2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線(xiàn)的方程 2.2.2.1 直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程教案 新人教B版必修2教學(xué)分析教材利用斜率公式推導(dǎo)出了直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程推導(dǎo)出了直線(xiàn)的斜截式方程，讓學(xué)生討論得出直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，在練習(xí)B中給出了直線(xiàn)的截距式方程值得注意的是本節(jié)所討論直線(xiàn)方程的四種形式中，點(diǎn)斜式方程是基礎(chǔ)是一個(gè)“母方程”，其他方程都可以看成是點(diǎn)斜式方程的“子方程”因此在教學(xué)中要突出點(diǎn)斜式方程的教學(xué)，其他三種方程形式可以讓學(xué)生自己完成推導(dǎo)三維目標(biāo)1掌握直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程；了解直線(xiàn)的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特例，培養(yǎng)普遍聯(lián)系的辯證思維能力2理解直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程和截距式方程，并能探討直線(xiàn)方程不同形式的適用范圍，提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性3會(huì)求直線(xiàn)方程，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線(xiàn)方程的四種形式及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：求直線(xiàn)方程課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.我們知道兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，除此之外，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)定點(diǎn)和斜率也能確定一條直線(xiàn)，那么怎樣求由一點(diǎn)和斜率確定的直線(xiàn)方程呢？教師引出課題設(shè)計(jì)2.上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線(xiàn)方程的概念，其中直線(xiàn)ykxb就是我們本節(jié)所要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師引出課題推進(jìn)新課(1)如左下圖所示，已知直線(xiàn)l過(guò)P0(x0，y0)，且斜率為k，求直線(xiàn)l的方程(2)已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(0，b)，且斜率為k(如右上圖)，求直線(xiàn)l的方程(3)已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，y1y2，求直線(xiàn)AB的方程(4)已知直線(xiàn)l在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b，且a0，b0.求證直線(xiàn)l的方程可寫(xiě)為1.(這種形式的直線(xiàn)方程，叫做直線(xiàn)的截距式方程)討論結(jié)果：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)為直線(xiàn)l上不同于P0(x0，y0)的任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率k可由P和P0兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示為k.即yy0k(xx0)方程就是點(diǎn)P(x，y)在直線(xiàn)l上的條件在l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足這個(gè)方程，坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的點(diǎn)也一定在直線(xiàn)l上方程是由直線(xiàn)上一點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率k所確定的直線(xiàn)方程，我們把這個(gè)方程叫做直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程特別地，當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)方程變?yōu)閥y0.這時(shí)，直線(xiàn)平行于x軸或與x軸重合(2)直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程為ybk(x0)整理，得ykxb.這個(gè)方程叫做直線(xiàn)的斜截式方程其中k為斜率，b叫做直線(xiàn)ykxb在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱(chēng)為直線(xiàn)的截距這種形式的方程，當(dāng)k不等于0時(shí)，就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式(3)設(shè)P(x，y)是直線(xiàn)AB上任一點(diǎn)，則kAB，所以直線(xiàn)AB的點(diǎn)斜式方程為yy1(xx1)，整理得(x1x2，y1y2)，這種形式的方程叫做直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程(4)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(a,0)，(0，b)，則直線(xiàn)l的兩點(diǎn)式方程為，整理得1.這種形式的直線(xiàn)方程，叫做直線(xiàn)的截距式方程思路1例1求下列直線(xiàn)的方程：(1)直線(xiàn)l1：過(guò)點(diǎn)(2,1)，k1；(2)直線(xiàn)l2：過(guò)點(diǎn)(2,1)和點(diǎn)(3，3)解：(1)直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)(2,1)，斜率k1.