【第12章 圓錐曲線】圓 的 一 般 方 程 圓 的 標 準 方 程定 義 . 到 定 點 的 距 離 等 于 定 長 的 點 的 軌 跡 稱 為 圓 , 并 稱 這個 定 點 為 圓 心 , 定 長 為 半 徑 .以 C(a,b)為 圓 心 , r0為 半 徑 的 圓 的 方 程 為 ：2 2 2( ) ( )x a y b r 稱 上 述 形 式 的 圓 的 方 程 為 圓 的 標 準 方 程 .特 別 地 , 以 原 點 為 圓 心 , r0為 半 徑 的 圓 的 標 準 方 程 是2 2 2x y r 圓 錐 曲 線定 義 . 形 如 : (A,C不 全為 零 )的 方 程 所 對 應(yīng) 的 曲 線 稱 為 二 次 曲 線 .2 2: 0C Ax Bxy Cy Dx Ey F 滿 足 特 定 條 件 的 二 次 曲 線 就 是 圓 錐 曲 線 .圓 錐 曲 線 分 為 ： 圓橢 圓雙 曲 線拋 物 線 如 何 說 明 圓 是 二 次 曲 線 ？ 成 為 “ 圓 ” 的 必 要 條 件 比 較 方 程 與 圓 的 標 準 方程 的 展 開 式 ：2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F 2 2 2( ) ( )x a y b r 試 分 析 系 數(shù) A, B, C, D, E, F的 取 值 , 使 方 程 表 示 的 曲 線 是 圓 .2 2 2 2 22 2 0 x y ax by a b r 1A C 0必 要 條 件 ： ？1.2. 0B 小 結(jié) ： 即 方 程 具 有 的 形 式 .2 2 0 x y Dx Ey F 標 準 方 程 的 展 開以 C(a,b)為 圓 心 , r0為 半 徑 的 圓 的 方 程 為 ：2 2 2( ) ( )x a y b r 稱 上 述 形 式 的 圓 的 方 程 為 圓 的 標 準 方 程 .將 圓 的 標 準 方 程 展 開 得 :2 2 2 2 22 2 0 x ax a y by b r 2 2 0 x y Dx Ey F 2 2 2 2 22 2 0 x y ax by a b r 圓 的 方 程 均 可 表 示 為 的 形 式 .2 2 0 x y Dx Ey F 成 為 “ 圓 ” 的 充 要 條 件 當 D, E, F滿 足 什 么 條 件 時 , 方 程 表 示 的 曲 線 是 圓 ？ 2 2 0 x y Dx Ey F 2 2 0 x y Dx Ey F 2 2 0 x Dx y Ey F 22 22 2 21 (4 4 ) 04D Ex Dx y Ey F D E 2 22 21 ( )42 2D E Fx y D E 2 2 2( ) ( )x a y b r 2 2 4 0D E F 結(jié) 論 :方 程 表 示 圓2 2 0 x y Dx Ey F 圓 的 一 般 方 程方 程 ： 若 滿 足 , 則 其 表 示 的 曲 線 是 圓 ：2 2 0 (1)x y Dx Ey F 2 2 4 0D E F 2 22 21 ( )42 2D Ex y D E F 它 以 為 圓 心 ,2 2D E 2 21 ( ) 42 D E F 為 半 徑 .稱 方 程 (1)為 圓 的 一 般 方 程 . 概 念 辨 析圓 的 一 般 方 程 具 有 以 下 特 點 ： 2 2 2 2 40 )0(D E Fx y Dx Ey F x2與 y2項 的 系 數(shù) 相 等 且 為 1. 不 含 交 叉 項 xy. 要 求 D, E, F滿 足 .2 2 4 0D E F 標 準 方 程 與 一 般 式 之 間 的 關(guān) 系 ： 標 準 方 程 一 般 方 程展 開配 方 圓 是 一 個 三 參 數(shù) 方 程 , 它 被 系 數(shù) D, E, F所 唯 一 決 定 . 課 內(nèi) 練 習1.判 斷 下 列 方 程 表 示 的 曲 線 是 否 是 圓 .2. 求 過 三 點 (2,2),(5,3),(3,1)的 圓 的 方 程 , 并 指 出 它 的 圓 心 和 半 徑 .2 2 4 8 0 x y x y 2 2 4 8 20 0 x y x y 2 2 4 8 25 0 x y x y 解 . 2 2 0 x y Dx Ey F 設(shè) 圓 的 方 程 為將 三 點 坐 標 代 入 8 2 2 034 5 3 010 3 0D E FD E FD E F 7516DEF 2 2 7 5 16 0 x y x y 2 27 5 10( ) ( )2 2 4x y 別 無 他 法 ？ 例 1. 求 過 三 點 (2,2),(5,3),(3,1)的 圓 的 方 程 , 并 指 出 它 的 圓 心 和 半 徑 .解 . 以 (2,2),(5,3)為 端 點 的 線 段 的 中 垂 線 為 5 73( )2 2y x 以 (3,1),(5,3)為 端 點 的 線 段 的 中 垂 線 為 2 ( 4)y x 解 方 程 組 3 136y xy x 7252xy 即 以 這 三 點 為 頂 點 的 外 接 圓 圓 心 是 7 5( , )2 22 2 25 7 10( 2) ( 2)2 2 4r 2 27 5 10( ) ( )2 2 4x y 即 所 求 圓 的 方 程 為 :【典型例題】 例 2.求 過 原 點 O(0,0)和 點 A(3,1), 且 在 y軸 上 截 得 弦 長 為 2的 圓 的 方 程 .解 : 由 圓 過 O(0,0), 設(shè) 其 方 程 為 .2 2 0 x y Dx Ey 令 ,0 x 得 ,2 0y Ey (0,0),(0, )E 是 圓 于 y軸 的 交 點 ,2,E 即 圓 的 方 程 為 ,2 2 2 0 x y Dx y 過 點 (3,1) , 2 23 1 3 2 0D 4D 或 者 83D 即 所 求 圓 的 方 程 為 : 2 2 4 2 0 x y x y 或 者 2 2 8 2 03x y x y 【典型例題】 解 :【典型例題】例 3.已 知 方 程 表 示 一 個 圓 2 2 2 42( 3) 2(1 4 ) 16 9 0 x y t x t y t (1) 求 t的 取 值 范 圍 ；(1) 由 于 方 程 表 示 一 個 圓 ， 則化 簡 ， 得 ： 2 2 2 44( 3) 4(1 4 ) 4(16 9) 0t t t 27 6 1 0t t 1 17 t 解 :【典型例題】例 3.已 知 方 程 表 示 一 個 圓 2 2 2 42( 3) 2(1 4 ) 16 9 0 x y t x t y t (2) 求 該 圓 半 徑 r的 取 值 范 圍 ；(2) 半 徑 21 7 6 12r t t 21 3 167( )2 7 7t 1 4 2 72 77 故 半 徑 r取 值 范 圍 為 2 70, 7 小 結(jié)方 程 ： 若 滿 足 , 則 其 表 示 的 曲 線 是 圓 ：2 2 0 (1)x y Dx Ey F 2 2 4 0D E F 2 22 21 ( )42 2D Ex y D E F 它 以 為 圓 心 ,2 2D E 2 21 ( ) 42 D E F 為 半 徑 .稱 方 程 (1)為 圓 的 一 般 方 程 .