tFtkytym cos tFtkytym cos tytyty 21 0 qypyy )( xfqypyy tFtkytym cos 0 tkytym )( xfqypyy tBtAty nn cossin1 ir 2,1 xCxCey x sincos 21 0 qypyy 0 tkytym 02 kmr nmkmkir 02,1 02 qprr tFtkytym cos tkFty cos1 1 22 0,1 1 )2( 2)1( RkFR i 0,0)(,/)(,0,/,0 bxPmFxPmkqp nl )( xfqypyy sin)(cos)( )2()1( xxRxxRexy bbx xxPxxPexf nlx sin)(cos)()( )(),( )2()1( xRxR bb imkir /2,1 0tRtRty sincos)( )2()1(2 n tkFtBtA tytyty nn cos1 1cossin 221 nyA 0 21 10 kFyB， tkFtkFtytyty nnnn cos1 1cos1 1cos)0(sin)0( 22 按 響 應(yīng) 的 來 源 分 為 ：初 始 狀 態(tài) 為 零 時(shí) ， 系 統(tǒng) 輸 入 引 起 的 響 應(yīng) ； 在 控 制 工 程 中 ， 如 無 特 殊 說 明 ， 所 講 的 響 應(yīng) 往 往 是 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 系 統(tǒng) 輸 入 為 零 時(shí) ， 初 始 狀 態(tài) 引 起 的 響 應(yīng) 。按 振 動(dòng) 頻 率 與 作 用 頻 率 的 關(guān) 系 分 為 ：振 動(dòng) 頻 率 與 作 用 頻 率 無 關(guān) ；振 動(dòng) 頻 率 與 作 用 頻 率 相 同 。 txtyatyatyatya nnnn 01111 txbtxbtxbtxb tyatyatyatya mmmm nnnn 01111 01111 tjteeeee iittjttjts iiiiii sincos ni tsini tsi ii eAeA 1 21 1 ni tsini tsi ii eAeA 1 21 1 等 效 判 據(jù) ： 1.上 升 時(shí) 間 tr 響 應(yīng) 從 其 穩(wěn) 態(tài) 值的 10 上 升 到 90所 需 的 時(shí) 間 。 快 速 性在 典 型 輸 入 信 號(hào) 作 用 下 ， 控 制 系 統(tǒng) 的 時(shí) 間 響 應(yīng) 分 為 動(dòng) 態(tài) 過 程 和 穩(wěn) 態(tài) 過程 兩 個(gè) 部 分 。 因 此 ， 控 制 系 統(tǒng) 在 典 型 輸 入 信 號(hào) 作 用 下 的 性 能 指 標(biāo) 由 動(dòng) 態(tài)性 能 指 標(biāo) 和 穩(wěn) 態(tài) 性 能 指 標(biāo) 兩 部 分 組 成 。通 常 采 用 單 位 階 躍 函 數(shù) 輸 入 下 的 系 統(tǒng) 響 應(yīng) 來 衡 量 系 統(tǒng) 的 控 制 性 能 ： 4.超 調(diào) 量 Mp相 對 穩(wěn) 定 性 ( ) ( ) 100%( )Pp c t cM c 3.調(diào) 節(jié) 時(shí) 間 ts 響 應(yīng) 到 達(dá) 并 不 再超 出 穩(wěn) 態(tài) 值 的 5 (或 2 )誤 差帶 所 需 的 時(shí) 間 ?？?速 性2.峰 值 時(shí) 間 tp 響 應(yīng) 超 過 穩(wěn) 態(tài) 值而 到 達(dá) 第 一 個(gè) 峰 值所 需 的 時(shí) 間 。快 速 性 5.穩(wěn) 態(tài) 誤 差 ess 對 于 單 位 反 饋 系 統(tǒng) ，當(dāng) 時(shí) 間 t趨 于 無 窮 大 時(shí) ，系 統(tǒng) 相 應(yīng) 的 實(shí) 際 值 （ 穩(wěn) 態(tài)值 ） 與 期 望 值 （ 輸 入 量 之差 。 