2021/6/16 1 77 平面及其方程一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角法線向量、平面的點法式方程特殊的平面、平面的一般方程、截距式方程兩平面的夾角、兩平面夾角的余弦兩平面平行與垂直的條件點到平面的距離公式 2021/6/16 2 一、平面的點法式方程法線向量： 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量或者叫法矢x yzO n 2021/6/16 3唯一確定平面的條件： 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量x yzO M 0 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有無窮個一、平面的點法式方程法線向量： 2021/6/16 4唯一確定平面的條件： 法線向量： 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量x yzO M 0 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有無窮個一、平面的點法式方程 2021/6/16 5唯一確定平面的條件： 一、平面的點法式方程法線向量： 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量x yzO M 0 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有無窮個 2021/6/16 6唯一確定平面的條件： 一、平面的點法式方程法線向量： 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量x yzO M 0 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)并有確定n法向量 A，B，C的平面只有一個 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有無窮個n 2021/6/16 7唯一確定平面的條件： 一、平面的點法式方程法線向量： 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就電做該平面的法線向量x yzO M 0 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)并有確定n法向量 A，B，C的平面只有一個 過一定點M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有無窮個n 2021/6/16 8 平面方程的建立：設(shè)M (x，y，z) 是平面上的任一點必與平面的法線向量 n 垂直， 設(shè)M 0(x 0，y 0，z 0)為平面上一點， nA，B，C一個法線向量為平面的即它們的數(shù)量積等于零：由于nA，B，C，所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0這就是平面的方程此方程叫做平面的點法式方程x yzO M 0 MnMM0那么向量MM0n 0 xx 0，yy 0，zz 0，MM0 2021/6/16 9 即 x2y3z80 例1 求過點(2，3，0)且以n1，2，3為法線向量的平面的方程 解 根據(jù)平面的點法式方程，得所求平面的方程為(x2)2(y3)3z0， 2021/6/16 10 解 先求出這平面的法線向量 n 例2 求過三點M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)的平面的方程x yzOM 1 M 2M 3可取3，4，6， 21MM 2，31， 31MM n 2021/6/16 11根據(jù)平面的點法式方程，得所求平面的方程為14(x2)9(y1)(z4)0，即 14x9yz150n 21MM 31MM 132 643 kji 14i9jk， 解 先求出這平面的法線向量 n 例2 求過三點M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)的平面的方程可取3，4，6， 21MM 2，31， 31MM 2021/6/16 12 方法二：設(shè)平面方程為A（x-2）+B（y+1）+C（Z-4）=0點M 2、M 3滿足方程，代入方程：3 4 6 02 3 0914114A B CA B CB AC A 解之得：因此有：9 1( 2) ( 1) ( 4) 014 14 14 9 15 0A x A y A zx y z 2021/6/16 13 二、平面的一般方程所以任一三元一次方程A xB yC zD0的圖形總是一個平面 任一平面都可以用它上面的一點(x0，y0，z0 )及它的法線向量方程的一組數(shù)x0，y0，z0，即A x0 B y0C z0D0 反過來，設(shè)有三元一次方程A xB yC zD0任取滿足該由于方程A xB yC zD0與方程A(xx 0)B(yy0)C(zz0)0同解，nA，B，C 來確定，平面的點法式方程是三元一次方程A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0則有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，這是平面的點法式方程方程A