2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.1 直線方程的概念與直線的斜率教案 新人教B版必修2教學(xué)分析本小節(jié)從一個具體的一次函數(shù)與它的圖象入手，引入直線的方程、斜率、傾斜角的概念，注重了由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，并體現(xiàn)了由特殊到一般的研究方法引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到之所以引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率概念，是進(jìn)一步研究直線方程的需要直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅實(shí)的基礎(chǔ)事實(shí)上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這兩個基本概念，學(xué)生才能對直線及其位置進(jìn)行定量的研究對直線的傾斜角和斜率，必須要求學(xué)生理解它們的準(zhǔn)確含義和作用，掌握它們的導(dǎo)出，并在運(yùn)用上形成相應(yīng)的技能和熟練的技巧三維目標(biāo)1了解直線方程的概念，認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系2理解直線的傾斜角和斜率的定義，充分利用斜率和傾斜角是從數(shù)與形兩方面刻畫直線相對于x軸傾斜程度的這一事實(shí)，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想3掌握經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直線的斜率公式：k(x1x2)，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，并形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的概念以及過兩點(diǎn)的直線的斜率公式教學(xué)難點(diǎn)：斜率公式的推導(dǎo)課時安排1課時導(dǎo)入新課設(shè)計1.如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P的一條直線繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不管旋轉(zhuǎn)多少周，它對x軸的相對位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率設(shè)計2.我們知道，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線那么，經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎？這些直線有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率推進(jìn)新課(1)一次函數(shù)的圖象是什么形狀？以y2x1為例說明(2)方程ykxb的解與其圖象上的點(diǎn)有什么對應(yīng)關(guān)系？(3)直線ykxb被其上的任意兩個不同的點(diǎn)所唯一確定(如下圖)，如果點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)是這條直線上任意兩點(diǎn)，其中x1x2，怎樣由這兩點(diǎn)的坐標(biāo)計算出k的值呢？(4)怎樣用角來表示直線的傾斜程度？(5)寫出求一條直線斜率的計算步驟討論結(jié)果：(1)所有一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象是一條直線例如函數(shù)y2x1的圖象是通過點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,3)的一條直線l(如下圖)，直線l是函數(shù)y2x1的圖象，所表達(dá)的意義是：如果點(diǎn)P在l上，則它的坐標(biāo)(x，y)滿足關(guān)系y2x1，反之，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足式，則點(diǎn)P一定在l上于是，函數(shù)式y(tǒng)2x1，可作為描述直線l的特征性質(zhì)，因此l(x，y)|y2x1我們再來看k0的特殊情況例如方程y2，無論x取何值，y始終等于2，雖然它已不是一次函數(shù)，但方程y2(常值函數(shù))的圖象是一條通過點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線(2)由于函數(shù)ykxb(k0)或yb都是二元一次方程，因此，我們也可以說，方程ykxb的解與其圖象上的點(diǎn)存在一一對應(yīng)關(guān)系如果以一個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，且這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解，那么這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線由于方程ykxb的圖象是一條直線，因此我們今后常說直線ykxb.(3)由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，方程y1kx1b，y2kx2b，兩式相減，得y2y1kx2kx1k(x2x1)因此k(x1x2)所以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出k的值，且它與這兩點(diǎn)在直線上的順序無關(guān)，即k(x1x2)如果令xx2x1，yy2y1，則x表示變量x的改變量，y表示相應(yīng)的y的改變量于是k(x0)通常，我們把直線ykxb中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率垂直于x軸的直線，人們常說它的斜率不存在方程ykxb(k0)的圖象是通過點(diǎn)(0，b)且斜率為k的直線對一次函數(shù)所確定的直線，它的斜率等于相應(yīng)函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對于x軸的傾斜程度(4)x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角我們規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角由斜率k的定義可知：k0時，直線平行于x軸或與x軸重合；k>0時，直線的傾斜角為銳角，此時，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大；k<0時，直線的傾斜角為鈍角，此時，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大；垂直于x軸的直線的傾斜角等于90.(5)步驟：(1)給直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：x1？，x2？，y1？，y2？；(2)計算xx2x1，yy2y1；(3)如果x0，則判定“斜率k不存在”；(4)如果x0，計算k；(5)輸出斜率k.思路1例1求經(jīng)過A(2,0)，B(5,3)兩點(diǎn)的直線的斜率k.解：x12，x25，y10，y23；x5(2)3，y303；k1.變式訓(xùn)練1已知過點(diǎn)A(a,3)，B(6,5)的直線的斜率k，則a_.答案：22.經(jīng)過A(4，7)，B(4,9)的直線斜率k等于()A0 B16 C16 D不存在答案：D例2畫出方程3x6y80的圖象解：由已知方程解出y，得yx.