準(zhǔn) 確 性 sxtxdttdxT ioo 11 TssX sXsG io 11 TssXsGsX io Tto eTTsLtx /1 111 瞬 態(tài) 項(xiàng) sTssXsGsX io 111 Tto esTsLtx 11111 瞬 態(tài) 項(xiàng)穩(wěn) 態(tài) 項(xiàng) 2n2 2n2 sssX sXsG nio 02 2n2 ss n 1- 22,1 nns特 征 方 程 ： n 1- 22,1 nns 1- 22,1 nns 222 2n12n2 2n1 12 nnno sLssLtx tesLtx dtnnn nno n sin1111 2222 221 2d 1 nno tx )( tLtx nnnno sins 22 21 no tx )( tnno ntesLtx 222n1no tx )( ttn nnno nn ee ssLtx 112 2212 221-2 11111-2 no tx )( 二 階 系 統(tǒng) 單 位 脈 沖 響 應(yīng) dndn nno jsjs ssssssX 2112 2n2 2n 22 2 222221 1arctansin111 sin1cos1 121 te tte ss ssLtx dt ddt dn ddn no nn ts ssLsssLtx nno cos1112 2n212n2 2n1 tn nnnno net sssLsssLtx 11 1112 212n2 2n1 tt nnnno nnee sssLsssLtx 122 122 212n2 2n1 22112 1 112 11 1112 一 定 時(shí) ， 增 大 ，t 減 小 ； 當(dāng) 一 定 時(shí) ， 增大 ， 增 大 ； drrd rdtro tt tetx rn 22 22 1arctan01arctansin 11arctansin111 一 定 時(shí) ， 增 大 ，t 減 小 ； 當(dāng) 一 定 時(shí) ， 增大 ， 增 大 ； 01arctansin111 22 pnp ttdttto tedttdx dpt 取 的 值 滿 足 如 下 不 等 式 時(shí)所 需 時(shí) 間 。 一 定 時(shí) ， 增 大 ，t 減 小 ； 當(dāng) 一 定 時(shí) ， 增 大 ，增 大 ； 22 1arctansin11 textx dtoso n 22 11ln111 nst te sn ooso xxtx %2 nsnns tt 411ln41102.0 1ln1 7.0022 %5 nsnns tt 311ln31105.0 1ln1 7.0022 ； 穿 越 其 穩(wěn) 態(tài) 值 的 次數(shù) 的 一 半 。 227.00 15.1%5 12%22 NNtN ds %100 o opop x xtxM 221 22 1arctansin111 1arctansin111 2e tetx pdtpo pn 1ox %100 o opop x xtxM%100 %1001arctansin11221 221 eeM p 從 二 階 系 統(tǒng) 的 瞬 態(tài) 性 能 指 標(biāo) 與 其 特 征 參 數(shù) 之 間 的 關(guān) 系 中可 以 看 出 ： 系 統(tǒng) 性 能 指 標(biāo) 的 矛 盾 性 。 一 般 說 來 ， 系 統(tǒng) 的 上 升 時(shí) 間 、峰 值 時(shí) 間 等 反 映 系 統(tǒng) 響 應(yīng) 快 速 性 的 性 能 指 標(biāo) 與 最 大 超 調(diào) 量 、振 蕩 次 數(shù) 等 指 標(biāo) 是 相 互 矛 盾 的 。 為 了 使 二 階 系 統(tǒng) 具 有 滿 意 的 動(dòng) 態(tài) 特 性 ， 必 須 合 理 選 擇系 統(tǒng) 的 阻 尼 比 和 無 阻 尼 固 有 頻 率 。 一 般 的 做 法 是 先 根 據(jù) 最 大 超 調(diào) 量 、 振 蕩 次 數(shù) 等 要 求 選擇 系 統(tǒng) 的 阻 尼 比 ， 然 后 再 根 據(jù) 上 升 時(shí) 間 、 峰 值 時(shí) 間 、 調(diào) 整 時(shí)間 等 要 求 ， 確 定 系 統(tǒng) 無 阻 尼 固 有 頻 率 。 