3.1.1 數(shù) 系 的 擴(kuò) 充與 復(fù) 數(shù) 的 概 念 教 學(xué) 目 標(biāo) 理 解 數(shù) 系 的 擴(kuò) 充 是 與 生 活 密 切 相 關(guān) 的 ， 明白 復(fù) 數(shù) 及 其 相 關(guān) 概 念 。 教 學(xué) 重 點(diǎn) ： 復(fù) 數(shù) 及 其 相 關(guān) 概 念 ， 能 區(qū) 分 虛數(shù) 與 純 虛 數(shù) ， 明 白 各 數(shù) 系 的 關(guān) 系 。 教 學(xué) 難 點(diǎn) ： 復(fù) 數(shù) 及 其 相 關(guān) 概 念 的 理 解 引 言 ： 在 人 和 社 會 的 發(fā) 展 過程 中 ， 常 常 需 要 立 足 今 天 ， 回 顧昨 天 ， 展 望 明 天 。 符 合 客 觀 發(fā) 展規(guī) 律 的 要 發(fā) 揚(yáng) 和 完 善 ， 不 符 合 的要 否 定 和 拋 棄 。 那 么 ， 在 實(shí) 數(shù) 集向 復(fù) 數(shù) 集 發(fā) 展 的 過 程 中 ， 我 們 應(yīng)該 如 何 發(fā) 揚(yáng) 和 完 善 ， 否 定 和 拋 棄呢 ？ 自 然 數(shù)整 數(shù)有 理 數(shù)實(shí) 數(shù)？ NZQR 對 于 一 元 二 次 方 程 沒 有 實(shí) 數(shù) 根 012 x 12 x 1 2 ii （ 1） ； （ 2） i 形 如 a+bi(a,b R)的 數(shù) 叫 做 復(fù) 數(shù) . 全 體 復(fù) 數(shù) 所 形 成 的 集 合 叫 做 ，一 般 用 字 母 表 示 . 通 常 用 字 母 表 示 ， 即 biaz ),( RbRa 其 中 稱 為 虛 數(shù) 單 位 。i 00 0000 ba babb ，非 純 虛 數(shù) ，純 虛 數(shù)虛 數(shù)實(shí) 數(shù) ，非 純 虛 數(shù) ，純 虛 數(shù)虛 數(shù)實(shí) 數(shù) CR 復(fù) 數(shù) 集 ， 虛 數(shù) 集 ， 實(shí) 數(shù)集 ， 純 虛 數(shù) 集 之 間 的 關(guān)系 ？ 思 考 ？ 復(fù) 數(shù) 集虛 數(shù) 集 實(shí) 數(shù) 集純 虛 數(shù) 集 72 618.0 i725 +8， i293 31i2i i 0 immz )1(1 解 : （ 1） 當(dāng) ， 即 時 ， 復(fù) 數(shù) z 是 實(shí) 數(shù) 01m 1m（ 2） 當(dāng) ， 即 時 ， 復(fù) 數(shù) z 是 虛 數(shù) 01m 1m（ 3） 當(dāng) 01 01mm 即 時 ， 復(fù) 數(shù) z 是純 虛 數(shù) 1m練 習(xí) :當(dāng) m為 何 實(shí) 數(shù) 時 ， 復(fù) 數(shù) 是 （ 1） 實(shí) 數(shù) （ 2） 虛 數(shù) （ 3） 純 虛 數(shù) immmZ )1(2 22 0bia 則 _ _ ba我 們 知 道 若如 何 定 義 兩 個 復(fù) 數(shù) 的 相 等 ？注 意 ： 一 般 對 兩 個 復(fù) 數(shù) 只 能 說 相 等 或 不 相 等 ；不 能 比 較 大 小 。 00 , Rdcba 若 dicbia db ca iyyix )3()12( Ryx ,.yx與 i iyixyx 4222 解 題 思 考 ：復(fù) 數(shù) 相 等的 問 題 轉(zhuǎn) 化 求 方 程 組 的 解的 問 題一 種 重 要 的 數(shù) 學(xué) 思 想 ： 轉(zhuǎn) 化 思 想 1.虛 數(shù) 單 位 i的 引 入 ；2.復(fù) 數(shù) 有 關(guān) 概 念 ： ),( RbRabiaz dicbia db ca *Znni4 24ni 34ni 14ni1-1 ii B 你 能 否 找 到 用 來 表 示 復(fù) 數(shù) 的 幾 何 模 型 呢 ？xo 1實(shí) 數(shù) 可 以 用 數(shù) 軸 上 的 點(diǎn) 來 表 示 。