2019-2020年中考專題復(fù)習(xí)：第十八講 等腰三角形與直角三角形【重點考點例析】考點一：角的平分線例1 （xx麗水）如圖，在RtABC中，A=Rt，ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則BDC的面積是 15思路分析：過D作DEBC于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=3，根據(jù)三角形的面積求出即可解：如圖，過D作DEBC于E，A=90，DAAB，BD平分ABC，AD=DE=3，BDC的面積是DEBC=103=15，故答案為：15點評：本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等對應(yīng)訓(xùn)練1（xx泉州）如圖，AOB=70，QCOA于C，QDOB于D，若QC=QD，則AOQ= 35135考點二：線段垂直平分線例2 （xx義烏市）如圖，ADBC于點D，D為BC的中點，連接AB，ABC的平分線交AD于點O，連結(jié)OC，若AOC=125，則ABC= 70思路分析：先根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出C，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出OBC=C，然后根據(jù)角平分線的定義解答即可解：ADBC，AOC=125，C=AOC-ADC=125-90=35，D為BC的中點，ADBC，OB=OC，OBC=C=35，OB平分ABC，A=2OBC=235=70故答案為：70點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖并熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練2（xx天門）如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A4cmB3cmC2cmD1cm2C考點三：等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用例3 （xx武漢）如圖，ABC中，AB=AC，A=36，BD是AC邊上的高，則DBC的度數(shù)是（）A18B24C30D36思路分析：根據(jù)已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得DBC的度數(shù)解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=7，2BD是AC邊上的高，BDAC，DBC=90-72=18故選A點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般對應(yīng)訓(xùn)練3（xx云南）如圖，已知ABCD，AB=AC，ABC=68，則ACD= 44344考點四：等邊三角形的判定與性質(zhì)例4 （xx黔西南州）如圖，已知ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E= 15度思路分析：根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知ACB=60，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出E的度數(shù)解：ABC是等邊三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，F(xiàn)DE=150，DF=DE，E=15故答案為：15點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中對應(yīng)訓(xùn)練4（xx黃岡）已知ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= 4考點五：三角形中位線定理例5 （xx昆明）如圖，在ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，A=50，ADE=60，則C的度數(shù)為（）A50B60C70D80思路分析：在ADE中利用內(nèi)角和定理求出AED，然后判斷DEBC，利用平行線的性質(zhì)可得出C解：由題意得，AED=180-A-ADE=70，點D，E分別是AB，AC的中點，DE是ABC的中位線，DEBC，C=AED=70故選C點評：本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理的內(nèi)容：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半對應(yīng)訓(xùn)練5（xx廈門）如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，若AC+BD=24厘米，OAB的周長是18厘米，則EF= 3厘米53考點六：直角三角形例6 （xx衢州）將一個有45角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30角，如圖，則三角板的最大邊的長為（）A3cmB6cmC3cmD6cm思路分析：過另一個頂點C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有45角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊解：如圖，過點C作CDAD，CD=3，在直角三角形ADC中，CAD=30，AC=2CD=23=6，又三角板是有45角的三角板，AB=AC=6，BC2=AB2+AC2=62+62=72，BC=6，故選：D點評：此題考查的知識點是含30角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊對應(yīng)訓(xùn)練6（xx重慶）如圖，在ABC中，A=45，B=30，CDAB，垂足為D，CD=1，則AB的長為（）A2B2 C +1D +16D考點七：勾股定理例7 （xx揚(yáng)州）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為 6思路分析：設(shè)矩形一條邊長為x，則另一條邊長為x-2，然后根據(jù)勾股定理列出方程式求出x的值，繼而可求出矩形的面積解：設(shè)矩形一條邊長為x，則另一條邊長為x-2，由勾股定理得，x2+（x-2）2=42，整理得，x2-2x-6=0，解得：x=1+或x=1-（不合題意，舍去），另一邊為：-1，則矩形的面積為：（1+）（-1）=6故答案為：6點評：本題考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出等式求處矩形的邊長，要求同學(xué)們掌握矩形面積的求法對應(yīng)訓(xùn)練7（xx莆田）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是 10710【聚焦山東中考】1（xx臨沂）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（）AAB=ADBAC平分BCDCAB=BDDBECDEC1C2（xx棗莊）如圖，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則CDE的周長為（）A20B12C14D132C3（xx淄博）如圖，ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為（）A B C3D43C4（xx威海）如圖，在ABC中，A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點O，交AC于點D，連接BD，下列結(jié)論錯誤的是（）AC=2ABBD平分ABCCSBCD=SBODD點D為線段AC的黃金分割點4C5（xx萊蕪）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（1，），M為坐標(biāo)軸上一點，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為（）A4B5C6D85C6（xx濱州）在等腰ABC中，AB=AC，A=50，則B= 