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2019-2020年高中數(shù)學 第1章 統(tǒng)計案例章末復習提升1 蘇教版選修1-2 1．獨立性檢驗 利用χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)來確定在多大程度上認為“兩個變量有相關(guān)關(guān)系”．應記熟χ2的幾個臨界值的概率． 2．回歸分析 (1)分析兩個變量相關(guān)關(guān)系常用：散點圖或相關(guān)系數(shù)r進行判斷．在確認具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求線性回歸方程，進行預測． (2)對某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過變量轉(zhuǎn)化，把非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，再進行研究． 題型一　獨立性檢驗思想的應用 獨立性檢驗的基本思想是統(tǒng)計中的假設(shè)檢驗思想，類似于數(shù)學中的反證法，要確認兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機變量χ2應該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理． 例1　為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2) 表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 頻數(shù) 30 40 20 10 表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 頻數(shù) 10 25 20 30 15 完成下面22列聯(lián)表，能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． 表3： 皰疹面積 小于70mm2 皰疹面積不 小于70mm2 合計 注射藥物A a＝ b＝ 注射藥物B c＝ d＝ 合計 n＝ 解　列出22列聯(lián)表 皰疹面積 小于70mm2 皰疹面積不 小于70mm2 總計 注射藥物A a＝70 b＝30 100 注射藥物B c＝35 d＝65 100 合計 105 95 n＝200 χ2＝≈24.56， 由于χ2>10.828，所以在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． 跟蹤演練1　某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造與生產(chǎn)合格品的關(guān)系，隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析．其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件，不合格品有49件；設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件，不合格品有30件，根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，你能得出什么結(jié)論？ 解　根據(jù)已知條件列出22列聯(lián)表： 合格品 不合格品 合計 設(shè)備改造后 65 30 95 設(shè)備改造前 36 49 85 合計 101 79 180 提出假設(shè)H0：設(shè)備改造與生產(chǎn)合格品無關(guān)． 由公式得χ2＝≈12.379. ∵χ2>10.828，∴我們有99.9%的把握認為設(shè)備改造與生產(chǎn)合格品有關(guān)系． 題型二　線性回歸分析 進行線性回歸分析的前提是兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，否則求出的線性回歸方程就沒有實際意義，所以必須先判斷兩個變量是否線性相關(guān)．分析判斷兩個變量是否線性相關(guān)的常用方法是利用散點圖進行判斷，若各數(shù)據(jù)點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系．此方法直觀、形象，但缺乏精確性． 例2　在一段時間內(nèi)，分5次測得某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為 1 2 3 4 5 價格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 5 3 已知xiyi＝62，x＝16.6. (1)畫出散點圖； (2)求出y對x的線性回歸方程； (3)如果價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？(精確到0.01t)． 解　(1)散點圖如下圖所示： (2)因為＝9＝1.8，＝37＝7.4， xiyi＝62，x＝16.6， 所以＝＝＝－11.5， ＝－＝7.4＋11.51.8＝28.1， 故y對x的線性回歸方程為＝28.1－11.5x. (3)＝28.1－11.51.9＝6.25(t)． 故價格定為1.9萬元，預測需求量大約為6.25t. 跟蹤演練2　某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了4次試驗，得到數(shù)據(jù)如下： 零件的個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)試預測加工10個零件需要的時間． 解　(1)散點圖如圖所示： (2)＝＝3.5，＝＝3.5， iyi＝22.5＋33＋44＋54.5＝52.5， ＝4＋9＋16＋25＝54， ∴＝＝0.7， ＝3.5－0.73.5＝1.05， ∴所求線性回歸方程為＝0.7x＋1.05. (3)當x＝10時，＝0.710＋1.05＝8.05， ∴預測加工10個零件需要8.05小時． 題型三　非線性回歸分析 非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式．這時我們可以畫出已經(jīng)數(shù)據(jù)的散點圖，把它與已經(jīng)學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決． 例3　下表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料，今以x表示轎車的使用年數(shù)，y是表示相應的年均價格，求y關(guān)于x的回歸方程. 使用 年數(shù)x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年均價格 y(美元) 2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 解　數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖1， 圖1 可以發(fā)現(xiàn)，各點并不是基本處于一條直線附近，因此，y與x之間是非線性回歸關(guān)系．與已學函數(shù)圖象比較，用＝ex＋來刻畫題中模型更為合理，令＝ln，則＝x＋，題中數(shù)據(jù)變成如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 7.883 7.572 7.309 6.991 6.640 6.288 6.182 5.670 5.421 5.318 相應的散點圖如圖2，從圖2可以看出，變換的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸方程擬合． 圖2 由表中數(shù)據(jù)可得r≈－0.996.即|r|>r0.05＝0.632，所以有95%的把握認為x與z之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)得≈－0.298，≈8.165， 所以＝－0.298x＋8.165，最后代回＝ln，即＝e－0.298x＋8.165為所求． 跟蹤演練3　下表所示是一組試驗數(shù)據(jù)： x 0.5 0.25 0.125 0.1 y 64 138 205 285 360 (1)作出x與y的散點圖，并判斷是否線性相關(guān)； (2)若變量y與成線性相關(guān)關(guān)系，求出y對x的回歸方程，并觀測x＝10時y的值． 解　(1)散點圖如圖： 由散點圖可知y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系，且樣本點分布在反比例函數(shù)y＝＋a的周圍． (2)令x′＝，y′＝y(tǒng)由已知數(shù)據(jù)制成下表 序號 x′i y′i x′ y′ x′iy′i 1 2 64 4 4096 128 2 4 138 16 19044 552 3 6 205 36 42025 1230 4 8 285 64 81225 2280 5 10 360 100 129600 3600 ∑ 30 1052 220 275990 7790 ′＝6，′＝210.4， 故′－5()2＝40，′－5()2＝54649.2， r＝≈0.9997，由于|r|>r0.05＝0.878，說明y′與x′具有很強的線性關(guān)系，計算知＝36.95，＝210.4－36.956＝－11.3，所以y′＝－11.3＋36.95x′.所求y對x的回歸方程y＝－11.3. 當x＝10時，y＝－11.3＝－7.605. 1．獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法，而利用假設(shè)的思想方法，計算出某一個隨機變量χ2的值來判斷更精確些． 2．建立回歸模型的基本步驟：(1)確定研究對象．(2)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系．(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型．(4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù).