2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十二節(jié) 函數(shù)與方程教材教 材 面 面 觀1一般地，如果函數(shù)yf(x)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即_，則叫做這個(gè)函數(shù)的_答案f()0零點(diǎn)2方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：由函數(shù)的零點(diǎn)的概念可知，函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與_的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以方程f(x)0有實(shí)數(shù)根_函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)答案x軸函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)3如果函數(shù)yf(x)在一個(gè)區(qū)間a，b上的圖象_，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值_，即_，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，_有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)x0(a，b)，使_如果函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)x軸，則稱這樣的零點(diǎn)為_(kāi)答案不間斷異號(hào)f(a)f(b)0至少f(x0)0變號(hào)零點(diǎn)4二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過(guò)不斷把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間_，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到_的方法叫做二分法答案一分為二零點(diǎn)近似值考 點(diǎn) 串 串 講1函數(shù)的零點(diǎn)(1)由方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系可知，求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)，也就是求函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這樣，就將方程f(x)0、函數(shù)yf(x)及函數(shù)yf(x)的圖象三者有機(jī)地結(jié)合了起來(lái)，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想一般地，對(duì)于那些不能用公式法求根的方程f(x)0來(lái)說(shuō)，可以將方程f(x)0與函數(shù)yf(x)聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而求出方程的根(2)為解決方程f(x)g(x)的有關(guān)解的個(gè)數(shù)或求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，我們將方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)一步推廣為：方程f(x)g(x)有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有交點(diǎn)由此知，求方程f(x)g(x)的實(shí)數(shù)根就是確定函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而方程f(x)g(x)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷(3)一次函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于一次函數(shù)yaxb(a0)，不論a0還是a0，方程axb0都有唯一的實(shí)數(shù)根，相應(yīng)地，一次函數(shù)yaxb的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以一次函數(shù)yaxb(a0)有且只有一個(gè)零點(diǎn).2二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程的根一元二次方程ax2bxc0(a0)的根也稱二次函數(shù)yax2bxc(a0)的零點(diǎn)，設(shè)一元二次方程的判別式為b24ac.當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而二次函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與x軸“相交”；當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而二次函數(shù)有兩個(gè)相同零點(diǎn)(可稱為二重零點(diǎn))，二次函數(shù)圖象與x軸“相切”；當(dāng)0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而二次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)yax2bxc(a0)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)可根據(jù)一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判別式來(lái)確定，具體情形如下表：3.判定函數(shù)零點(diǎn)的存在如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，因此，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0.這個(gè)c也就是方程f(x)0的根注意(1)yf(x)必須在a，b上是連續(xù)的，否則結(jié)論不一定成立如f(x)，cf(1)f(1)0，但是f(x)在(1,1)沒(méi)有零點(diǎn)(2)當(dāng)f(a)f(b)0時(shí)，在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(也可能存在多個(gè))(3)當(dāng)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)不一定使f(a)f(b)0，特別是當(dāng)f(a)f(b)0時(shí)不能肯定在(a，b)無(wú)零點(diǎn)4二分法(1)二分法步驟第一步在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間a0，b0D，使f(a0)與f(b0)異號(hào)，即f(a0)f(b0)0.零點(diǎn)位于區(qū)間a0，b0中第二步取區(qū)間a0，b0的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為x0a0(b0a0)(a0b0)計(jì)算f(x0)和f(a0)，并判斷：如果f(x0)0，則x0就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果f(a0)f(x0)0，則零點(diǎn)位于區(qū)間a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，則零點(diǎn)位于區(qū)間x0，b0中，令a1x0，b1b0.第三步取區(qū)間a1，b1的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為x1a1(b1a1)(a1b1)計(jì)算f(x1)和f(a1)，并判斷：如果f(x1)0，則x1就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果f(a1)f(x1)0，則零點(diǎn)位于區(qū)間a1，x1上，令a2a1，b2x1；如果f(a1)f(x1)0，則零點(diǎn)位于區(qū)間x1，b1上，令a2x1，b2b1.繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間an，bn，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間an，bn上，當(dāng)an和bn按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)yf(x)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止這時(shí)函數(shù)yf(x)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度(2)二分法的精確度問(wèn)題精確度是方程近似解的一個(gè)重要指標(biāo)，準(zhǔn)確度由計(jì)算次數(shù)決定，若初始區(qū)間是a，b，那么經(jīng)過(guò)n次取中點(diǎn)后，區(qū)間的長(zhǎng)度是，只要這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度小于精確度，那么這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足精確度要求，都可以作為方程的近似解，因此計(jì)算次數(shù)和精確度滿足關(guān)系，即nlog2.(3)二分法求方程近似解的程序框圖我們可用二分法來(lái)求方程的近似解由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以通過(guò)設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算其程序框圖如圖所示5函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定(1)一元n次方程最多有n個(gè)實(shí)根，一般常用分解因式來(lái)解決(2)一元二次方程通常用判別式來(lái)判斷根的個(gè)數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，我們一般用圖象解決(4)利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，單調(diào)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間至多有一個(gè)零點(diǎn).典 例 對(duì) 對(duì) 碰題型一 函數(shù)的零點(diǎn)例1求函數(shù)yx22x3的零點(diǎn)解析借助零點(diǎn)的定義可知即求方程x22x30的實(shí)根x22x30，即(x1)(x3)0.解得x1或x3.零點(diǎn)為1、3.點(diǎn)評(píng)由上述定義及例題可知方程的根、圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)相互之間是緊密聯(lián)系的，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一種很重要的數(shù)學(xué)思想即函數(shù)與方程的思想.變式遷移1若函數(shù)f(x)axb有一個(gè)零點(diǎn)是1，則函數(shù)g(x)bx2ax的零點(diǎn)是_答案0或1解析由題意，axb0(a0)的解為x1，ba，g(x)ax2axax(x1)，由g(x)0得x0或x1.題型二 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例2二次函數(shù)yax2bxc(a0)中，ac0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A1B2C0 D無(wú)法確定解析解法一：因?yàn)閏f(0)，所以acaf(0)0，即a與f(0)異號(hào)，即或所以函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)解法二：可由二次方程的判別式得到b24ac.又因?yàn)閍c0，所以0.此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根答案B點(diǎn)評(píng)“實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為b24ac0，你是否注意到必須a0；當(dāng)a0時(shí)，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為b24ac0.若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？因此，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母時(shí)，一定要想到是否需要分類討論！變式遷移2函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3答案D解析由題可知，當(dāng)x0時(shí)ylnx與y2x6的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x0時(shí)函數(shù)yx(x1)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)故選D.題型三 區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)問(wèn)題例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值范圍解析若a0，f(x)2x3，顯然在1,1上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a當(dāng)a時(shí)，yf(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在1,1上；當(dāng)f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5時(shí)，yf(x)在1,1上也恰有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)yf(x)在1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，則或解得a5或a綜上所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1或a.變式遷移3若函數(shù)f(x)2ax2x1在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A(1,1) B1，)C(1，) D(2，)答案C解析當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是x1；當(dāng)a0時(shí)，若0，f(0)f(1)0，則a1；若0，即a，函數(shù)的零點(diǎn)是x2.故選C.題型四 數(shù)形結(jié)合求零點(diǎn)個(gè)數(shù)例4方程log2(x4)2x根的情況是()A僅有一根 B有兩正根C有一正根和一負(fù)根 D有兩負(fù)根解析數(shù)形結(jié)合，借助圖象判斷畫(huà)出函數(shù)y1log2(x4)與y22x圖象知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，即方程log2(x4)2x有一正根和一負(fù)根答案C點(diǎn)評(píng)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：求出所有零點(diǎn)；二次函數(shù)問(wèn)題用判別式；借助函數(shù)圖象及單調(diào)性判斷.