656657（xx濱州）在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 78（xx煙臺）如圖，ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O點E是CD的中點，BD=12，則DOE的周長為 158159（xx泰安）如圖，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若F=30，DE=1，則BE的長是 29210（xx煙臺）如圖，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則OEC為 108度1010811（xx菏澤）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是 之間的任意兩個實數(shù)）（寫出1個即可）11，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）12（xx威海）操作發(fā)現(xiàn)將一副直角三角板如圖擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合問題解決將圖中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖（1）求證：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的長12解；（1）由圖知BC=DE，BDC=BCD，DEF=30，BDC=BCD=75，ACB=45，DOC=30+45=75，DOC=BDC，CDO是等腰三角形； （2）如圖，作AGBC，垂足為點G，DHBF，垂足為點H，在RtDHF中，F(xiàn)=60，DF=8，DH=4，HF=4，在RtBDF中，F(xiàn)=60，DF=8，DB=8，BF=16，BC=BD=8，AGBC，ABC=45，BG=AG=4，AG=DH，AGDH，四邊形AGHD為矩形，AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4【備考真題過關(guān)】一、選擇題1（xx成都）如圖，在ABC中，B=C，AB=5，則AC的長為（）A2B3C4D51D2（xx南充）如圖，ABC中，AB=AC，B=70，則A的度數(shù)是（）A70B55C50D402D3（xx淮安）若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1，則此等腰三角形的周長為（）A5B7C5或7D63B4（xx長沙）下列各圖中，1大于2的是（）ABCD4D5（xx宜昌）如圖，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A8B6C4D25C6（xx南平）如圖，在ABC中，AB=AC，DEBC，ADE=48，則下列結(jié)論中不正確的是（）AB=48BAED=66CA=84DB+C=966B7（xx遂寧）如圖，在ABC中，C=90，B=30，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（）AD是BAC的平分線；ADC=60；點D在AB的中垂線上；SDAC：SABC=1：3A1B2C3D47D8（xx鐵嶺）如果三角形的兩邊長分別是方程x2-8x+15=0的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是（）A5.5B5C4.5D48A9（xx柳州）在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4AD平分BAC交BC于D，則BD的長為（）A B C D 9A10（xx德宏州）在RtABC中，C=90，AB=10若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則AC=（）A5B5 C5 D610C11（xx大慶）正三角形ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則A1B1C1的面積是（）A B C D 11B12（xx鄂州）如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=2試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（）A6B8C10D1212B二、填空題13（xx徐州）若等腰三角形的頂角為80，則它的底角度數(shù)為（）A80B50C40D2013B14（xx白銀）等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則另兩邊為 6，4或5，5146，4或5，515（xx廣州）點P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= 715716（xx長沙）如圖，BD是ABC的平分線，P為BD上的一點，PEBA于點E，PE=4cm，則點P到邊BC的距離為 4cm16417（xx宿遷）如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A、B間的距離，在地面上確定點O，分別取OA、OB的中點C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 40m174018（xx漳州）如圖，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，則數(shù)軸上點A表示的數(shù)是 18-19（xx泰州）如圖，ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則ABD的周長為 6cm19620（xx資陽）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AOB=60，AC=10，則AB= 520521（xx吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（0，8）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為 （4，0）21（4，0）22（xx錦州）在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點E，垂足為D，連接BE已知AE=5，tanAED=，則BE+CE= 6或16226或1623（xx無錫）如圖，ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BEAC，AFBC，則EFC= 45234524（xx哈爾濱）在ABC中，AB=2，BC=1，ABC=45，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使ABD=90，連接CD，則線段CD的長為 24或 25（xx沈陽）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是 1，7251，726（xx鄂州）著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學(xué)家、發(fā)明家他曾經(jīng)設(shè)計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為 10cm2610三、解答題27（xx湘西州）如圖，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3（1）求DE的長；（2）求ADB的面積27解：（1）AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=DE，CD=3，DE=3；（2）在RtABC中，由勾股定理得：AB=10，ADB的面積為SADB=ABDE=103=1528（xx永州）如圖，M是ABC的邊BC的中點，AN平分BAC，BNAN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求ABC的周長28解：（1）在ABN和ADN中，ABNADN，BN=DN（2）ABNADN，AD=AB=10，DN=NB，又點M是BC中點，MN是BDC的中位線，CD=2MN=6，故三角形ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41