由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，得y11(x2)，整理，得l1的方程為xy30.(2)我們先求出直線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程直線(xiàn)l2的斜率k，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(2,1)，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，得y1x(2)，整理，得l2的方程4x5y30.另解：直線(xiàn)l2的兩點(diǎn)式方程為，整理，得4x5y30.點(diǎn)評(píng)：為了統(tǒng)一答案的形式，如沒(méi)有特別要求，直線(xiàn)方程都化為axbyc0的形式變式訓(xùn)練分別求出通過(guò)點(diǎn)P(3,4)且滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程，并畫(huà)出圖形：(1)斜率k2；(2)與x軸平行；(3)與x軸垂直解：(1)這條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)，斜率k2，點(diǎn)斜式方程為y42(x3)，可化為2xy20.如圖(1)所示(2)由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與x軸平行，即斜率k0，所以直線(xiàn)方程為y4.如圖(2)所示(3)由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與x軸垂直，所以直線(xiàn)方程為x3.如圖(3)所示圖(1)圖(2)圖(3)例2已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(3,0)，B(2，2)，C(0,1)，求這個(gè)三角形三邊各自所在直線(xiàn)的方程解：如下圖，因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)A(3,0)，B(2，2)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式，得，整理，得2x5y60，這就是直線(xiàn)AB的方程；直線(xiàn)AC過(guò)A(3,0)，C(0,1)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式，得，整理，得x3y30，這就是直線(xiàn)AC的方程；直線(xiàn)BC的斜率是k，過(guò)點(diǎn)C(0,1)，由點(diǎn)斜式，得y1(x0)，整理得3x2y20，這就是直線(xiàn)BC的方程例3求過(guò)點(diǎn)(0,1)，斜率為的直線(xiàn)的方程解：直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,1)，表明直線(xiàn)在y軸上的截距為1，又直線(xiàn)斜率為，由直線(xiàn)的斜截式方程，得yx1.即x2y20.變式訓(xùn)練1直線(xiàn)l：y4x2在y軸上的截距是_，斜率k_.答案：242已知直線(xiàn)l：ykxb經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，試判斷k和b的符號(hào)解：如下圖所示因?yàn)橹本€(xiàn)l與x軸的正方向的夾角是鈍角，與y軸交點(diǎn)位于y軸的負(fù)半軸上，所以k<0，b<0.思路2例4過(guò)兩點(diǎn)(1,1)和(3,9)的直線(xiàn)l在x軸上的截距是_，在y軸上的截距是_解析：直線(xiàn)l的兩點(diǎn)式方程是，當(dāng)x0時(shí)，y3；當(dāng)y0時(shí)，x.即直線(xiàn)l在x軸上的截距等于，在y軸上的截距等于3.答案：3點(diǎn)評(píng)：已知直線(xiàn)的截距式方程，可以直接觀察得出在兩坐標(biāo)軸上的截距；已知直線(xiàn)的非截距式方程時(shí)，令x0，解得y的值即是在y軸上的截距，令y0，解得x的值即是在x軸上的截距變式訓(xùn)練已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2,3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線(xiàn)的方程解：因?yàn)橹本€(xiàn)與x軸不垂直，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為y3k(x2)令x0，得y2k3；令y0，得x2.由題意，得|(2k3)(2)|4.若(2k3)(2)8，無(wú)解；若(2k3)(2)8，解得k，k.所求直線(xiàn)的方程為y3(x2)和y3(x2)，即x2y40和 9x2y120.例5 設(shè)ABC的頂點(diǎn)A(1,3)，邊AB、AC上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程分別為x2y10，y1，求ABC中AB、AC各邊所在直線(xiàn)的方程分析：為了搞清ABC中各有關(guān)元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫(huà)出圖形，幫助思考問(wèn)題解：如下圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為F，則AC邊上的中線(xiàn)BF為y1.AB邊的中點(diǎn)為E，則AB邊上中線(xiàn)CE為x2y10.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)在A、C、F三點(diǎn)中A點(diǎn)已知，C點(diǎn)未知，F(xiàn)雖然為未知但其在中線(xiàn)BF上，滿(mǎn)足y1這一條件這樣用中點(diǎn)公式解出n1.又C點(diǎn)在中線(xiàn)CE上，應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足CE的方程，則m2n10.m3.C點(diǎn)為(3，1)用同樣的思路去求B點(diǎn)設(shè)B點(diǎn)為(a，b)，顯然b1.