結(jié) 論 3.5 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 與 勞 斯 判 據(jù) 系 統(tǒng) 在 初 始 狀 態(tài) 作 用 下 無 輸 入 時(shí) 的 初 態(tài)輸 入 引 起 的 初 態(tài)輸 出 （ 響 應(yīng) ）收 斂 （ 回 復(fù) 平衡 位 置 ） 發(fā) 散 （ 偏 離 越來 越 大 ）系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 系 統(tǒng) 不 穩(wěn) 定 txtxatxatxatxa innnn 00011010 ni ni tsitsi tBeAeAtx ii1 1 210 0lim 1 1 21 ni ni tsitsit ii eAeA txtxatxatxatxa innnn 00011010 ni ni tsitsi tBeAeAtx ii1 1 210 tst kelim ni ni tsitsit ii eAeA1 1 21lim txtxatxatxatxa innnn 00011010 ni ni tsitsi tBeAeAtx ii1 1 210 tjkni tsini tsit eAeAeA ii 1 21 1lim txtxatxatxatxa innnn 00011010 ni ni tsitsi tBeAeAtx ii1 1 210 ktsk AeA k kni tsini tsit AeAeA ii 1 21 1lim 3.5.2 Routh判 據(jù) 00111 asasasasD nnnn 11 21 4321 4321 7531 642012321 FE DD BBBB AAAA aaaa aaaasssssss nnnn nnnnnnnn 1 7613 1 5412 1 3211 n nnnn n nnnn n nnnn a aaaaA a aaaaA a aaaaARouth表 ： 1 41713 1 31512 1 21311 A AaaAB A AaaAB A AaaAB nn nn nn 例 1： 系 統(tǒng) 的 特 征 方 程 0301119 234 sssssD 0030 001230 3011130 030301 111191 0111 3019101234 sssss第 一 列 各 元 符 號(hào) 改 變 次 數(shù) 為 2， 因 此 ：（ 1） 系 統(tǒng) 不 穩(wěn) 定 ； （ 2） 系 統(tǒng) 有 兩 個(gè) 具 有 正 實(shí) 部 的 特 征 根 。 例 2： 已 知 ， 試 確 定 K取 何 值 時(shí) ， 系 統(tǒng) 方 能 穩(wěn) 定 。6.862.0 及 2223 20 2 nnnni Ksss KssX sXsG 02 2223 nnn KssssD 0750075006.34 23 KssssD 0750075006.34 23 KssssD 07500 06.34 750075006.34 075006.34 0750010123 K K Kssss （ 1） 7500K0,亦 即 K0 06.34 750075006.34 K 6.34K（ 2）故 能 使 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 的 參 數(shù) K的 取 值 范 圍 為 ： 0K34.6 (2)勞 斯 判 據(jù) 的 特 殊 情 況第 一 ， 勞 斯 表 中 某 一 行 的 第 一 個(gè) 元 素 為 零 ， 其 它 各 元 素 不 為 零 ， 或 不 全為 零 。這 時(shí) 可 用 一 個(gè) 任 意 小 的 正 數(shù) 代 替 這 一 行 第 一 個(gè) 為 零 的 元 素 ， 然 后 繼 續(xù)勞 斯 表 的 計(jì) 算 并 進(jìn) 行 判 斷 。 這 樣 處 理 的 理 由 是 因 為 特 征 方 程 式 的 階 次 不變 時(shí) ， 根 是 系 數(shù) 的 連 續(xù) 函 數(shù) 。 用 代 替 零 ， 相 當(dāng) 于 特 征 方 程 式 的 某 些 項(xiàng)或 所 有 項(xiàng) 的 系 數(shù) 有 一 很 小 的 變 動(dòng) 。 只 要 變 動(dòng) 足 夠 小 ， 且 原 特 征 方 程 式 沒有 純 虛 根 （ 若 有 純 虛 根 必 然 出 現(xiàn) 下 文 中 第 二 種 特 殊 情 況 ） ， 則 根 的 變 動(dòng)也 是 微 小 的 ， 因 此 根 在 s平 面 上 虛 軸 左 、 右 的 分 布 情 況 不 會(huì) 改 變 。 