2019-2020年高考數(shù)學第一輪精講精練6 第六章 不等式復習教案 新人教版【知識圖解】不等式一元二次不等式基本不等式二元一次不等式組應用解法應用幾何意義應用證明 【方法點撥】不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，不等式的性質是解、證不等式的基礎，兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關不等式的實際問題中發(fā)揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質涉及到求最大（?。┲担容^大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導數(shù)等知識的綜合，綜合性強，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復習的難點.1. 掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉化。3. 線性規(guī)劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P，對于這部分內(nèi)容應能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時注意數(shù)形結合的思想在線性規(guī)劃中的運用。第1課基本不等式【考點導讀】1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。2. 能用基本不等式解決綜合形較強的問題。【基礎練習】1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件)2.的最小值為3.已知，且，則的最大值為4.已知，則的最小值是2【范例導析】例1.已知，求函數(shù)的最大值.分析：由于，所以首先要調整符號.解：y=4x-2+=-2+3=1當且僅當，即x=1時，上式成立，故當x=1時，.例2.（1）已知a，b為正常數(shù)，x、y為正實數(shù)，且，求x+y的最小值。（2） 已知，且，求的最大值分析：問題（1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進行變量代換從而轉化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉化為關于的不等式，也可以采用變量代換轉換為一元函數(shù)再求解.解:(1)法一：直接利用基本不等式：當且僅當，即時等號成立法二：由得 x>0，y>0，a>0 由>0得y-b>0 x+y當且僅當，即時，等號成立（2）法一：由，可得， 注意到可得，當且僅當，即時等號成立，代入中得，故的最大值為18法二：，代入中得：解此不等式得下面解法見解法一，下略點撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決. 【反饋練習】1.設a1,且,則的大小關系為mpn 2.已知下列四個結論：若則； 若,則；若則； 若則。其中正確的是3.已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為64.（1）已知：，且：，求證：，并且求等號成立的條件（2）設實數(shù)x，y滿足y+x2=0，0<a<1，求證：。解： （1）分析：由已知條件，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有，無法利用，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現(xiàn)型，再行論證證明：等號成立當且僅當時由以上得即當時等號成立說明：本題是基本題型的變形題在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式要注意靈活運用均值不等式（2） ，0<a<1 第2課一元二次不等式【考點導讀】1. 會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉化。2. 能運用一元二次不等式解決綜合性較強的問題.【基礎練習】1.解不等式：（1） （2）（3） （4） 解：（1）原不等式化為，解集為（2）原不等式化為，解集為R（3）原不等式化為，解集為（4）由 得點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數(shù)的符號、對應方程的判斷、以及對應方程兩根大小的比較.2. 函數(shù)的定義域為 3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xR)的部分對應值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406則不等式ax2+bx+c>0的解集是4.若不等式的解集是，則b=_-2_ c=_-3_.【范例導析】例.解關于的不等式分析：本題可以轉化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.解:原不等式等價于等價于： （*）a>時，（*）式等價于>0<x<或x>a<時，（*）式等價于<0由知：當0<a<時，>，<x<；當a<0時，<，<x<；當a0時，當，x綜上所述可知：當a<0時，原不等式的解集為（，2）；當a0時，原不等式的解集為；當0<a<時，原不等式的解集為（2，）；當a>時，原不等式的解集為（，）（2，）。思維點撥:含參數(shù)不等式,應選擇恰當?shù)挠懻摌藴蕦λ帜阜诸愑懻?要做到不重不漏.【反饋練習】1.若關于x的不等式的解集為R，則的取值范圍是 2.不等式解集為，則ab值分別為-12，-23.若函數(shù)f(x) = 的定義域為R，則的取值范圍為4.已知M是關于x的不等式2x2+(3a7)x+3a2a2<0解集，且M中的一個元素是0，求實數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.解：原不等式即(2xa1)(x2a3)<0，由適合不等式故得，所以，或.若，則，此時不等式的解集是；若，由，此時不等式的解集是。第3課線性規(guī)劃【考點導讀】1. 會在直角坐標系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對應的區(qū)域，能由給定的平面區(qū)域確定所對應的二元一次不等式、二元一次不等式組.2. 能利用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題，并從中體會線性規(guī)劃所體現(xiàn)的用幾何圖形研究代數(shù)問題的思想.【基礎練習】1.原點（0,0）和點P（1,1）在直線的兩側，則a的取值范圍是0<a<22. 設集合，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是( A ) A B C D3.下面給出四個點中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是（C）4.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）用不等式表示為 5.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為【范例導析】例1.