am1amd1.解得m5.6C解析：由已知，得2<2，即<1,2<1.又anan1d，故2<1，從而a1d<0.72n1解析：由a3a4，得12d(1d)24，即d24.因?yàn)閍n是遞增的等差數(shù)列，所以d2，故an2n1.820解析：a3a8a12da17d2a19d10,3a5a73(a14d)(a16d)4a118d2(2a19d)21020.9解：設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以a1d4，d(d3a1)0.解得a14，d0，或a11，d3.所以，數(shù)列an的首項(xiàng)為4，公差為0，或首項(xiàng)為1，公差為3.所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn4n或Sn.10解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d0，由題意a1，a11，a13成等比數(shù)列，aa1a13.(a110d)2a1(a112d)，化為d(2a125d)0.d0，22525d0.解得d2.an25(n1)(2)2n27.(2)由(1)，得a3n22(3n2)276n31.可知此數(shù)列是以25為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列Sna1a4a7a3n23n228n.第3講等比數(shù)列1A解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a2a15a7a1036，則a1512.故選A.2A解析：方法一：2q，有2,3x32x，即x3，則等比數(shù)列3，6，12，的第四項(xiàng)為24.方法二：(3x3)2x(6x6)，9x218x96x26x，3x212x90，x3或x1(舍)則等比數(shù)列3，6，12，的第四項(xiàng)為24.3C4D解析：因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，aa3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列5D解析：設(shè)an的公比為q，則8a2a58a2a2q30，解得q2.11.6D解析：由題意，得Sn32an.764解析：a1，a2，a5成等比數(shù)列，有aa1a5，即(a1d)2a1(a14d)，d2a12，S88a1d85664.86解析：Sn2n12，S562，S6126.所以至少需要6天9解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由已知，得a2a1a1(q1)2，則a10.22a23a1a3，4a1q3a1a1q2.a1(4q3q2)0，即q24q30.解得q3或q1.由于a1(q1)2，則q1不合題意，應(yīng)舍去故公比q3，首項(xiàng)a11.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.10解：(1)由an是等差數(shù)列，得d3.an3(n1)33n.設(shè)q是等比數(shù)列bnan的公比，有q38，q2.bnan(b1a1)2n12n1.從而bnan2n13n2n1.(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn(3693n)(12222n1)2n1.第4講數(shù)列的求和1C2C解析：S3a210a1a1a2a3，a39a1，q29.a5a1q481a19，a1.3A解析：由已知，得aa2a8，(a16)2(a12)(a114)，a12.Snna1d2nn(n1)n2n.4C解析：由已知，得q.a123.lga1lg.an為等比數(shù)列，lganlgan1lglg(n2)，lgan為等差數(shù)列所求和為8lglg8(4lg23lg5)28(lg5lg2)4lg24lg54.故選C.5A解析：由a55，S515，得a11，d1.an1(n1)n.故.1.故選A.6A7B解析：由5a88a13，得5(a17d)8(a112d)da1.由ana1(n1)da1(n1)0n21.數(shù)列an的前21項(xiàng)都是正數(shù)，以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)故Sn取最大值時(shí)，n的值為21.故選B.8.解析：設(shè)第n(n2)行的第2個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列an，則有a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，相加，得ana223(n1)(n2)，an2.9解：(1)方程x25x60的根為2,3，又因?yàn)閍n是遞增的等差數(shù)列，則a22，a43.設(shè)數(shù)列的公差為d，a4a22d1，d，a1.an的通項(xiàng)公式為an(n1)1.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，由(1)知，則Sn，Sn，兩式相減，得Sn1.數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn2.10解：(1)由2b1a1a2，得a22b1a124.由ab1b2，得b236.(2)an，bn，an1成等差數(shù)列，2bnanan1.bn，an1，bn1成等比數(shù)列，abnbn1.數(shù)列an，bn的每一項(xiàng)都是正數(shù)，an1.