2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識點(diǎn)聚焦 第二章 實(shí)數(shù)高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1實(shí)數(shù)的有關(guān)概念2實(shí)數(shù)的運(yùn)算3實(shí)數(shù)與數(shù)軸35分4無理數(shù)的估算5無理數(shù)的識別注意：與的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：是先開方再求平方；是先求平方再開方，兩者運(yùn)算順序不同中 的取值范圍是，中 取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都可以(2)聯(lián)系：當(dāng)時， 2平方根的定義及性質(zhì)(1)定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫作的平方根或二次方根這就是說，如果，那么叫作的平方根(2)表示方法：正數(shù)的平方根表示為，讀作“正、負(fù)根號”(3)性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根3開平方運(yùn)算求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開平方平方與開平方互為逆運(yùn)算根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根如的平方為，所以，16的平方根為，即4平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系(1)區(qū)別：定義不同：“一個正數(shù)”與“一個數(shù)”含義不同個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個表示方法不同：正數(shù)的平方根表示為，正數(shù)的算術(shù)平方根表示為(2)聯(lián)系：具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有0的平方根、算術(shù)平方根均為0可以利用平方和開平方的互逆關(guān)系求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根5平方根(或算術(shù)平方根)的幾個結(jié)論(1)式子有意義的條件為；(2)表示的算術(shù)平方根，是非負(fù)數(shù)，即(二)立方根的定義及性質(zhì)(1)定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫作的立方根或三次方根這就是說，如果，那么叫作的立方根(2)表示方法：的立方根(或三次方根)表示為，其中 為被開方數(shù)，“”中的3為根指數(shù)(根指數(shù)3不能省略)；讀作“三次根號”或“ 的立方根”(3)性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0(4)有關(guān)立方根的補(bǔ)充說明和公式：在中，被開方數(shù)可為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，且的正負(fù)與一致；(5)開立方：求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫作開立方開立方與立方是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，負(fù)數(shù)(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))不能開平方，但可以進(jìn)行開立方運(yùn)算如的立方為，即，反過來，的立方根為，即；3的立方為27，即，反過來，27的立方根為3，即(6)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系： 名稱內(nèi)容平方根立方根表示方法區(qū)別個數(shù)正數(shù)有兩個平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根任意數(shù)都只有一個立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意數(shù)聯(lián)系都是開方運(yùn)算的結(jié)果；0的平方根、立方根都是0(三)用計(jì)算器求平方根或立方根(1)利用計(jì)算器求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時，只需要直接按書寫順序按鍵即可；求一個非負(fù)數(shù)的平方根時，則先求出它的算術(shù)平方根，再在前面添加符號(不同計(jì)算器有不同的按鍵順序)注意：(1)用計(jì)算器求一個非負(fù)數(shù)的負(fù)的平方根時，一般先求出算術(shù)平方根，然后再求其相反數(shù)，即負(fù)的平方根(2)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)時應(yīng)化為小數(shù)；被開方數(shù)后面的0或小數(shù)點(diǎn)后的0比較多時，可先寫成科學(xué)記數(shù)法的形式，再根據(jù)將被開方數(shù)化簡(2)利用計(jì)算器求一個數(shù)的立方根時，只需要直接按書寫頃序按鍵即可，若遇到被開方數(shù)是負(fù)數(shù)時，“”的輸入可按，也可以按方法技巧歸納方法技巧 (一)平方根與立方根的求法我們知道，平方與開平方、立方與開立方都互為逆運(yùn)算，根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根和立方根(二)平方根與立方根性質(zhì)的應(yīng)用平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根，即只有非負(fù)數(shù)才有平方根立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根，一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，0的立方根是0(三)算術(shù)平方根與立方根的綜合應(yīng)用(四)用計(jì)算器求算術(shù)平方根、立方根(五)根據(jù)一個數(shù)的平方根求這個數(shù)易混易錯辨析易混易錯知識1混淆與表示的算術(shù)平方根，可以取任意實(shí)數(shù)；表示的算術(shù)平方根的平方，只能取非負(fù)數(shù)2混淆平方根與立方根的性質(zhì)性質(zhì)名稱正數(shù)負(fù)數(shù)0平方根有兩個平方根沒有平方根0立方根一個正的立方根一個負(fù)的立方根0注意：開平方時，被開方數(shù)要大于或等于0；開立方時，被開方數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)3誤認(rèn)為負(fù)數(shù)沒有立方根任何數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0易混易錯 (一)審題不認(rèn)真，忽視語言敘述中含有的運(yùn)算(二)混淆平方根與算術(shù)平方根(三)在求形如“”的等式中的值時易漏掉為負(fù)值的情況中考試題研究中考命題規(guī)律本講是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，注重考查對概念、性質(zhì)和意義的理解，如平方根、算術(shù)平方根的概念以及它們的性質(zhì)和意義，另外對算術(shù)平方根非負(fù)性的考查也是重中之重，題型以填空題、選擇題為主，有時也與其他知識點(diǎn)綜合以解答題的形式出現(xiàn)中考試題 (一)平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)(二)算術(shù)平方根的非負(fù)性第4講 實(shí)數(shù)知識能力解讀知能解讀 (一)無理數(shù)、實(shí)數(shù)的定義及分類1無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)點(diǎn)撥：判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)，應(yīng)看這個數(shù)是否滿足“小數(shù)”“無限”和“不循環(huán)”這三個條件2實(shí)數(shù)的定義及分類有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)分類如下：(1)按定義分類實(shí)數(shù)(2)按性質(zhì)分類正實(shí)數(shù)正有理數(shù)實(shí)數(shù)正無理數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無理數(shù)(二)實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值的意義完全一樣(1)實(shí)數(shù)的相反數(shù)為；0的相反數(shù)是其本身；若與互為相反數(shù)，則，反之亦然(2)實(shí)數(shù)的絕對值表示為；一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，即(3)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)點(diǎn)撥：已知實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則用，分別表示點(diǎn)、點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離這是絕對值的幾何意義與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對于數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大(三)實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用交換律：，；結(jié)合律：，；分配律： (四)實(shí)數(shù)的大小比較(1)數(shù)軸比較法：(2)代數(shù)比較法；(3)差值比較法；(4)商值比較法；(5)倒數(shù)比較法：若，則；(6)平方比較法：若，則；(7)開方比較法：若，則；(8)估算法：在實(shí)數(shù)的大小比較中，當(dāng)遇到無理數(shù)時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替，再進(jìn)行比較方法技巧歸納方法技巧 (一)無理數(shù)的識別識別無理數(shù)，常常與有理數(shù)綜合在一起進(jìn)行辨析，主要把握“無限”和“不循環(huán)”兩個特點(diǎn)初中所學(xué)的無理數(shù)歸納起來有三類：(1)開方開不盡的數(shù)的方根，如；(2)化簡后含有的數(shù)，如；(3)特殊結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)(構(gòu)造型的無理數(shù))，如(相鄰兩個2之間依次多一個0)(二)實(shí)數(shù)大小比較的方法實(shí)數(shù)的大小比較包括有理數(shù)的大小比較和無理數(shù)的大小比較，另外還包括有理數(shù)與無理數(shù)的大小比較有時綜合多個知識點(diǎn)進(jìn)行考查常用的方法有特殊值法、平方法等(三)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不全表示有理數(shù)，因此有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間不是一一對應(yīng)關(guān)系；所有的無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示無理數(shù)，所以無理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)也不是一一對應(yīng)關(guān)系；數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，且所有的實(shí)數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，所以實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系拓展：有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)之間也是一一對應(yīng)關(guān)系(四)實(shí)數(shù)的運(yùn)算當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個實(shí)效可以進(jìn)行開立方運(yùn)算在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律等同樣適用(五)實(shí)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(六)借助數(shù)軸化簡易混易錯辨析易混易錯知識1對無理數(shù)的概念理解不透徹，只看表面形式(1)帶根號的不一定都是無理數(shù)，如是有理數(shù)；(2)不帶根號的不一定不是無理數(shù)，如是無理數(shù)2誤認(rèn)為有分?jǐn)?shù)線的數(shù)就是分?jǐn)?shù)，導(dǎo)致判斷失誤，如不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù)3混淆有理數(shù)與數(shù)軸和實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，誤認(rèn)為有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)也是一一對應(yīng)的易混易錯 混淆無理數(shù)與有理數(shù)中考試題研究中考命題規(guī)律本講主要考查實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)及計(jì)算，尤其是實(shí)數(shù)的大小比較、實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、實(shí)數(shù)中的新定義運(yùn)算及規(guī)律探究等，是中考熱點(diǎn)，無理數(shù)的估算是近幾年中考的熱點(diǎn)題目題型以填空題、選擇題為主中考試題 (一)實(shí)數(shù)的大小比較(二)無理數(shù)的估算(三)無理數(shù)的識別(四)實(shí)數(shù)的運(yùn)算(五)實(shí)數(shù)中的新定義題(六)實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究問題(探究性考點(diǎn))