變式遷移4方程2xx22x40的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0答案B解析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y2x與yx22x4圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，顯然為2個(gè)題型五 二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值例5求函數(shù)f(x)x33x29x1的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)(精確到0.01)分析本題考查利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)因?yàn)橐蟮氖呛瘮?shù)的負(fù)零點(diǎn)，因此應(yīng)首先確定一個(gè)包含負(fù)數(shù)的恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間作為計(jì)算的初始區(qū)間，再使用計(jì)算器，用二分法求出零點(diǎn)近似值解析列表如下：端點(diǎn)(中點(diǎn))坐標(biāo)端點(diǎn)(中點(diǎn)) 的函數(shù)值取值區(qū)間f(1)0，f(2)0(2，1)x01.5f(x0) 4.3750(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.9375f(x3)0.0970(1.9375，1.875)x41.90625f(x4)0.3280(1.9375，1.90625)x51.921875f(x5)0.1170(1.9375，1.921875)x61.9296875f(x6)0.0110(1.9375，1.9296875)由上表可知，區(qū)間(1.9375，1.9296875)的長(zhǎng)度為0.00781250.01，所以這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x71.93就是函數(shù)的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)近似值點(diǎn)評(píng)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要符合條件，又要使長(zhǎng)度盡量小；其次要依據(jù)條件給定的精確度及時(shí)檢驗(yàn)計(jì)算所得到的區(qū)間是否滿足這一精確度，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算.變式遷移5如果一個(gè)正方體的體積在數(shù)值上等于V，表面積在數(shù)值上等于S，且VS1，那么這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)(精確到0.01)約為_(kāi)答案6.05解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，則Vx3，S6x2.VS1，x36x21.設(shè)f(x)x36x21，應(yīng)用二分法得方程的根為6.05.【教師備課資源】題型六 零點(diǎn)所在區(qū)間例6利用函數(shù)的圖象，指出函數(shù)f(x)2xln(x2)3零點(diǎn)所在的大致區(qū)間解析首先通過(guò)對(duì)x取值來(lái)尋找y值的符號(hào)，然后判斷零點(diǎn)所在的大致區(qū)間用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x、f(x)的對(duì)應(yīng)值表(如下表).x2.533.544.55f(x)6.465730.16112.54525.24667.9861由上表和圖可知，該函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間為3.5,4點(diǎn)評(píng)函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看作二元方程yf(x)0.函數(shù)問(wèn)題(如求反函數(shù)、求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)函數(shù)思想、方程思想體現(xiàn)了一種解決問(wèn)題的理念，即建“模”意識(shí)所謂“?！本褪且粋€(gè)問(wèn)題載體，是聯(lián)系已知、未知的橋梁，建“模”后的第二步就是解析“?！?，從而真正將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)也因此成為解析大自然奧秘的工具.變式遷移6設(shè)函數(shù)f(x)xlnx(x0)，則yf(x)()A在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C在區(qū)間(，1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D在區(qū)間(，1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)答案D解析函數(shù)f (x)，x(3，)時(shí)，yf(x)單調(diào)遞增；x(0,3)時(shí)，yf(x)單調(diào)遞減而01e3，又f()10，f(1)0，f(e)10，在區(qū)間(，1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)，故選D.題型七 單調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例7已知函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，證明f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)證明假設(shè)f(x)0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2，且不妨設(shè)x1x2，由題意得f(x1)0，f(x2)0，f(x1)f(x2)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)為增函數(shù)，由x1x2則f(x1)f(x2)因此、相矛盾，假設(shè)不成立，故f(x)0至多有一個(gè)零點(diǎn).變式遷移7已知函數(shù)f(x)()xlog2x，若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且0x1x0，則f(x1)的值()A恒為正值 B等于0C恒為負(fù)值 D不大于0答案A解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以推知函數(shù)f(x)()xlog2x在(0，)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(0，)上至多有一個(gè)零點(diǎn)若有零點(diǎn)的話，零點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)值恒正，右側(cè)的函數(shù)值恒負(fù)對(duì)于0x1x0，f(x1)的值恒為正值.題型八 二分法的運(yùn)算例8用二分法求方程x22的正實(shí)根的近似解(精確度0.001)時(shí)，如果我們選取初始區(qū)間是1.4,1.5，則要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是_解析設(shè)至少需要計(jì)算n次，則n滿足0.001，即2n100，由于27128，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7次答案7變式遷移8用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()A(0,0.5)f(0.25)B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75)D(0,0.5)f(0.125)答案A解析函數(shù)f(x)x33x1連續(xù)，且f(0)f(0.5)0，則在(0,0.5)上有一個(gè)零點(diǎn)，第二次應(yīng)計(jì)算f()f(0.25)，故選A.題型九 方程根的綜合問(wèn)題例9已知關(guān)于x的一元二次方程(x1)(3x)ax(aR)，試討論方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)分析原方程可化為(x1)(3x)xa，利用直線ya與拋物線y(x1)(3x)x的位置關(guān)系討論，也可以利用判別式解析解法一原方程化為x25x3a.令f(x)x25x3，g(x)a.作函數(shù)f(x)x25x3的圖象，求拋物線的開(kāi)口方向及頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，如圖所示由圖象可以看出：當(dāng)a時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根當(dāng)a時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)a時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解法二原方程化為x25x3a0.254(3a)4a13.