2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第29課時 直角三角形的應用【基礎知識梳理】一、解直角三角形1、在直角三角形中，由已知元素求_的過程叫解直角三角形。直角三角形中，除直角外有5個元素，即3條邊和2個銳角，已知元素中，至少有一個是_的條件，才叫解直角三角形。2、解直角三角形的基本類型已知斜邊和一個銳角 已知一直角邊和一個銳角 已知斜邊和一直角邊 已知兩直角邊二、解直角三角形的應用1.仰角與俯角：在進行測量時仰角：（如圖）從下往上看，視線與_的夾角。俯角：（如圖）從上往下看，視線與_的夾角。2、坡腳與坡度斜坡與水平面的夾角叫做_坡度（坡比）=坡角的 . 3、方位角：一正南正北為基準，描述物體運動方向的角叫做_,如北偏東30，特別的東北方向為_西南方向為_。4、.應用直角三角形的邊角關系來解決實際問題時，要注意：（1）在解直角三角形時，是用三角函數(shù)知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長度或角的大小，這是數(shù)形結合的一種形式，所以在分析問題時，一般先根據(jù)已知條件作出它的平面或截面示意圖，按照圖中_之間的關系進行計算，這樣可以幫助我們思考，防止出錯.（2）有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當?shù)妮o助線把它們分割成一些_三角形和矩形，從而轉化為_三角形的問題來解決.（3）在優(yōu)選公式時，盡量利用已知數(shù)據(jù)，避免“一錯再錯”和“累積誤差”，并要按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確到進行近似計算.（4）應用的基本思路：能從實際問題中抽象出數(shù)學模型或通過添加輔助線構建直角三角形；利用三角函數(shù)、勾股定理、方程等知識解決問題.【基礎診斷】1、（xx德州）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為（）A4米B6米C12米D24米2、（xx蘇州）如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（）A4kmB2kmC2kmD（+1）km 3、（xx隨州）如圖，要測量B點到河岸AD的距離，在A點測得BAD=30，在C點測得BCD=60，又測得AC=100米，則B點到河岸AD的距離為（）A100米B50米C米D50米4、（xx襄陽）如圖，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45，測得大樹AB的底部B的俯角為30，已知平臺CD的高度為5m，則大樹的高度為多少？（結果保留根號） 【精典例題】例1 （xx年山東煙臺）小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30，AC長米，釣竿AO的傾斜角是60，其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60，求浮漂B與河堤下端C之間的距離分析：延長OA交BC于點D先由傾斜角定義及三角形內角和定理求出CAD=180ODBACD=90，解RtACD，得出AD=ACtanACD=米，CD=2AD=3米，再證明BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根據(jù)BC=BDCD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，作出輔助線得到RtACD是解題的關鍵例2：（xx年四川南充）馬航MH370失聯(lián)后，我國政府積極參與搜救某日，我兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到有關可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.50方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處（參考數(shù)據(jù)：sin36.50.6，cos36.50.8，tan36.50.75）（1）求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離；（2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時，30海里/時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達P處分析：（1）過點P作PEAB于點E，在RtAPE中解出PE即可；（2）在RtBPF中，求出BP，分別計算出兩艘船需要的時間，即可作出判斷本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解仰角的定義，能利用三角函數(shù)值計算有關線段，難度一般例3 （xx昆明）如圖，在數(shù)學實踐課中，小明為了測量學校旗桿CD的高度，在地面A處放置高度為1.5米的測角儀AB，測得旗桿頂端D的仰角為32，AC為22米，求旗桿CD的高度.（結果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：sin32= 0.53，cos32= 0.85，tan32= 0.62）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題。分析：根據(jù)已知條件轉化為直角三角形中的有關量，然后選擇合適的邊角關系求得長度即可本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是利用仰俯角的定義將題目中的相關量轉化為直角三角形BDE中的有關元素【自測訓練】A基礎訓練一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.）1. （xx湖南衡陽）如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，則壩底AD的長度為（）A26米B28米C30米D46米2、（xx四川綿陽,第8題3分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（）A40海里B40海里C80海里D40海里3、身高相等的四名同學甲、乙、丙、丁參加風箏比賽，四人放出風箏的線長、線與地面的夾角如下表(假設風箏線是拉直的)，則四名同學所放的風箏中最高的是( )同學甲乙丙丁放出風箏線長140 m100 m95 m90 m線與地面夾角30454560A.