2019-2020年高中數(shù)學 第2章 解三角形 3 解三角形的實際應(yīng)用舉例 第1課時 距離和高度問題同步練習 北師大版必修5一、選擇題1海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B、C間的距離是()A10海里B10海里C5海里D5海里答案D解析如圖，由正弦定理得，BC5.2學校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，A30，則其跨度AB的長為()A12mB8mC3mD4m答案D解析在ABC中，已知可得BCAC4，C180302120所以由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos120424224448AB4(m)3如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A、B兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為()A(3030)mB(3015)mC(1530)mD(1515)m答案A解析(1)由正弦定理可得，PB.hPBsin45sin45(3030)(m)4甲船在湖中B島的正南A處，AB3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60方向駛?cè)?，則行駛15分鐘時，兩船的距離是()A.kmB.kmC.kmD.km答案B解析由題意知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理得MN2MB2BN22MBBNcos12019213()13，所以MNkm.5如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為() Aa(km)B.a(km)C.a(km)D2a(km)答案B解析在ABC中，ACB180(2040)120.AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a2()3a2，ABa(km)6在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30、60，則塔高為()A.米B.米C.米D.米答案A解析解法一：如圖，設(shè)AB為山高，CD為塔高，則AB200，ADM30，ACB60，BC200tan30，AMDMtan30BCtan30.CDABAM.解法二：如圖AB為山高，CD為塔高在ABC中，AC，在ACD中，CAD30，ADC120.由正弦定理.CD(米)二、填空題7一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30方向上，15 min后到點B處望見燈塔在船的北偏東75方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是_ km.(精確到0.1 km)答案4.2解析作出示意圖如圖由題意知，AB246，ASB45，由正弦定理得，可得BS34.2(km)8(xx泰安市高三期中考試)如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算A、B兩點的距離為_答案50m解析因為ACB45，CAB105，所以ABC30，根據(jù)正弦定理可知：，即，解得AB50m.三、解答題9海面上相距10海里的A、B兩船，B船在A船的北偏東45方向上，兩船同時接到指令同時駛向C島，C島在B船的南偏東75方向上，行駛了80分鐘后兩船同時到達C島，經(jīng)測算，A船行駛了10海里，求B船的速度解析如圖所示，在ABC中，AB10，AC10，ABC120由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcos120即700100BC210BC，BC20，設(shè)B船速度為v，則有v15(海里/小時)即B船的速度為15海里/小時10在上海世博會期間，小明在中國館門口A處看到正前方上空一紅燈籠，測得此時的仰角為45，前進200米到達B處，測得此時的仰角為60，小明身高1.8米，試計算紅燈籠的高度(精確到1m)解析由題意畫出示意圖(AA表示小明的身高)AB200，CAB45，CBD60，在ABC中，BC200(1)在RtCDB中，CDBCsin60100(3)，CD1.8100(3)475(米)答：紅燈籠高約475米.一、選擇題1一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A20()海里/時B20()海里/時C20()海里/時D20()海里/時答案B解析設(shè)貨輪航行30分鐘后到達N處，由題意可知NMS45，MNS105，則MSN1801054530.而MS20，在MNS中，由正弦定理得，MN10()貨輪的速度為10()20()(海里/時)2如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角CAB45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000米到達S點，又測得山頂仰角DSB75，則山高BC為()A500mB200mC1000mD1000m答案D解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin451 0001 000(m)3一船向正北航行，看見正西方向有相距10n mlie的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時()A5n mlieB5n mlieC10n mlieD10n mlie答案C解析如圖，依題意有BAC60，BAD75，CADCDA15，從而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，這艘船的速度是10(n mlie/h)4要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測量中的高度是()A100米B400米C200米D500米答案D解析由題意畫出示意圖，設(shè)高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得3h2h25002h500，解之得h500(米)二、填空題5某地電信局信號轉(zhuǎn)播塔建在一山坡上，如圖所示，施工人員欲在山坡上A、B兩點處測量與地面垂直的塔CD的高，由A、B兩地測得塔頂C的仰角分別為60和45，又知AB的長為40米，斜坡與水平面成30角，則該轉(zhuǎn)播塔的高度是_米答案解析如圖所示，由題意，得ABC453015，DAC603030.BAC150，ACB15，ACAB40米，ADC120，ACD30，在ACD中，由正弦定理，得CDAC40.6如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時，測量公路南側(cè)遠處一山頂D在東南15的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在東偏南30的方向上，仰角為15，則此山的高度CD等于_km.答案5(2)解析在ABC中，A15，C301515，所以BCAB5.又CDBCtanDBC5tan155tan(4530)5(2)三、解答題7在大海上，“藍天號”漁輪在A處進行海上作業(yè)，“白云號”貨輪在“藍天號”正南方向距“藍天號”20海里的B處現(xiàn)在“白云號”以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而“藍天號”同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西60方向行駛，經(jīng)過多少小時后，“藍天號”和“白云號”兩船相距最近解析如下圖，設(shè)經(jīng)過t小時，“藍天號”漁輪行駛到C處，“白云號”貨輪行駛到D處，此時“藍天號”和“白云號”兩船的距離為CD.則根據(jù)題意，知在ABC中，AC8t，AD2010t，CAD60.由余弦定理，知CD2AC2AD22ACADcos60(8t)2(2010t)228t(2010t)cos60244t2560t400244(t)2400244()2，當t時，CD2取得最小值，即“藍天號”和“白云號”兩船相距最近8某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛公路的走向是M站的北偏東40.開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？解析由題畫出示意圖如圖所示，設(shè)汽車前進20千米后到達B處，在ABC中，AC31，BC20，AB21.由余弦定理得cosC，則sinC，所以sinMACsin(120C)sin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理得MC35，從而MBMCBC15.即汽車還需行駛15千米才能到達M汽車站