4 3 23 +4 12 16 0D s s s s s ,試 用 勞 斯 判 據(jù) 判 斷 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 性例 題 s4 1 4 16s3 3 12s2 16s2 16s 1s0 163 4 1 12 03 12 3 16 12 當(dāng) 很 小 時(shí) ， s1行 的 12-（ 48/） 0，這 就 可 以 判 斷 勞 斯 表 第 一 列 元 素 符 號(hào)改 變 兩 次 ， 系 統(tǒng) 不 穩(wěn) 定 ， 并 有 兩 個(gè) 正實(shí) 部 根 。 第 二 ， 勞 斯 表 中 第 k行 元 素 全 為 零 這 說 明 系 統(tǒng) 的 特 征 根 中 存 在 關(guān) 于 原 點(diǎn) 對 稱 的 根 （ 或 是 兩 個(gè) 符 號(hào) 相異 ， 絕 對 值 相 同 的 實(shí) 根 ； 或 是 一 對 共 軛 純 虛 根 ； 或 上 述 兩 種 類 型 的根 兼 而 有 之 ； 或 是 實(shí) 部 符 號(hào) 相 異 ， 虛 部 數(shù) 值 相 同 的 兩 對 共 軛 復(fù) 根 ）。 此 時(shí) ， 系 統(tǒng) 必 然 是 不 穩(wěn) 定 的 。 在 這 種 情 況 下 ， 可 作 如 下 處 理 ： （ 1） 用 k-1行 元 素 構(gòu) 成 輔 助 方 程 。 輔 助 方 程 的 最 高 階 次 為 n-k+2，然 后 s的 次 數(shù) 遞 降 2。 （ 2） 將 輔 助 方 程 對 s求 導(dǎo) ， 其 系 數(shù) 作 為 全 零 行 的 元 素 ， 繼 續(xù) 完 成勞 斯 表 。 （ 3） 解 輔 助 方 程 ， 得 到 所 有 數(shù) 值 相 同 、 符 號(hào) 相 異 的 特 征 根 。 5 4 3 23 3 +9 4 12 0s s s s s ,試 用 勞 斯 判 據(jù) 判 斷 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 性例 題s5 1 3 -4s4 3 9 -12s3 0 0 0 4 23 +9 12 0s s 輔 助 方 程 312 +18 0s s 求 導(dǎo) s5 1 3 -4s4 3 9 -12s3 12 18s2s1s0 -1212 9 3 18 912 2 12 12 3 0 1212 918 12 122 509 / 2 符 號(hào) 改 變 一 次 ，有 一 個(gè) 正 實(shí) 部 根 txtxte oor sXsXsE oor 1 tbtxt i sHsXsX sBsXsE oii sXsX oor 0 sHsXsXsE ori sHsXsX ori sHsEsHsXsHsXsE oor 1 1sH sEsE 1 tee tss lim ssEe sss 10lim ttss lim ssEsss 0lim （ 3） 與 輸 入 有 關(guān) 的 穩(wěn) 態(tài) 偏 差 sGsH sXsssE issss 1limlim 00 ssXi 1 sGsHsss 1 1lim0 sGsHK sp 0lim pss K1 1 sGsH sXsssE issss 1limlim 00 21ssXi sGssHsss 1lim0 sGssHK sv 0lim vss K1 sGsH sXsssE issss 1limlim 00 31ssXi sGsHssss 20 1lim sGsHsK sa 20lim ass K1 vnj jmi iK sTs sTKsGsHsG 11 11 sGsHsK sa 20lim ass K1 sGssHK sv 0lim vss K1 sGsHK sp 0lim pss K1 1 sNsHsGsG sGsXsHsGsG sGsGsX io 21 221 21 11 sNsHsGsG sGsXsHsGsG sGsGsX io 21 221 21 11 誤 差 ： sNsHsGsG sGsXsHsGsG sGsGsXsH sXsXsE ii oor 21 221 211 111 sNsHsGsG sGsXsHsGsG sGsGsHsE i 21 221 211 111 sNsHsGsG sGsXsHsGsG sGsGsX io 21 221 21 11 偏 差 ： sNsHsGsG sHsGsXsHsGsG sHsXsXsE ioi 21 221 11 1