于是當(dāng)n2時(shí)，an.將，代入式，得2，因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列(n1)d2n2，于是bn4(n1)2.由式，得當(dāng)n2時(shí)，an4n(n1)當(dāng)n1時(shí)，a18，滿足該式子，對一切正整數(shù)n，都有an4n(n1)(3)由(2)知，所證明的不等式為<.方法一：首先證明<(n2)<<7n27n<8n28n2n2n2>0(n1)(n2)>0，當(dāng)n2時(shí)，該式恒成立，當(dāng)n2時(shí)，<<.當(dāng)n1時(shí)，<.綜上所述，對一切正整數(shù)n，有<.方法二：<.當(dāng)n3時(shí)，<<<.當(dāng)n1時(shí)，<；當(dāng)n2時(shí)，<.綜上所述，對一切正整數(shù)n，有<.方法三：<.當(dāng)n4時(shí)，<<<.當(dāng)n1時(shí)，<；當(dāng)n2時(shí)，<；當(dāng)n3時(shí)，<.綜上所述，對一切正整數(shù)n，有<.第5講利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式1C2.C3B解析：由題意，得解得bnan1an，b1b2bnan1a1.a8b1b2b737(6)233. 4D解析：數(shù)列an為等比數(shù)列，則8a2a5a2(8q3)0.a20，q2.q24；q2；，其值與n有關(guān)故選D.5(2)n1解析：兩式相減，得ananan1，anan1，2，a11，則an(2)n1.6.解析：由an1，得3313(n1)an.732n1n1解析：令an1A(n1)B2(anAnB)，運(yùn)用待定系數(shù)法，得A1，B1.an1(n1)12(ann1)ann132n1.an32n1n1.8n3n1解析：an13an3n，1.令bn，數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，bn11(n1)n.ann3n1.9證明：(1)由an13an1，得an13.又a1，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列所以an.因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知，.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以，即.于是1<.所以<.10(1)證明：a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*，等式兩邊同除以n(n1)，得1，即1.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)，得1(n1)1n，即ann2.從而bn3nn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233334n3n1，兩式相減，得2Sn3132333nn3n1n3n1.Sn.第6講合情推理和演繹推理1D22n135(2n1)(n1)(n2)(n3)(nn)3122232(1)n1n2(1)n14ssss5coscoscos，nN*6.(n1)(n1)，nN*解析：由于(n1)，(n1)，故(n1)(n1)，nN*.72解析：類似令原式t，有t,2tt2，解得t1(舍去)或t2.8解：(1)選擇，由sin215cos215sin15cos151sin30，故這個(gè)常數(shù)是.(2)推廣，得到三角恒等式sin2cos2(30)sincos(30).證明：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.9解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)榧唇獾盟詀na1(n1)d13(n1)3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2(nN*)(2)因?yàn)?，所以?shù)列的前n項(xiàng)和Sn.假設(shè)存在正整數(shù)m，n，且1<m<n，使S1，Sm，Sn成等比數(shù)列，則SS1Sn，即2.所以n.因?yàn)閚>0，所以3m26m1<0.因?yàn)閙>1，所以1<m<1<3.因?yàn)閙N*，所以m2.此時(shí)n16.故存在滿足題意的正整數(shù)m，n，且只有一組值，即m2，n16.第7講直接證明與間接證明1C解析：A，D中x必須大于0，故排除A，D，B中應(yīng)為x212x，故B不正確2D3.B4.A5A解析：反證法的步驟第一步是假設(shè)命題反面成立，而“至少有一個(gè)實(shí)根”的否定是“沒有實(shí)根”故選A.6若，則(或若，則)解析：依題意可得以下四個(gè)命題：(1)mn，nm；(2)mn，mn；(3)mn，n，m；(4)，n，mmn.不難發(fā)現(xiàn)，命題(3)，(4)為真命題，而命題(1)，(2)為假命題7lg153abc解析：如果lg32ab是正確的，那么lg92lg32(2ab)4a2b；如果lg32ab是錯(cuò)誤的，那么lg94a2b也是錯(cuò)誤的，這與題意矛盾反過來，lg94a2b也不是錯(cuò)誤的，否則lg32ab是錯(cuò)誤的同樣，如果lg5ac，那么lg83lg23(1lg5)3(1ac)，如果lg5ac是錯(cuò)誤的，那么lg833a3c，也錯(cuò)誤，這與題意矛盾；顯然lg833a3c也不是錯(cuò)誤的，否則lg5ac也錯(cuò)誤lg15lg(35)lg3lg5(2ab)(ac)3abc.