2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第5講 立體幾何1一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是俯視圖放在正(主)視圖下面，長度與正(主)視圖一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長對(duì)正，高平齊，寬相等”在畫一個(gè)物體的三視圖時(shí)，一定注意實(shí)線與虛線要分明問題1如圖，若一個(gè)幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為_2在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半”問題2如圖所示的等腰直角三角形表示一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個(gè)平面圖形的面積是_3簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積(1)S直棱柱側(cè)ch(c為底面的周長，h為高)(2)S正棱錐側(cè)ch(c為底面周長，h為斜高)(3)S正棱臺(tái)側(cè)(cc)h(c與c分別為上、下底面周長，h為斜高)(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rl(r為底面半徑，l為母線)，S圓錐側(cè)rl(同上)，S圓臺(tái)側(cè)(rr)l(r、r分別為上、下底的半徑，l為母線)(5)體積公式V柱Sh (S為底面面積，h為高)，V錐Sh(S為底面面積，h為高)，V臺(tái)(SS)h(S、S為上、下底面面積，h為高)(6)球的表面積和體積S球4R2，V球R3.問題3如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()A4 B3C2 D.4空間直線的位置關(guān)系(1)相交直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(2)平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)(3)異面直線不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)問題4在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系是_5空間的平行關(guān)系(1)線面平行：a；a；a；(2)面面平行：；(3)線線平行：ab；ab；ab；ab.問題5判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“”號(hào)，錯(cuò)誤的畫“”號(hào)如果a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面()如果直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行()如果直線a，b和平面滿足a，b，那么ab.()如果直線a，b和平面滿足ab，a，b，那么b.()6空間的垂直關(guān)系(1)線面垂直：l；a；a；b；(2)面面垂直：二面角90；(3)線線垂直：ab.問題6已知兩個(gè)平面垂直，下列命題一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線；一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A3 B2C1 D07空間向量(1)用空間向量求角的方法步驟異面直線所成的角若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為，則cos |cosv1，v2|.直線和平面所成的角利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法：方法一分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩條直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)方法二通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角利用空間向量求二面角也有兩種方法：方法一分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小方法二通過平面的法向量來求，設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)易錯(cuò)警示：求線面角時(shí)，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，容易誤以為是線面角的余弦求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析(2)用空間向量求A到平面的距離：可表示為d.問題7(1)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于_(2)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_例1某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A. B. C1 D2錯(cuò)因分析解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有(1)還原空間幾何體的形狀時(shí)出錯(cuò)，不能正確判斷其對(duì)應(yīng)的幾何體；(2)計(jì)算時(shí)不能準(zhǔn)確把三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)幾何體中的線段長度，尤其側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯(cuò)解析由三視圖，可知該空間幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，直角邊長分別為1和，三棱柱的高為，則該幾何體的體積為V11.故選C.答案C易錯(cuò)點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)體辨識(shí)不清例2如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積錯(cuò)因分析注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候邊界形成一個(gè)圓臺(tái)，并在上面挖去了一個(gè)“半球”，其體積應(yīng)是圓臺(tái)的體積減去半球的體積解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計(jì)算時(shí)沒有減掉半球的體積解由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺(tái)和球的體積公式，得V圓臺(tái)(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)所以旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺(tái)V半球52(cm3)易錯(cuò)點(diǎn)3空間線面關(guān)系把握不準(zhǔn)例3設(shè)a，b為兩條直線，為兩個(gè)平面，且a，a，則下列結(jié)論中不成立的是()A若b，ab，則aB若a，則aC若ab，b，則aD若，a，ba，則b錯(cuò)因分析本題易出現(xiàn)的問題就是對(duì)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提a，a，對(duì)空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤如A項(xiàng)中忽視已知條件中的a，誤以為該項(xiàng)錯(cuò)誤等解析對(duì)于選項(xiàng)A，若有b，ab，且已知a，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若a，則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知a或a，而由已知可知a，所以有a，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若ab，b，所以a或a，而由已知可得a，所以a，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由a，ba可得b，又因?yàn)?，所以b或b，故不能得到b，所以D項(xiàng)錯(cuò)，故選D.答案D易錯(cuò)點(diǎn)4混淆空間角與向量夾角例4如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PDAD1，AB2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，求AE等于何值時(shí)，二面角PECD的平面角為.錯(cuò)因分析本題易出錯(cuò)的地方是誤以為兩個(gè)平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小，在計(jì)算時(shí)對(duì)兩個(gè)平面的法向量所成的角和二面角的關(guān)系判斷錯(cuò)誤，導(dǎo)致在平面的法向量方向不同時(shí)把銳二面角的余弦值算出個(gè)負(fù)值而出錯(cuò)解以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)設(shè)E(1，y0,0)，則(1,2y0,0)，設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為n1(x，y，z)，所以xyz(2y0)12，記n1(2y0,1,2)而平面ECD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，則二面角PECD的平面角的余弦值cos |cosn1，n2|，所以cos y02或y02(舍去)所以當(dāng)AE2時(shí)，二面角PECD的平面角為.1(xx浙江)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m()A若l，則 B若，則lmC若l，則 D若，則lm2設(shè)m，n是空間兩條直線，是空間兩個(gè)平面，則下列選項(xiàng)中不正確的是()A當(dāng)m時(shí)，“n”是“mn”的必要不充分條件B當(dāng)m時(shí)，“m”是“”的充分不必要條件C當(dāng)n時(shí)，“n”是“”成立的充要條件D當(dāng)m時(shí)，“n”是“mn”的充分不必要條件3(xx浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A8 cm3 B12 cm3 C. cm3 D. cm34如圖，已知ABC為直角三角形，其中ACB90，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPB>PCBPAPB<PCCPAPBPCDPAPBPC5如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是()APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為456如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則過A、M、C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為_7對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題：若ABAC，BDCD，則BCAD；若ABCD，ACBD，則BCAD；若ABAC，BDCD，則BCAD；若ABCD，ACBD，則BCAD.其中正確的是_(填序號(hào))8.如圖，四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，則二面角ABCD的大小為_9已知直線l，m，平面，且l，m，給出四個(gè)命題：若，則lm；若lm，則；若，則lm；若lm，則.其中為真命題的是_(填序號(hào))10.如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，點(diǎn)D，E分別為棱PB，PC的中點(diǎn)(1)求證：平面PBC平面PAC；(2)求AD與平面PAC所成角的余弦值學(xué)生用書答案精析5立體幾何要點(diǎn)回扣問題1問題22問題3D問題4相交問題5問題6C問題7(1)(2)解析(1)方法一取A1C1的中點(diǎn)E，連接AE，B1E，如圖由題意知B1E平面ACC1A1，則B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角設(shè)正三棱柱側(cè)棱長與底面邊長為1，則sinB1AE.方法二如圖，以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，設(shè)棱長為1，則A，B1，設(shè)AB1與平面ACC1A1所成的角為，為平面ACC1A1的法向量則sin |cos，|.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.設(shè)平面ABC1D1的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距離d.查缺補(bǔ)漏1A選項(xiàng)A：l，l，A正確；選項(xiàng)B：，l，m，l與m位置關(guān)系不固定；選項(xiàng)C，l，l，或與相交選項(xiàng)D：，l，m.此時(shí)，l與m位置關(guān)系不固定，故選A.2A當(dāng)m時(shí)，若n可得mn或m，n異面；若mn可得n或n，所以“n”是“mn”的既不充分也不必要條件，答案選A.3C該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V222222 cm3.故選C.4CM為AB的中點(diǎn)，ACB為直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.5D若PBAD，則ADAB，但AD與AB成60角，A錯(cuò)誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯(cuò)誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯(cuò)誤；直線PD與平面ABC所成角為PDA，在RtPAD中，ADPA，所以PDA45，D正確63解析由圖形可知，當(dāng)AMMC1最小時(shí)，所得截面的周長最小，如圖所示把平面A1ABB1與平面C1CBB1展開成一個(gè)平面AA1C1C，則AMMC1最短為AC13，所以截面的最小周長為33.7解析取線段BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，ABAC，BDCD，BCAE，BCDE，BC平面ADE，AD平面ADE，BCAD，故正確設(shè)點(diǎn)O為點(diǎn)A在平面BCD上的射影，連接OB，OC，OD，ABCD，ACBD，OBCD，OCBD，點(diǎn)O為BCD的垂心，ODBC，BCAD，故正確，易知不正確，填.8.解析由ABCDCB知，與的夾角就是二面角ABCD的平面角又，2()22222.因此2(2)21232222，cos()，且0<<，則，故.9解析對(duì)命題，由l，得，l，m，lm，故正確對(duì)命題，lml，則lm，故錯(cuò)誤對(duì)命題，當(dāng)時(shí)，l與m也可能相交或異面或平行，故錯(cuò)誤對(duì)命題，由l，lm得m，又m，故正確10(1)證明如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AP所在直線分別為y軸，z軸，過點(diǎn)A且平行于BC的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PA2，由已知可得A(0,0,0)，B(1，0)，C(0，0)，P(0,0,2)，D(，1)，E(0，1)因?yàn)?0,0,2)，(1,0,0)，所以0.，所以BCAP，又BCA90，所以BCAC.因?yàn)锳CAPA且AC平面PAC，AP平面PAC，所以BC平面PAC.又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)解設(shè)AD與平面PAC所成的角為.由(1)知BC平面PAC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為(1,0,0)又(，1)，所以 sin |cos， |.所以AD與平面PAC所成角的余弦值為cos .