這是一次函數(shù)的表達(dá)式，它的圖象是一條直線，當(dāng)x0時，y；當(dāng)x2時，x.在坐標(biāo)平面內(nèi)作點(diǎn)A(0，)，B(2，)，作直線AB，即為所求方程的圖象(如下圖)點(diǎn)評：方程AxByC0(A2B20)的圖象是直線，以此方程的任意兩解為坐標(biāo)的點(diǎn)的連線(直線)就是該方程的圖象變式訓(xùn)練已知方程4xBy40的圖象過點(diǎn)(1,1)，則B_.解析：把點(diǎn)的坐標(biāo)值代入方程，得4B40，解得B8.答案：8思路2例3 求經(jīng)過點(diǎn)A(2,10)，B(5,3)的直線的斜率和傾斜角解：k1，即tan1，又0<180，135.該直線的斜率是1，傾斜角是135.點(diǎn)評：此題要求學(xué)生會通過斜率公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角變式訓(xùn)練1將直線y3x繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90，再向右平移1個單位，所得到的直線為 ()Ayx Byx1 Cy3x3 Dyx1解析：將直線y3x繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到直線yx，再右移1個單位，得到直線yx.答案：A2求過下列兩點(diǎn)的直線的斜率k及傾斜角.(1)P1(2,3)，P2(2,8)；(2)P1(5，2)，P2(2，2)解：(1)過P1，P2的直線與x軸垂直，直線斜率不存在，傾斜角90.(2)ktan0，直線斜率為0，傾斜角0.例4 已知三點(diǎn)A、B、C，且直線AB、AC的斜率相同，求證：這三點(diǎn)在同一條直線上證明：由直線的斜率相同，可知直線AB的傾斜角與AC的傾斜角相等，而這兩直線過公共點(diǎn)A，所以直線AB與AC重合，因此A、B、C三點(diǎn)共線點(diǎn)評：此題反映了斜率公式的應(yīng)用，即若有公共點(diǎn)的兩直線斜率相同，則可以判斷三點(diǎn)共線變式訓(xùn)練1若三點(diǎn)A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共線，求實(shí)數(shù)m的值解：由題意知kAB1，kAC，A、B、C三點(diǎn)共線，kABkAC.1.m.2若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線，則的值_.答案：例5 已知三角形的頂點(diǎn)A(0,5)，B(1，2)，C(6，m)，BC的中點(diǎn)為D，當(dāng)AD斜率為1時，求m的值及|AD|的長分析：應(yīng)用斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間的距離公式解：D點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，kAD1.m7.D點(diǎn)坐標(biāo)為(，)|AD|.變式訓(xùn)練1過點(diǎn)P(1，1)的直線l與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率和傾斜角答案：l的斜率為1，傾斜角為135.2如下圖中菱形ABCD的BAD60，求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角與斜率解：由題意知直線AD和BC的傾斜角為60，直線AB和DC的傾斜角為0，直線AC的傾斜角為30，直線BD的傾斜角為120；直線AD和BC的斜率為ktan60，直線AB和DC的斜率為ktan00，直線AC的斜率為ktan30，直線BD的斜率為ktan120.1關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法正確的是()A任一條直線都有傾斜角，也都有斜率B直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C平行于x軸的直線的傾斜角是0或180D直線斜率的范圍是(，)答案：D2已知直線的斜斜角，求直線的斜率(1)0；(2)60；(3)90；(4)135.分析：指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義直接求解解：(1)tan00，傾斜角為0的直線斜率為0.(2)tan60，傾斜角為60的直線斜率為.(3)tan90不存在，傾斜角為90的直線斜率不存在(4)tan1351，傾斜角為135的直線斜率為1.3若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共線，則a_.解析：由題意得kABkAC，則，解得a4.答案：44已知a>0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a_.解析：A、B、C三點(diǎn)共線，kABkBC，即，a2aa3a2，a22a10.a>0，a1.答案：1如下圖，直線l1的傾斜角130，直線l1l2，求l1、l2的斜率解：l1的斜率k1tan1tan30，l2的傾斜角29030120，l2的斜率k2tan120.點(diǎn)評：此題要求學(xué)生掌握已知直線的傾斜角求斜率本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1直線方程的概念；2直線的斜率、傾斜角和斜率公式；3利用斜率判定三點(diǎn)共線本節(jié)練習(xí)A1,2題在對傾斜角及斜率這兩個概念進(jìn)行辨析時，以傾斜角與斜率的相互變化作為突破口同時本節(jié)教學(xué)設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察來獲得新知，在實(shí)際教學(xué)中教師要及時引導(dǎo)，加強(qiáng)師生交流，學(xué)生通過自主觀察、分析還是能得到正確結(jié)論的，要留給學(xué)生充分的思考時間，透徹理解直線的傾斜角和斜率的概念，能根據(jù)條件正確地求出直線的傾斜角和斜率是知識教學(xué)的目的；在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象、歸納的思維能力，強(qiáng)化“形”“數(shù)”結(jié)合相互轉(zhuǎn)化的思想方法，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)新課程解析幾何教材在學(xué)生沒有三角函數(shù)、向量基礎(chǔ)的情況下展開，使得教學(xué)設(shè)計有了無米之炊的感覺從知識接受上講似乎并無大礙，但是從知識的聯(lián)系性、思維的豐富性上來說，講多了給人一種感覺記住結(jié)論會用就行！這或許就是新課程的理念吧但本課還是力求在學(xué)生思維發(fā)展層面上保持較高要求已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對值的變化情況解：0<90.作出ytan在0，90)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當(dāng)0，90)時，ytan0，并且隨著的增大，y不斷增大，|y|也不斷增大所以，當(dāng)0，90)時，隨著傾斜角的不斷增大，直線斜率不斷增大，直線斜率的絕對值也不斷增大90<<180.作出ytan在(90，180)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當(dāng)(90，180)時，ytan0，并且隨著的增大，ytan不斷增大，|y|不斷減小所以當(dāng)(90，180)時，隨著傾斜角的不斷增大，直線的斜率不斷增大，但直線斜率的絕對值不斷減小點(diǎn)評：針對以上結(jié)論，雖然有當(dāng)0，90)時，隨著增大直線斜率不斷增大；當(dāng)(90，180)時，隨著增大直線斜率不斷增大但是當(dāng)0，90)(90，180)時，隨著的增大直線斜率不斷增大卻是一錯誤結(jié)論