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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第六課時(shí) 解三角形應(yīng)用舉例教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，熟練掌握實(shí)際問(wèn)題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化，通過(guò)解斜三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；通過(guò)解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會(huì)具體問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)，生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用.教學(xué)重點(diǎn)： 1.實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化； 2.解斜三角形的方法. 教學(xué)難點(diǎn)： 實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定. 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了解三角形問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用，了解了一些把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題的方法，掌握了一定的解三角形的方法與技巧.這一節(jié)，我們給出三個(gè)例題，要求大家嘗試用上一節(jié)所學(xué)的方法加以解決. Ⅱ.例題指導(dǎo) ［例1］如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，試求AB的長(zhǎng). 分析：如圖所示，對(duì)于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD內(nèi)利用正弦定理求解，BC可在△BCD內(nèi)由正弦定理求解. 解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得 AC＝＝ 在△BCD中，由正弦定理得 BC＝＝ 在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)椤螦CB＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得AB＝ 評(píng)述：（1）要求學(xué)生熟練掌握正、余弦定理的應(yīng)用； （2）注意體會(huì)例1求解過(guò)程在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用. ［例2］據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300 km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30 km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響.問(wèn)：S島是否受其影響?若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多少小時(shí)S島開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說(shuō)明理由. 分析：設(shè)B為臺(tái)風(fēng)中心，則B為AB邊上動(dòng)點(diǎn)，SB也隨之變化.S島是否受臺(tái)風(fēng)影響可轉(zhuǎn)化為SB≤270這一不等式是否有解的判斷，則需表示SB，可設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，則在△ABS中，由余弦定理可求SB. 解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)， 由題意，∠SAB＝90－30＝60 在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SAABcosSAB ＝3002＋（30t）2－230030tcos60 若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件 |SB|≤270，即SB2≤2702 化簡(jiǎn)整理得，t2－10t＋19≤0 解之得，5－≤t≤5＋ 所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過(guò)5－小時(shí)S島開(kāi)始受到影響，（5＋）小時(shí)后影響結(jié)束. 持續(xù)時(shí)間：（5＋）－（5－）＝2小時(shí). 答：S島受到臺(tái)風(fēng)影響，從現(xiàn)在起，經(jīng)過(guò)（5－）小時(shí)，臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響S島，且持續(xù)時(shí)間為2小時(shí). 評(píng)述：此題為探索性命題，可以假設(shè)命題成立去尋求解存在條件，也可假設(shè)命題不成立去尋求解存在條件.本題求解過(guò)程采用了第一種思路.SB≤270是否有解最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式是否有解，與一元二次不等式解法相聯(lián)系. 說(shuō)明：本節(jié)兩個(gè)例題要求學(xué)生在教師指導(dǎo)下自己完成，以逐步提高解三角形應(yīng)用題的能力. 練習(xí)： 1.海中有一小島B，周圍3．8海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見(jiàn)島在北75東，航行8海里到C，望見(jiàn)島B在北60東，若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)? 答案：不會(huì)觸礁. 2.直線AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60，AB＝200 km，汽車以80 km／h速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50公里的時(shí)速由B向C行駛，問(wèn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始幾小時(shí)后，兩車的距離最小. 答案：約1.3小時(shí). Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，熟練掌握由實(shí)際問(wèn)題向解斜三角形類型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，逐步提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力. Ⅳ.課后作業(yè) 課本P21習(xí)題 4，5，6. 解三角形應(yīng)用舉例 ［例1］某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向，以9 n mile／h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile／h的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間. ［例2］如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（－1）海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／時(shí)的速度，從B處向北偏東30方向逃竄.問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間. ［例3］用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀AB和CD同時(shí)望見(jiàn)氣球E在它們的正西方向的上空，分別測(cè)得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a，測(cè)角儀的高度是b，求氣球的高度. ［例4］如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值. ［例5］如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，試求AB的長(zhǎng). ［例6］據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300 km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30 km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響.問(wèn)：S島是否受其影響?若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多少小時(shí)S島開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說(shuō)明理由. 練習(xí)： 1.海中有一小島B，周圍3．8海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見(jiàn)島在北75東，航行8海里到C，望見(jiàn)島B在北60東，若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)? 2.直線AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60，AB＝200 km，汽車以80 km／h速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50公里的時(shí)速由B向C行駛，問(wèn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始幾小時(shí)后，兩車的距離最小. 解三角形應(yīng)用舉例 1．在△ABC中，下列各式正確的是 （ ） A. ＝ B.asinC＝csinB C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B) 2．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、，則這個(gè)三角形的最大角是 （ ） A.135 B.120 C.60 D.90 3．海上有A、B兩個(gè)小島相距10 nmile，從A島望B島和C島成60的視角，從B島望A島和C島成75角的視角，則B、C間的距離是 （ ） A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile 4．如下圖，為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù) A.α、a、b B.α、β、a C.a、b、γ D.α、β、γ 5．某人以時(shí)速a km向東行走，此時(shí)正刮著時(shí)速a km的南風(fēng)， 那么此人感到的風(fēng)向?yàn)? ，風(fēng)速為 . 6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，則c＝ . 7．某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30方向，后來(lái)船沿南偏東60 的方向航行30 nmile后看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈 塔的距離是 . 8．甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?00，則甲、乙兩樓的高分別是 . 9．在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此點(diǎn)向塔沿直線行走30米，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔前進(jìn)10米，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔高是 米. 10．在△ABC中，求證：－＝－. 11．欲測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝45，∠CBA＝75，AB＝120 m，求河寬.（精確到0.01 m） 12．甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行駛，若甲艦以28 nmile/h的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少時(shí)間，能盡快追上乙艦？ 解三角形應(yīng)用舉例答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．東南 a 6．40 7．10 8．20， 9．15 10．在△ABC中，求證：－＝－. 提示：左邊＝－＝(－)－2(－)＝右邊. 11．欲測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝45，∠CBA＝75，AB＝120 m，求河寬.（精確到0.01 m） 解：由題意C＝180－A－B＝180－45－75＝60 在△ABC中，由正弦定理＝ ∴ BC＝＝＝＝40 S△ABC＝ABBCsinB＝ABh ∴h＝BCsinB＝40＝60＋20≈94.64 ∴河寬94.64米. 12．甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行駛，若甲艦以28 nmile/h的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少時(shí)間，能盡快追上乙艦？ 解：設(shè)th甲艦可追上乙艦，相遇點(diǎn)記為C 則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120 由余弦定理 AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosABC (28t)2＝81＋(20t)2－2920t(－) 整理得128t2－60t－27＝0 解得t＝ (t＝－舍去) 故BC＝15（nmile），AC＝21( nmile) 由正弦定理 ∴sinBAC＝＝ ∠BAC＝arcsin 故甲艦沿南偏東－arcsin的方向用0.75 h可追上乙艦.