2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定問題導(dǎo)學(xué)一、直線與平面垂直的證明活動(dòng)與探究1如圖所示，RtABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC遷移與應(yīng)用1一直線和三角形兩邊所在直線都垂直，則該直線和三角形所在平面的位置關(guān)系是_2在三棱錐VABC中，VAVC，BABC，O是AC的中點(diǎn)，則AC與平面VOB的關(guān)系是_利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直，就是在平面內(nèi)找(或作)兩條相交直線，再證明已知直線與這兩條相交直線都垂直二、直線與平面垂直定義的應(yīng)用活動(dòng)與探究2如下圖，已知APO所在平面，AB為O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AEPC于點(diǎn)E，求證：AE平面PBC遷移與應(yīng)用1如圖，P為ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，則PA與BC的關(guān)系是_2如下圖，CD，EA，垂足為A，EB，垂足為B求證：CDAB在立體幾何中，為證兩直線垂直，常需證明一條直線與另一條直線所在的平面垂直這體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，也是證明兩直線垂直的重要方法三、直線與平面所成的角活動(dòng)與探究3如圖所示，RtBMC中，斜邊BM=5，它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，MBC60，求MC與平面CAB所成角的正弦值遷移與應(yīng)用如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值求斜線與平面所成角的步驟：尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連接垂足和斜足得出射影，確定出所求角；把該角放入三角形中計(jì)算當(dāng)堂檢測(cè)1下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()如果直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l；如果直線l與平面內(nèi)的一條直線垂直，則l；如果直線l不垂直于，則內(nèi)沒有與l垂直的直線；如果直線l不垂直于，則內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直A0 B1 C2 D32在正方體ABCDA1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C B平面A1DB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB3直線a平面，b，則a與b的關(guān)系為()Aab，且a與b相交 Bab，且a與b不相交Cab Da與b不一定垂直4如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_5如圖，在ABC中，C90，若PA平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_提示：用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1任意一條垂直l垂線垂面垂足預(yù)習(xí)交流1(1)提示：不一定若平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線是平行的，則直線l與平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直線l在平面內(nèi)(2)提示：la2(1)兩條相交直線(3)a，b，abP，la，lb預(yù)習(xí)交流2(1)提示：定理中“相交”二字不可去掉，否則直線與平面不一定垂直(2)提示：設(shè)法在平面內(nèi)找(或作)兩條相交直線與已知直線垂直3(1)斜線斜足(2)垂足O和斜足A(3)射影銳角(4)直角0090課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：由于D是AC中點(diǎn)，SASC，則SD是SAC的高，可證SDBSDA由ABBC，則RtABC是等腰直角三角形，則BDAC，利用線面垂直的判定定理即可得證證明：(1)SASC，D為AC的中點(diǎn)，SDAC在RtABC中，ADDCBD，又SASB，ADSBDSSDBD又ACBDD，SD平面ABC(2)BABC，D為AC的中點(diǎn)，BDAC又由(1)知SDBD，于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線BD平面SAC遷移與應(yīng)用1垂直2AC平面VOB活動(dòng)與探究2思路分析：要證AE平面PBC，AEPC，只需證AEBC；要證AEBC，只需證BC平面PAC證明：PAO所在平面，而BC在O所在平面內(nèi)，PABC又AB為O直徑，ACBC又PAACA，BC平面PACAE平面PAC，BCAE又AEPC，BCPCC，AE平面PBC遷移與應(yīng)用1垂直2證明：EA，CD，根據(jù)直線和平面垂直的定義，則有CDEA同樣，EB，CD，則有EBCD又EAEBE，CD平面AEB又AB平面AEB，CDAB活動(dòng)與探究3解：由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)的射影，MA平面ABCMC在平面CAB內(nèi)的射影為ACMCA即為直線MC與平面CAB所成的角又在RtMBC中，BM5，MBC60，MCBMsinMBC5sin 605在RtMAB中，MA3在RtMAC中，sinMCA即MC與平面CAB所成角的正弦值為遷移與應(yīng)用解：取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EMAD又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EMAD2，BE3，于是在RtBEM中，sinEBM，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為【當(dāng)堂檢測(cè)】1B2B3C4544