一 一 對 應(yīng) 規(guī) 定 了正 方 向 ，直 線 數(shù) 軸原 點(diǎn) ， 單 位 長 度實(shí) 數(shù) 數(shù) 軸 上 的 點(diǎn) (形 )(數(shù) ) (幾 何 模 型 ) 復(fù) 數(shù) z=a+bi有 序 實(shí) 數(shù) 對 (a,b)直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 點(diǎn) Z(a,b)xyo baZ(a,b) 建 立 了 平 面 直 角坐 標(biāo) 系 來 表 示 復(fù) 數(shù) 的平 面 x軸 -實(shí) 軸y軸 -虛 軸（ 數(shù) ） （ 形 ）-復(fù) 數(shù) 平 面 (簡 稱 復(fù) 平 面 )一 一 對 應(yīng)z=a+bi概 念 辨 析 例 題 平 面 向 量 OZ 實(shí) 數(shù) 絕 對 值 的 幾 何 意 義 :能 否 把 絕 對 值 概 念 推 廣 到 復(fù) 數(shù) 范 圍 呢 ？XO Aa| a | = | O A | 實(shí) 數(shù) a在 數(shù) 軸 上 所對 應(yīng) 的 點(diǎn) A到 原 點(diǎn) O的 距 離 。 xOz=a+bi y| z | = |O Z|復(fù) 數(shù) 的 絕 對 值(復(fù) 數(shù) 的 模 )Z (a,b) 0)(a 0)(a aa 22 ba 復(fù) 數(shù) z=a+bi在 復(fù)平 面 上 對 應(yīng) 的 點(diǎn) Z(a,b)到 原 點(diǎn) 的 距 離 。 例 3 求 下 列 復(fù) 數(shù) 的 模 ： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)滿 足 |z|=5(z C)的 z值 有 幾 個 ？思 考 ：(2)滿 足 |z|=5(z R)的 z值 有 幾 個 ？(4)z4=1+mi(m R) (5)z5=4a-3ai(a0)(1)復(fù) 數(shù) 的 模 能 否 比 較 大 小 ？ 這 些 復(fù) 數(shù) 對 應(yīng) 的 點(diǎn) 在 復(fù) 平 面 上 構(gòu) 成 怎 樣 的 圖 形 ？ 圖 示 xyO設(shè) z=x+yi(x,y R) 滿 足|z|=5(z C)的 復(fù)數(shù) z對 應(yīng) 的 點(diǎn) 在 復(fù) 平面 上 將 構(gòu) 成 怎 樣 的圖 形 ？ 55555 22 yxz 0 3 4 5 4 3 0 5 4 3 0 3- 4- 5- yx (A)在 復(fù) 平 面 內(nèi) ， 對 應(yīng) 于 實(shí) 數(shù) 的 點(diǎn) 都 在 實(shí) 軸 上 ；(B)在 復(fù) 平 面 內(nèi) ， 對 應(yīng) 于 純 虛 數(shù) 的 點(diǎn) 都 在 虛 軸 上 ；(C)在 復(fù) 平 面 內(nèi) ， 實(shí) 軸 上 的 點(diǎn) 所 對 應(yīng) 的 復(fù) 數(shù) 都 是 實(shí) 數(shù) ；(D)在 復(fù) 平 面 內(nèi) ， 虛 軸 上 的 點(diǎn) 所 對 應(yīng) 的 復(fù) 數(shù) 都 是 純 虛 數(shù) 。辨 析 ：1 下 列 命 題 中 的 假 命 題 是 （ ）D 2 “ a=0”是 “ 復(fù) 數(shù) a+bi (a , b R)所 對應(yīng) 的 點(diǎn) 在 虛 軸 上 ” 的 （ ） 。 (A)必 要 不 充 分 條 件 (B)充 分 不 必 要 條 件 (C)充 要 條 件 (D)不 充 分 不 必 要 條 件C 例 2 已 知 復(fù) 數(shù) z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 復(fù) 平 面 內(nèi) 所 對 應(yīng) 的 點(diǎn) 位 于 第 二 象 限 ，求 實(shí) 數(shù) m允 許 的 取 值 范 圍 。 變 式 ： 證 明 對 一 切 m， 此 復(fù) 數(shù) 所 對 應(yīng) 的點(diǎn) 不 可 能 位 于 第 四 象 限 。解 題 思 考 ：表 示 復(fù) 數(shù) 的 點(diǎn) 所在 象 限 的 問 題 復(fù) 數(shù) 的 實(shí) 部 與 虛 部 所 滿足 的 不 等 式 組 的 問 題轉(zhuǎn) 化(幾 何 問 題 ) (代 數(shù) 問 題 )一 種 重 要 的 數(shù) 學(xué) 思 想 ： 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想