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2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 3 基本不等式 第1課時 基本不等式同步練習 北師大版必修5
一、選擇題
1．下列結(jié)論正確的是( )
A．當x>0且x≠1時，lgx＋≥2
B．當x>0時，＋≥2
C．當x≥2時，x＋的最小值為2
D．當0
0，b>0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋＝4，
當且僅當a＝b＝時，等號成立．
3．若x>4，則函數(shù)y＝x＋( )
A．有最大值－6 B．有最小值6
C．有最大值－2 D．有最小值2
[答案] B
[解析] ∵x>4，∴x－4>0，
∴y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.
當且僅當x－4＝，即x－4＝1，x＝5時，取等號．
4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，則( )
A．R0時，y＝x＋≥2，
當x<0時，y＝－[(－)＋(－x)]≤－2；
對于B，∵3x>0,3－x>0，∴y＝3x＋3－x≥2.
對于C、D兩項中，等號均不能成立．
6．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a, 第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
[答案] B
[解析] ∵這兩年的平均增長率為x，
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由題設(shè)a＞0，b＞0.
∴1＋x＝≤
＝1＋，∴x≤.
等號在1＋a＝1＋b即a＝b時成立．
二、填空題
7．若x<0，則y＝＋2x＋的最大值是________．
[答案]?。?
[解析] y＝－(－2x－)
≤－2＝－2
＝－4＝－3.
當且僅當－2x＝－，即x＝－時取等號．
8．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________．
[答案] 3
[解析] ∵x>0，y>0，且1＝＋≥2，
∴xy≤3，當且僅當＝，即x＝，y＝2時，等號成立．
三、解答題
9．(1)若x>0，y>0，且lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值；
(2)已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝2，求lgxlgy的最大值；
(3)已知x>1，求y＝的最小值．
[解析] (1)∵lgx＋lgy＝2，∴l(xiāng)gxy＝2，∴xy＝100，
又∵5x＋2y≥2＝2＝20，
當且僅當5x＝2y，即x＝2，y＝5時，5x＋2y取得最小值20.
(2)∵x>1，y>1，
∴l(xiāng)gx>0，lgy>0，∴l(xiāng)gxlgy≤()2，
∴l(xiāng)gxlgy≤1，
即lgxlgy的最大值為1.
當且僅當lgx＝lgy，即x＝y(tǒng)＝10時，等號成立．
(3)y＝＝＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當＝x－1，
即(x－1)2＝1時，等式成立，∵x>1，
∴當x＝2時，ymin＝4.
10．(1)求函數(shù)y＝＋x(x>3)的最小值．
(2)設(shè)x>0，求y＝2－x－的最大值．
[解析] y＝＋x＝＋(x－3)＋3，
∵x>3，∴x－3>0，
∴＋(x－3)≥2＝2，
當且僅當＝x－3，即x－3＝1，x＝4時，等號成立．
∴當x＝4時，函數(shù)y＝＋x(x>3)取最小值2＋3＝5.
(2)∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴y＝2－≤2－4＝－2.當且僅當x＝，即x＝2時等號成立，y取最大值－2.
一、選擇題
1．如果a，b滿足02a，
∴a<，
又a2＋b2≥2ab，∴最大數(shù)一定不是a和2ab，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，
∵1＝a＋b>2，∴ab<，
∴1－2ab>1－＝，即a2＋b2>.
解法二：特值檢驗法：取a＝，b＝，則2ab＝，
a2＋b2＝，∵>>>，∴a2＋b2最大．
2．設(shè)x＋3y＝2，則函數(shù)z＝3x＋27y的最小值是( )
A. B．2
C．3 D．6
[答案] D
[解析] z＝3x＋27y≥2
＝2＝6，
當且僅當x＝2y＝1，
即x＝1，y＝時，z＝3x＋27y取最小值6.
3．設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
[答案] D
[解析] ∵x＋4y≥2＝4，
∴≤＝＝10，
當且僅當x＝4y即x＝20，y＝5時取“＝”，
∴xy≤100，即(xy)max＝100，
∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)的最大值為lg100＝2.故選D.
4．對x∈R且x≠0都成立的不等式是(
A．x＋≥2 B．x＋≤－2
C.≥ D．|x＋|≥2
[答案] D
[解析] 因為x∈R，所以當x>0時，x＋≥2；
當x<0時，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2，
所以A、B都錯誤；又因為x2＋1≥2|x|，
所以≤，所以C錯誤，故選D.
二、填空題
5．周長為l的矩形對角線長的最小值為________．
[答案] l
[解析] 設(shè)矩形長為a，寬為b，則a＋b＝，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥，
∴對角線長≥＝l.
當且僅當a＝b時，取“＝”．
6．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是__________(寫出所有正確命題的編號)．
①ab≤1；?、冢?；?、踑2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；?、荩?.
[答案]?、佗邰?
[解析] ①ab≤()2＝()2＝1，成立．
②欲證＋≤，即證a＋b＋2≤2，
即2≤0，顯然不成立．
③欲證a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，
即證4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．
④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3?a2－ab＋b2≥?(a＋b)2－3ab≥?4－≥3ab?ab≤，由①知，ab≤不恒成立．
⑤欲證＋≥2，即證≥2，
即證ab≤1，由①知成立．
三、解答題
7．某商場預計全年分批購入每臺2 000元的電視機共3 600臺，每批都購入x臺(x是正整數(shù))，且每批均需運費400元，儲存購入的電視機全年所付保管費與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比．若每批購入400臺，則全年需用去運輸和保管總費用43 600元．現(xiàn)在全年只有24 000元資金可以支付這筆費用，請問：能否恰當安排每批進貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由．
[解析] 設(shè)全年需用去的運費和保管費的總費用為y元，題中比例系數(shù)為k，每批購入x臺，則共需分批，每批費用為2 000x元．
由題意得y＝400＋k2 000x.由x＝400時，有y＝43 600得k＝＝，所以y＝400＋100x≥2＝24 000(元)．
當且僅當400＝100x，即x＝120時，等號成立．
故只需每批購入120臺，可以使資金夠用．
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)當00，>0，∴x＋1＋≥2.
當且僅當x＋1＝，即x＝－1時，f(x)取最小值．
此時，f(x)min＝2－1.
(2)當0x2≥0，則
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)[1－]，
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而00，
∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f(0)＝a.
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