2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 五 與圓有關(guān)的比例線段課堂探究 新人教A版選修4-1探究一相交弦定理的應(yīng)用相交弦定理的結(jié)論是線段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例線段，又可以建立方程來解決問題如下面的典型例題1中，利用相交弦定理列出關(guān)于r的方程【典型例題1】如圖，過O內(nèi)一點(diǎn)A作直線，交O于B，C兩點(diǎn)，且ABAC64，OA10，則O的半徑r_.解析：如圖所示，作直線OA交O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則AEr10，AFr10.由相交弦定理，得(r10)(r10)64，解得r12，r22(不合題意，舍去)故r2.答案：2點(diǎn)評 BC為O的一條弦，再找到直徑EF，利用相交弦定理即可探究二割線定理、切割線定理的應(yīng)用有切線和割線，往往就考查割線定理、切割線定理，而且有時(shí)需要通過轉(zhuǎn)化、代換，才能運(yùn)用定理解題【典型例題2】如圖，已知O的割線PAB交O于點(diǎn)A和點(diǎn)B，PA6 cm，AB8 cm，PO10.9 cm，求O的半徑思路分析：由于PO既不是O的切線，也不是割線，故需將PO延長交O于點(diǎn)D，構(gòu)成圓的一條割線，而OD又恰好是O的半徑，于是運(yùn)用割線定理解題即可解：如圖，將PO延長交O于D.根據(jù)割線定理，可得PAPBPCPD.設(shè)O的半徑為r cm，則6(68)(10.9r)(10.9r)，解得r5.9，即O的半徑為5.9 cm.反思 如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的圓的割線，那么常用到割線定理本題中，利用割線定理列出了關(guān)于半徑r的方程，進(jìn)而求出了r的值【典型例題3】如圖，AB切O于B，ACD為割線，E為的中點(diǎn)，BE交DC于F，求證：AF2ACAD.思路分析：由切割線定理可知ACADAB2，故只需證AFAB即可證明：連接BC，BD.E為的中點(diǎn)，DBECBE.又AB是O的切線，ABCCDB.ABCCBEDBECDB，即ABFAFB.ABAF.又AB是O的切線，ACD為割線，由切割線定理可知ACADAB2，AF2ACAD.點(diǎn)評 已知條件中同時(shí)出現(xiàn)過圓外同一個(gè)點(diǎn)的切線和割線，那么常用到切割線定理探究三切線長定理的應(yīng)用如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的切線，那么常用到切線長定理要注意分析其中的等量關(guān)系，即切線長相等，圓外點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合直角三角形、相似三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明【典型例題4】如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與過A，B兩點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AF與BE交于點(diǎn)P.求證：EPCEBF.思路分析：證明：EA，EF，F(xiàn)B是O的切線，EAEC，F(xiàn)CFB.EA，F(xiàn)B切O于A，B，AB是直徑，EAAB，F(xiàn)BAB.EAFB.，CPFB.EPCEBF.探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因定理結(jié)論記憶不清致誤【典型例題5】如圖，在RtABC中，ABC90，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作圓交AC于E，F(xiàn)，交AB于D.若E是的中點(diǎn)，且AEEF31，F(xiàn)C4，求CBF的正弦值及BC的長錯(cuò)解：連接OE，DF，OF.E為的中點(diǎn)，DOEDBF.OEBF，AOOBAEEF31，OEBF34.設(shè)OBr，則OA3r，BFr.ADAODOAOOB3rr2r.又由割線定理得，AFADAEAB，2.錯(cuò)因分析：不能正確運(yùn)用割線定理，因不滿足定理對應(yīng)條件而致誤正解：如圖，連接OE，DF，OF，E為的中點(diǎn)，DOEDBF，OEBF，AOOBAEEF31，OEBF34.設(shè)OBr，則AO3r，BFr，ADAODOAOOB3rr2r.又由割線定理得AEAFADAB.AEAF2r4r，即3EF4EF8r2，EFr.又由切割線定理，得BC2CFCE4(4EF)4.在RtABC中，AB2BC2AC2，即(4r)24(4EF4)22，解得r，BC.又CBFBDF，在RtDFB中，sinBDF，sinCBF.