應(yīng)將最后一個(gè)改正為lg153abc.8201解析：由已知，若a2正確，則a0或a1，即a0，b1，c2或a0，b2，c1或a1，b0，c2或a1，b2，c0均與“三個(gè)關(guān)系有且只有一個(gè)正確”矛盾；若b2正確，則a2正確，不符合題意；所以c0正確，a2，b0，c1，故100a10bc201.9解：(1)a1a2a3a125，a25.又a2|q1|10，q1或q3.即或an5(1)n1或an53n2.(2)若q1，則若q3，則<<1.綜上所述，不存在滿足題意的正整數(shù)m. 10解：(1)S2S3(2a1d)(3a13d)36，將a11代入上式，解得d2或d5.公差d>0，d2，an12(n1)2n1，Snn2(nN*)(2)由(1)知，amam1am2amk(2mk1)(k1)65.m，kN*,2mk1>1，k1>1，解得(舍去)或解得綜上所述，m5，k4.第8講數(shù)學(xué)歸納法1B2.D3.C4.C5D解析：原等式共有5n項(xiàng)，當(dāng)n1時(shí)，25124，選D.6C解析：Sk1Sk.71007解析：記f(n)，則f(n1)f(n)>0，數(shù)列f(n)是遞增數(shù)列，則f(n)minf(1)，m1007.89(1)解：當(dāng)n1時(shí)，有4(11)(a11)(12)2a1，解得a18.當(dāng)n2時(shí)，有4(21)(a1a21)(22)2a2，解得a227.(2)解：方法一：當(dāng)n2時(shí)，有4(Sn1).4(Sn11).，得4an，即.1.an(n1)3(n2)方法二：根據(jù)a18，a227，猜想：an(n1)3.當(dāng)n1時(shí)，有a18(11)3，猜想成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想也成立，即ak(k1)3.那么當(dāng)nk1時(shí)，有4(k11)(Sk11)(k12)2ak1，即4(Sk11)，又 4(Sk1)，得4ak1，解得ak1(k2)3(k11)3 .當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立因此，由數(shù)學(xué)歸納法證得an(n1)3成立(3)證明：bn<，Tnb1b2b3bn1bn<<.10解：(1)方法一：a22，a31.再由題設(shè)條件知，(an11)2(an1)21.從而(an1)2是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列故(an1)2n1，即an1(nN*)方法二：a22，a31.可寫為a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak1，則ak1111，這就是說，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立所以an1(nN*)(2)方法一：設(shè)f(x)1，則an1f(an)令cf(c)，即c1.解得c.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明a2n<c<a2n1<1.當(dāng)n1時(shí)，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2<<a3<1，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即a2k<c<a2k1<1.易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，從而cf(c)>f(a2k1)>f(1)a2，即1>c>a2k2>a2.再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，得cf(c)<f(a2k2)<f(a2)a3<1.故c<a2k3<1，因此a2(k1)<c<a2(k1)1<1，這就是說，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立綜上所述，存在c使得a2n<c<a2n1對所有nN*成立方法二：設(shè)f(x)1，則an1f(an)先證0an1(nN*)當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，從而0f(1)f(ak)f(0)1<1，即0ak11.這就是說，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立故成立再證a2n<a2n1(nN*)當(dāng)n1時(shí)，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2<a3，即n1時(shí)成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即a2k<a2k1.由及f(x)在(，1上為減函數(shù)，得a2k1f(a2k)>f(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)<f(a2k2)a2(k1)1.這就是說，當(dāng)nk1時(shí)成立所以對一切nN*成立由，得a2n<1，即(a2n1)2<a2a2n2.因此a2n<.又由及f(x)在(，1上為減函數(shù)，得f(a2n)>f(a2n1)，即a2n1>a2n2.所以a2n1>1.解得a2n1>.綜上所述，由知，存在c使得a2n<c<a2n1對一切nN*成立