xB yC zD0稱為平面的一般方程平面的法線向量為nA，B，C 2021/6/16 14 考察下列特殊的平面，指出法線向量與坐標面、坐標軸的關(guān)系，平面與坐標面、坐標軸的關(guān)系，平面通過的特殊點或線 例如，方程3x4yz90表示一個平面，n3，4，1是這平面的一個法線向量討論：D=0：A xB yC z0A=0：B yC zD0B=0：A xC zD0C=0：A xB y D0A=B=0：C zD0B=C=0：A xD0A=C=0：B y D0 2021/6/16 15將其代入所設(shè)方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程為y3z0 例3 求通過 x 軸和點(4，3，1)的平面的方程 解 由于平面通過 x 軸，從而它的法線向量垂直于 x 軸，于是法線向量在 x 軸上的投影為零，即A0 又由于平面通過x軸，它必通過原點，于是D0 因此可設(shè)這平面的方程為ByCz0 又因為這平面通過點(4，3，1)，所以有3BC0，或 C3B 2021/6/16 16 例4 設(shè)一平面與x、y、z軸的交點依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點，求這平面的方程(其中a 0，b 0，c 0) x yzOP (a, 0, 0)R (0, 0, c) Q (0, b, 0)n 2021/6/16 17 解 設(shè)所求平面的方程為A x B yC zD0因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點都在這平面上，所以點P、Q、R的坐標都滿足所設(shè)方程；即有解得將其代入所設(shè)方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程為此方程稱為截距式方程而a,b,c依次叫做 例4 設(shè)一平面與x、y、z軸的交點依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點，求這平面的方程(其中a 0，b 0，c 0) ,0,0,0DcC DbB DaAaDA ，bDB ，cDC 1 czbyax平面在x,y,z軸上的截距 2021/6/16 181 三、兩平面的夾角兩平面的夾角： 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的平角)q 2)qn2 n1 2021/6/16 19來確定 設(shè)平面 1和 2的法線向量分別為n1A 1，B 1，C 1，n2A 2，B 2，C 2那么平面 1和 2的夾角q 應(yīng)是(n1, n2)和(n1, n2)=p(n1, n2)兩者中的銳角，因此，cos q |cos (n1, n2)|按兩向量夾角余弦的坐標表示式，平面 1和 2的夾角q 可由cos q 222222212121 212121 | CBACBA CCBBAA 2021/6/16 20 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論： （1）平面 1和 2互相垂直當且僅當A 1A 2B 1B 2C 1C 20； （2）平面 1和 2互相平行或重合當且僅當212121 CCBBAA 2021/6/16 21 例5 求兩平面xy2z60和2xyz50的夾角 解 n1A 1，B 1，C 1 1，1，2，n2A 2，B 2，C 22，1，1，cos q 222222212121 212121 | CBACBA CCBBAA 222222 1122)1(1 |121)1(21| 21 因此，所求夾角為q 3p 2021/6/16 22 例6 一平面通過兩點M 1(1，1，1)和M 2(0，1，1)且垂直于平面xyz0，求它的方程 解 設(shè)所求平面的法線向量為nA，B，C1，0，2已知另一平面的法線向量為111 201 kji 所以可取2 i j k ， 從而所求平面方程為2(x1)(y1)(z1)0，即2xyz0n11，1，1 21MM由已知條件，有n ， n n1 21MMn= n1 21MM 2021/6/16 23 設(shè)P 0(x 0，y 0，z 0)是平面A x B yC zD0外一點，求P 0 到這平面的距離點到平面的距離： 在平面上任取一點P 1(x 1，y 1，z 1)，并作一法線向量 n ，則P 0到這平面的距離為設(shè) n為與向量同向的單位向量，則有P 0P 1 Nd|Prj n 01PP |Prj n 01PP 01PPn，n 2021/6/16 24又因Ax1By1Cz1D0，所以由此得點P 0(x 0，y 0，z 0) 到平面A x B yC zD0的距離公式： n |1n A，B，C， 01PP x0 x1，y0y1，z0z1， Prj n 01PP 01PPn， |1n A(x0 x1)B(y0y1)C(z0z1) |1n Ax0By0Cz0( Ax1By1Cz1)， |n| 222 CBA ， Prj n 01PP 222 000 CBA DCzByAx 2021/6/16 25 例7 求點(2，1，1)到平面xyz10的距離 解 d 222 000 | CBA DCzByAx 222 )1(11 |11)1(1121| 33 3所以點到平面的距離d 若有不當之處，請指正，謝謝！