又B點(diǎn)、A點(diǎn)、E點(diǎn)中，E為中點(diǎn)，B點(diǎn)為(a,1)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，即(，2)E點(diǎn)在CE上，應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足CE的方程410，解出a5.B點(diǎn)為(5,1)由兩點(diǎn)式，即可得到AB，AC所在直線(xiàn)的方程lAC：xy20.lAB：x2y70.點(diǎn)評(píng)：此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)從中領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)中點(diǎn)公式要靈活應(yīng)用；(2)如果一個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，則這點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足這條直線(xiàn)的方程，這一觀念必須牢牢地樹(shù)立起來(lái)變式訓(xùn)練已知點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，點(diǎn)P為直線(xiàn)2xy10上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|2|PN|2的最小值為多少？解：P點(diǎn)在直線(xiàn)2xy10上，設(shè)P(x0,2x01)|PM|2|PN|2(2x01)2(x01)2(2x01)2(x01)22(2x01)22x210x8x0410(x0)2.最小值為.例6 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線(xiàn)有幾條？請(qǐng)求出這些直線(xiàn)的方程解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)ykx，過(guò)點(diǎn)A(1,2)，則得k2，即y2x.當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)1或1，過(guò)點(diǎn)A(1,2)，則得a3，或a1，即xy30或xy10.綜上，所求的直線(xiàn)共有3條：y2x，xy30或xy10.點(diǎn)評(píng)：本題易漏掉直線(xiàn)y2x，其原因是忽視了直線(xiàn)方程的截距式滿(mǎn)足的條件之一：在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為零變式訓(xùn)練過(guò)點(diǎn)P(4，3)的直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線(xiàn)l的方程解：直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等都為0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)(0,0)、(4，3)，由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)方程為yx；當(dāng)直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為0時(shí)，可以設(shè)截距為a，直線(xiàn)方程為1，過(guò)點(diǎn)(4，3)，解得直線(xiàn)的方程為xy1.1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，2)，傾斜角是30的直線(xiàn)的方程是()Ay(x2) By2(x)Cy2(x) Dy2(x)答案：C2已知直線(xiàn)方程y3(x4)，則這條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的已知點(diǎn)，傾斜角分別是()A(4,3)，60 B(3，4)，30C(4,3)，30 D(4，3)，60答案：A3直線(xiàn)方程可表示成點(diǎn)斜式方程的條件是()A直線(xiàn)的斜率存在 B直線(xiàn)的斜率不存在C直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn) D不同于上述答案答案：A4直線(xiàn)y(x2)繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30所得的直線(xiàn)方程是_解析：直線(xiàn)y(x2)的傾斜角為120，繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30后，傾斜角為1203090，則所得直線(xiàn)方程是x2，即x20.答案：x205已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,5)、B(2，1)、C(4,3)，M是BC邊上的中點(diǎn)(1)求AB邊所在的直線(xiàn)方程；(2)求中線(xiàn)AM的長(zhǎng)；解：(1)由兩點(diǎn)式寫(xiě)方程，得，即6xy110.(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x01，y01，故M(1,1)，AM2.6已知如下圖，正方形邊長(zhǎng)是4，它的中心在原點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)在坐標(biāo)軸上，求正方形各邊及對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)的方程分析：由于正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以可用截距式求正方形各邊所在直線(xiàn)的方程而正方形的對(duì)稱(chēng)軸PQ、MN、x軸、y軸則不能用截距式，其中PQ、MN應(yīng)選用斜截式，x軸，y軸的方程可以直接寫(xiě)出解：因?yàn)閨AB|4，所以|OA|OB|2.因此A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0,2)、(2，0)、(0，2)所以AB所在直線(xiàn)的方程是1，即xy20.BC所在直線(xiàn)的方程是1，即xy20.CD所在直線(xiàn)的方程是1，即xy20.DA所在直線(xiàn)的方程是1，即xy20.