設x,y滿足約束條件,求目標函數(shù)z=6x+10y的最大值，最小值。分析：求目標函數(shù)的最值，必須先畫出準確的可行域，然后把線性目標函數(shù)轉化為一族平行直線，這樣就把線性規(guī)劃問題轉化為一族平行直線與一平面區(qū)域有交點，直線在y軸上截距的最大值與最小值問題.解：先作出可行域，如圖所示中的區(qū)域，例1圖且求得A(5,2),B(1,1),C(1,) 作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移當L0的平行線過B點時，可使z=6x+10y達到最小值當L0的平行線過A點時，可使z=6x+10y達到最大值所以zmin=16;zmax=50點撥：幾個結論：(1)、線性目標函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得。（2）、求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義在y軸上的截距或其相反數(shù)。例2.已知，（1） 求的最大和最小值。（2） 求的取值范圍。（3） 求的最大和最小值。解析：注意目標函數(shù)是代表的幾何意義.解：作出可行域。（1），作一組平行線l：，解方程組得最優(yōu)解B（3，1），。解得最優(yōu)解C（7，9），（2）表示可行域內(nèi)的點（x,y）與（0，0）的連線的斜率。從圖中可得，又，。（3）表示可行域內(nèi)的點（x,y）到（0，0）的距離的平方。從圖中易得，（OF為O到直線AB的距離），。，。點撥：關鍵要明確每一目標函數(shù)的幾何意義，從而將目標函數(shù)的最值問題轉化為某幾何量的取值范圍.例3本公司計劃xx年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？分析：本例是線性規(guī)劃的實際應用題，其解題步驟是：（1）設出變量，列出約束條件及目標函數(shù)；（2）畫出可行域（3）觀察平行直線系的運動，求出目標函數(shù)的最值.解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得目標函數(shù)為0100200300100200300400500yxlM二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖：作直線，例3即平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點的坐標為（元）答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元【反饋練習】1.不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是2.已知點P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域上運動，則zxy的取值范圍是1，23.設、滿足約束條件則使得目標函數(shù)的最大的點是（2,3）4.已知實數(shù)滿足則的取值范圍是5.畫出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）為頂點的ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x2y的最大值和最小值.分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式不等式組；求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域直線AB的方程為x+2y1=0，BC及CA的直線方程分別為xy+2=0，2x+y5=0第10題在ABC內(nèi)取一點P（1，1），分別代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y1>0，xy+2>0，2x+y5<0因此所求區(qū)域的不等式組為x+2y10，xy+20，2x+y50作平行于直線3x2y=0的直線系3x2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當直線y=xt過A（3，1）時，縱截距t最小此時t最大，tmax=332（1）=11；當直線y=xt經(jīng)過點B（1，1）時，縱截距t最大，此時t有最小值為tmin= 3（1）21=5因此，函數(shù)z=3x2y在約束條件x+2y10，xy+20，2x+y50下的最大值為11，最小值為5。第4課不等式綜合【考點導讀】能利用不等式性質、定理、不等式解法及證明解決有關數(shù)學問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優(yōu)化問題等.【基礎練習】1.若函數(shù)，則與的大小關系是2.函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則的取值范圍是0a23.當點在直線上移動時，的最小值是74.對于0m4的m，不等式x2+mx4x+m3恒成立，則x的取值范圍是x3或x1【范例導析】例1、已知集合，函數(shù)的定義域為Q（1）若，求實數(shù)a的取值范圍。（2）若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍。分析：問題（1）可轉化為在內(nèi)有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù).解：（1）若，在內(nèi)有有解 令 當時，所以a>-4,所以a的取值范圍是（2）方程在內(nèi)有解， 則在內(nèi)有解。 當時，所以時，在內(nèi)有解點撥：本題用的是參數(shù)分離的思想.例2.甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數(shù)為；固定部分為元（1）把全程運輸成本元表示為速度的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？分析：需由實際問題構造函數(shù)模型，轉化為函數(shù)問題求解解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為，全程運輸成本為故所求函數(shù)為，定義域為（2）由于都為正數(shù)，故有，即當且僅當，即時上式中等號成立若時，則時，全程運輸成本最?。划?，易證，函數(shù)單調遞減，即時，綜上可知，為使全程運輸成本最小，在時，行駛速度應為；在時，行駛速度應為點撥：本題主要考查建立函數(shù)關系式、不等式性質（公式）的應用也是綜合應用數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的一道優(yōu)秀試題【反饋練習】1.設，函數(shù)，則使的的取值范圍是2.如果函數(shù)的單調遞增區(qū)間是(-，a，那么實數(shù)a的取值范圍是_ a<-1_3.若關于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為4已知二次函數(shù)f (x)=,設方程f (x)=x的兩個實根為x1和x2如果x1<2x2<4，且函數(shù)f (x)的對稱軸為x=x0，求證：x01證明：設g(x)= f (x)x=，且g(4)>0，即