甲 B乙 C丙 D丁二、填空題4、（xx十堰）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70方向上，輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50方向勻速航行，1小時后到達碼頭B處，此時，觀測燈塔C位于北偏西25方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是 海里（結果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：1.4，1.7，2.4）5、（xx年浙江嘉興）如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為度，AC=7米，則樹高BC為 米（用含的代數(shù)式表示）6、（xx濰坊）如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2米的標桿CD和EF，兩標桿相隔50米，并且建筑物AB、標桿CD和EF在同一豎直平面內，從標桿CD后退2米到點G處，在G處測得建筑物頂端A和標桿頂端C在同一條直線上；從標桿FE后退4米到點H處，在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是 米三、解答題7、（xx呼和浩特）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（結果用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）8、（xx蘭州）如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30，已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長（結果保留根號） B 提升訓練 一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.）1、如圖1，在平地上種植樹木時，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)為4 m如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4 m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為( )A5 m B6 m C7 m D8 m2、如圖2，某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里.客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60方向航行小時到達B處，那么tanABP=( ) A. B.2 C. D.3、為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如下圖形3，其中，AF交BE于D，C在BD上有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（ ）A、1組 B、2組 C、3組 D、4組 ABCDEF圖1 圖2 圖3 二、填空題ABC3018 圖4 圖5 圖6 4、如圖4，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現(xiàn)設計斜坡BC的坡度，則AC的長度是 cm5、如圖5，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ，cosA的值是 .（結果保留根號）6、小明想測一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖6，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米，已知斜坡的坡角為，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為_。三、解答題7、（xx內江）“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機到相關海域進行搜尋如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機觀測得在點A俯角為30方向的F點處有疑似飛機殘骸的物體（該物體視為靜止）為了便于觀察，飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達B點，此時測得點F在點B俯角為45的方向上，請你計算當飛機飛臨F點的正上方點C時（點A、B、C在同一直線上），豎直高度CF約為多少米？（結果保留整數(shù)，參考數(shù)值：1.7）8、（xx鹽城）鹽城電視塔是我市標志性建筑之一如圖，在一次數(shù)學課外實踐活動中，老師要求測電視塔的高度AB小明在D處用高1.5m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30，然后向電視塔前進224m到達E處，又測得電視塔頂端A的仰角為60求電視塔的高度AB（取1.73，結果精確到0.1m）9（xx棗莊）如圖，一扇窗戶垂直打開，即OMOP，AC是長度不變的滑動支架，其中一端固定在窗戶的點A處，另一端在OP上滑動，將窗戶OM按圖示方向想內旋轉35到達ON位置，此時，點A、C的對應位置分別是點B、D測量出ODB為25，點D到點O的距離為30cm（1）求B點到OP的距離；（2）求滑動支架的長（結果精確到1cm參考數(shù)據(jù)：sin250.42，cos250.91，tan250.47，sin550.82，cos550.57，tan551.43） 課后反饋1、（本小題滿分9分）某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45、B地北偏西60方向上有一牧民區(qū)C一天，甲醫(yī)療隊接到牧民區(qū)的求救電話，立刻設計了兩種救助方案，方案I：從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C 已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍（1）求牧民區(qū)到公路的最短距離CDAD北C東4560（2）你認為甲醫(yī)療隊設計的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由 （結果精確到0.1參考數(shù)據(jù)：取1.73，取1.41） 2、九年級三班小亮同學學習了“測量物體高度”一節(jié)課后，他為了測得右圖所放風箏的高度，進行了如下操作：（1）在放風箏的點A處安置測傾器，測得風箏C的仰角CBD=60；（2）根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長度為70米；（3）量出測傾器的高度AB=1.5米根據(jù)測量數(shù)據(jù)，計算出風箏的高度CE約為 米(精確到0.1米，1.73)