對(duì)稱(chēng)軸方程分別為xy0，x0，y0.如左下圖，要在土地ABCDE上劃出一塊長(zhǎng)方形地面(不改變方向)，問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使占地面積最大？并求出最大面積(單位：m)解：如右上圖，建立直角坐標(biāo)系，在線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)P分別向CD、DE作垂線(xiàn)，劃得一矩形土地AB方程為1，P(x,20)(0x30)，則S矩形(100x)80(20)(x5)26 000(0x30)，當(dāng)x5，y，即P(5，)時(shí)，(S矩形)max(m2)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1直線(xiàn)方程的四種形式；2會(huì)求直線(xiàn)方程；3注意直線(xiàn)方程的使用條件，尤其關(guān)注直線(xiàn)的斜率是否存在從而分類(lèi)討論本節(jié)練習(xí)B2,3題本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)，以課程標(biāo)準(zhǔn)為指南，對(duì)直線(xiàn)方程的四種形式放在一起集中學(xué)習(xí)，這樣有利于對(duì)比方程的適用范圍，比教材中分散學(xué)習(xí)效果要好，特別是應(yīng)用示例思路2的總體難度較大，適用于基礎(chǔ)扎實(shí)、學(xué)習(xí)有余力的同學(xué)解析幾何的應(yīng)用解析幾何又分為平面解析幾何和空間解析幾何在平面解析幾何中，除了研究直線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線(xiàn)(圓、橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn))的有關(guān)性質(zhì)在空間解析幾何中，除了研究平面、直線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門(mén)在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線(xiàn)、衛(wèi)星的天線(xiàn)、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線(xiàn)的原理制成的總的來(lái)說(shuō)，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類(lèi)基本問(wèn)題：一類(lèi)是滿(mǎn)足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系建立它的方程；另一類(lèi)是通過(guò)方程的討論，研究方程所表示的曲線(xiàn)性質(zhì)運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語(yǔ)言敘述，從而得到原先幾何問(wèn)題的答案?jìng)溥x習(xí)題1求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為2的三角形，并且兩截距之差為3的直線(xiàn)的方程解：設(shè)直線(xiàn)方程為1，則由題意知ab2，ab4.又|ab|3，解得a4，b1或a1，b4.則直線(xiàn)方程是1或1，即x4y40或4xy40.2已知直線(xiàn)l1：y4x和點(diǎn)P(6,4)，過(guò)點(diǎn)P引一直線(xiàn)l與l1交于點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)R，當(dāng)OQR的面積最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程分析：因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P(6,4)，所以只要求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，就能由直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(6,4)的直線(xiàn)方程為x6和y4k(x6)，當(dāng)l的方程為x6時(shí)，OQR的面積為S72；當(dāng)l的方程為y4k(x6)時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為R(，0)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(，)，此時(shí)OQR的面積S.S0，r(r4)>0，r>4或r<0.變形為(S72)k2(964S)k320(S72)因?yàn)樯鲜龇匠谈呐袆e式0，所以(964S)2432(S72)0，解得16S(S40)0，即S40.此時(shí)k1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)，S有最小值40.此時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y4(x6)，即xy100.點(diǎn)評(píng)：此題是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵怎樣求這個(gè)面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo)3已知直線(xiàn)ykxk2與以A(0，3)、B(3,0)為端點(diǎn)的線(xiàn)段相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析：本題要首先畫(huà)出圖形如下圖，幫助我們找尋思路，仔細(xì)研究直線(xiàn)ykxk2，我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥2k(x1)，這就可以看出，這是過(guò)(1,2)點(diǎn)的一組直線(xiàn)設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為P(1,2)解：我們?cè)O(shè)PA的傾斜角為1，PC的傾斜角為，PB的傾斜角為2，且12.則k1tan1kk2tan2.又k15，k2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是5k.