2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第六課時(shí) 解三角形應(yīng)用舉例教案（二） 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化，通過解斜三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；通過解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會(huì)具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)，生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用.教學(xué)重點(diǎn)：1.實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；2.解斜三角形的方法.教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定.教學(xué)過程：.復(fù)習(xí)回顧上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了解三角形問題在實(shí)際中的應(yīng)用，了解了一些把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題的方法，掌握了一定的解三角形的方法與技巧.這一節(jié)，我們給出三個(gè)例題，要求大家嘗試用上一節(jié)所學(xué)的方法加以解決.例題指導(dǎo)例1如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，試求AB的長(zhǎng).分析：如圖所示，對(duì)于AB求解，可以在ABC中或者是ABD中求解，若在ABC中，由ACB，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在ACD內(nèi)利用正弦定理求解，BC可在BCD內(nèi)由正弦定理求解.解：在ACD中，已知CDa，ACD，ADC，由正弦定理得AC在BCD中，由正弦定理得BC在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)锳CB，所以用余弦定理.就可以求得AB評(píng)述：（1）要求學(xué)生熟練掌握正、余弦定理的應(yīng)用；（2）注意體會(huì)例1求解過程在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用.例2據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300 km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30 km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響.問：S島是否受其影響?若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說明理由.分析：設(shè)B為臺(tái)風(fēng)中心，則B為AB邊上動(dòng)點(diǎn)，SB也隨之變化.S島是否受臺(tái)風(fēng)影響可轉(zhuǎn)化為SB270這一不等式是否有解的判斷，則需表示SB，可設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，則在ABS中，由余弦定理可求SB.解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，由題意，SAB903060在SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB3002（30t）2230030tcos60若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件|SB|270，即SB22702化簡(jiǎn)整理得，t210t190解之得，5t5所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過5小時(shí)S島開始受到影響，（5）小時(shí)后影響結(jié)束.持續(xù)時(shí)間：（5）（5）2小時(shí).答：S島受到臺(tái)風(fēng)影響，從現(xiàn)在起，經(jīng)過（5）小時(shí)，臺(tái)風(fēng)開始影響S島，且持續(xù)時(shí)間為2小時(shí). 評(píng)述：此題為探索性命題，可以假設(shè)命題成立去尋求解存在條件，也可假設(shè)命題不成立去尋求解存在條件.本題求解過程采用了第一種思路.SB270是否有解最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式是否有解，與一元二次不等式解法相聯(lián)系.說明：本節(jié)兩個(gè)例題要求學(xué)生在教師指導(dǎo)下自己完成，以逐步提高解三角形應(yīng)用題的能力.練習(xí)：1.海中有一小島B，周圍38海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見島在北75東，航行8海里到C，望見島B在北60東，若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無觸礁危險(xiǎn)?答案：不會(huì)觸礁.2.直線AB外有一點(diǎn)C，ABC60，AB200 km，汽車以80 kmh速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50公里的時(shí)速由B向C行駛，問運(yùn)動(dòng)開始幾小時(shí)后，兩車的距離最小.答案：約1.3小時(shí).課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，熟練掌握由實(shí)際問題向解斜三角形類型問題的轉(zhuǎn)化，逐步提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力.課后作業(yè)課本P21習(xí)題 4，5，6.解三角形應(yīng)用舉例例1某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向，以9 n mileh的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mileh的速度前去營(yíng)救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間. 例2如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（1）海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里時(shí)的速度，從B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間. 例3用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀AB和CD同時(shí)望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測(cè)得氣球的仰角是和,已知B、D間的距離為a，測(cè)角儀的高度是b，求氣球的高度.例4如圖所示，已知半圓的直徑AB2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.例5如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，試求AB的長(zhǎng).例6據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300 km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30 km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響.問：S島是否受其影響?若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說明理由.練習(xí)：1.海中有一小島B，周圍38海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見島在北75東，航行8海里到C，望見島B在北60東，若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無觸礁危險(xiǎn)?2.直線AB外有一點(diǎn)C，ABC60，AB200 km，汽車以80 kmh速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50公里的時(shí)速由B向C行駛，問運(yùn)動(dòng)開始幾小時(shí)后，兩車的距離最小.解三角形應(yīng)用舉例1在ABC中，下列各式正確的是 （ ）A. B.asinCcsinBC.asin(AB)csinAD.c2a2b22abcos(AB) 2已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、，則這個(gè)三角形的最大角是 （ ）A.135 B.120 C.60 D.90 3海上有A、B兩個(gè)小島相距10 nmile，從A島望B島和C島成60的視角，從B島望A島和C島成75角的視角，則B、C間的距離是 （ ）A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile 4如下圖，為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)A.、a、bB.、aC.a、b、D.、 5某人以時(shí)速a km向東行走，此時(shí)正刮著時(shí)速a km的南風(fēng)，那么此人感到的風(fēng)向?yàn)?，風(fēng)速為 . 6在ABC中，tanB1，tanC2，b100，則c . 7某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行30 nmile后看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是 . 8甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?00，則甲、乙兩樓的高分別是 . 9在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，由此點(diǎn)向塔沿直線行走30米，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，再向塔前進(jìn)10米，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高是 米. 10在ABC中，求證：.11欲測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得CAB45，CBA75，AB120 m，求河寬.（精確到0.01 m） 12甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行駛，若甲艦以28 nmile/h的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少時(shí)間，能盡快追上乙艦？ 解三角形應(yīng)用舉例答案1C 2B 3D 4C 5東南 a 640 710 820，91510在ABC中，求證：.提示：左邊()2()右邊.11欲測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得CAB45，CBA75，AB120 m，求河寬.（精確到0.01 m）解：由題意C180AB180457560在ABC中，由正弦定理 BC40SABCABBCsinBABhhBCsinB40602094.64河寬94.64米.12甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行駛，若甲艦以28 nmile/h的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少時(shí)間，能盡快追上乙艦？解：設(shè)th甲艦可追上乙艦，相遇點(diǎn)記為C則在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC120由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC(28t)281(20t)22920t()整理得128t260t270解得t (t舍去)故BC15（nmile），AC21( nmile) 由正弦定理sinBACBACarcsin故甲艦沿南偏東arcsin的方向用0.75 h可追上乙艦.