當(dāng)0，即a時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根當(dāng)0，即a時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)0，即a時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根點(diǎn)評(píng)解法一體現(xiàn)了函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)于解決有更多限制條件的問(wèn)題提供了一種新的途徑.變式遷移9已知yx(x1)(x1)的圖象如圖所示，因考慮f(x)x(x1)(x1)0.01，則方程式f(x)0()A當(dāng)x1時(shí)，恰有一實(shí)根B當(dāng)1x0時(shí)，恰有一實(shí)根C當(dāng)0x1時(shí)，恰有一實(shí)根D當(dāng)x1時(shí)，恰有一實(shí)根答案A解析f(2)2(3)(1)0.015.990，f(1)0.010，即f(2)f(1)0，在(2，1)內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，即方程在(，1)上，恰有一個(gè)實(shí)根，故A正確又f(0)0.010，f(x)0在(1,0)上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，B不正確又f(0.5)0.5(0.5)1.50.010.3650，f(1)0.010，即f(0.5)f(1)0，所以f(x)0在(0.5,1)上必有一個(gè)實(shí)根，且f(0)f(0.5)0，f(x)0在(0,0.5)上也有一個(gè)實(shí)根f(x)0在(0,1)上有兩個(gè)實(shí)根，故C不正確由f(1)0知，f(x)0在(1，)上沒(méi)有實(shí)根D不正確.方 法 路 路 通1尋找函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是一個(gè)難點(diǎn)，利用計(jì)算器尋找零點(diǎn)時(shí)首先確定函數(shù)的定義域，其次在其定義域內(nèi)取一些值，畫(huà)出草圖觀察，根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)確定零點(diǎn)的區(qū)間，利用信息技術(shù)尋找零點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出函數(shù)的草圖可找到零點(diǎn)所在的區(qū)間，如果所給函數(shù)是由兩個(gè)初等函數(shù)的差構(gòu)成的，即f(x)g(x)h(x)，則在其對(duì)應(yīng)方程g(x)h(x)中畫(huà)出yg(x)及gh(x)的圖象，其交點(diǎn)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)2若x0是函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)，且mx0n，那么f(m)f(n)0不一定成立，反之若f(m)f(n)0，在(m，n)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)3對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)需注意：(1)函數(shù)的零點(diǎn)是針對(duì)方程是否有實(shí)數(shù)根而言的，若方程f(x)0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)yf(x)沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)(2)函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”而是一個(gè)數(shù)量方程的實(shí)數(shù)解4用二分法求方程的近似解時(shí)應(yīng)注意(1)要看清題目要求的準(zhǔn)確度，它決定著二分法步驟的結(jié)束(2)初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大5當(dāng)區(qū)間(an，bn)的長(zhǎng)度|anbn|時(shí)，數(shù)值an和bn均可作為所求方程解的近似值，這個(gè)近似值也可是區(qū)間(an，bn)內(nèi)的任一數(shù)值6二分法中運(yùn)用了“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想，它是通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值(即方程近似解)的“逐步逼近”思想在許多數(shù)學(xué)知識(shí)中都有很好地運(yùn)用，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要多加體會(huì)7注意一些說(shuō)法：“函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根”，而不要說(shuō)成“方程的零點(diǎn)，函數(shù)的根”.正 誤 題 題 辨例若函數(shù)f(x)x33xa有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)錯(cuò)解由題意知方程x33xa0有3個(gè)根，a的取值范圍為(1，)，故選D.點(diǎn)擊本題的錯(cuò)誤在于不能將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)求解，不能從極值的角度分析函數(shù)的圖象，從而找不到解題的突破口正解函數(shù)f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即其圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此只需f(x)的極大值與極小值異號(hào)即可f (x)3x23，令3x230，則x1，故極值為f(1)和f(1)，f(1)a2，f(1)a2，所以應(yīng)有(a2)(a2)0，故a(2,2)，故選A.答案A知 能 層 層 練針對(duì)考點(diǎn)勤鉆研金榜題名不畏難1(xx日照測(cè)試)在以下區(qū)間中，存在函數(shù)f(x)x33x3的零點(diǎn)的是()A1,0 B1,2C0,1 D2,3答案C解析注意到，f(1)70.f(0)30，f(1)10，f(2)110，f(3)330，結(jié)合各選項(xiàng)知，選C.2(xx天津卷)函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案B解析由題意可知f(2)60，f(1)30，f(0)10，f(1)0，f(2)0，f(1)f(0)0，因此在區(qū)間(1,0)上一定有零點(diǎn)因此選B.3(xx福建卷)函數(shù)f(x)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0答案B解析解法一令f(x)0得或，x3或xe2，應(yīng)選B.解法二畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象可得，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)4在用二分法求方程x32x10的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_(kāi)答案(，2)(或?qū)懗砷]區(qū)間)解析區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x0，令f(x)x32x1，f()40，f(2)8410，則根所在區(qū)間為(，2)5若函數(shù)f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，求函數(shù)g(x)bx2ax1的零點(diǎn)解析f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，a5，b6.g(x)6x25x1(2x1)(3x1)，g(x)的零點(diǎn)是和.