講授通解通法，提高教學(xué)效率 摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要盡可能地向?qū)W生講授“通解通法.讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)一道題目，而是一類題目.對(duì)教學(xué)中，課堂上講的每一道題目，都要給予認(rèn)真全面地思考，才能真正做到“授業(yè)解惑，真正實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)，建設(shè)一個(gè)和諧、完美的課堂.【關(guān)鍵詞】通解通法;函數(shù);不等式;單調(diào)性等眾所周知，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該掌握并向?qū)W生講授一定的解題技巧.但如何實(shí)現(xiàn)真正的高效教學(xué)，卻值得我們一線教師更多思考.筆者認(rèn)為需要向?qū)W生傳授必要且適宜的“通解通法.現(xiàn)在的課外市場(chǎng)充滿著各類質(zhì)量參差不齊的教學(xué)參考書(shū)，提供的某些問(wèn)題的解決方法，貌似是“通解通法，實(shí)那么不然.作為一線教師，我們需要認(rèn)真思考，仔細(xì)鉆研，引導(dǎo)學(xué)生，并給出學(xué)生易于接受的，且能夠舉一反三的“通解通法.以下筆者通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)和大家一起探討.例1定義在R上的函數(shù)y=fx，滿足當(dāng)x>0時(shí)，fx>1，且對(duì)任意的x，yR，都有fx+y=fxfy，求證：對(duì)任意的xR，都有fx>0.分析此題是人教版必修一函數(shù)章節(jié)中常見(jiàn)的一類題型，以下提供兩種方法供讀者體會(huì).解法一對(duì)任意的xR，都有fx=fx2+x2=fx2fx2=f2x20.假設(shè)存在x0R，使fx0=0，那么對(duì)任意的xR，都有fx=fx-x0+x0=fx-x0fx0=0.這與條件“當(dāng)x>0時(shí)，fx>1矛盾，所以假設(shè)不成立，所以對(duì)任意的xR，都有fx=f2x2>0.解法二在fx+y=fxfy中，令y=0，有fx=fxf0.x>0時(shí)，fx>1，f0=1.設(shè)x0，f-x>1，那么f0=fx+-x=fxf-x，fx=f0f-x=1f-x>0.綜上所述，對(duì)任意的xR，都有fx>0.比擬，解法二更為通用，利用x>0時(shí)，fx>1，再求證x=0，x>0時(shí)，fx>0也滿足，也符合我們?cè)陬愃祁}目中常和學(xué)生提到的“求什么，設(shè)什么的解題思路.例2在ABC中，A，B，C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求B的取值范圍.分析此題是高三復(fù)習(xí)課比擬常見(jiàn)的一道題目，它考查了等差數(shù)列、三角函數(shù)、解不等式等核心知識(shí)點(diǎn)，是一道區(qū)分度很高的題目.一般的解法是：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以b=a+c2，所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=34a2+c22ac-14，根據(jù)根本不等式，a2+c22ac，所以cosB34-14=12，又B0，且函數(shù)y=cosx在x0，上是減函數(shù)，所以B0，3.評(píng)注上述解法很巧妙地利用了根本不等式.很多人認(rèn)為這就是解決本類題目的“通解通法，殊不知此法并不嚴(yán)謹(jǐn).原因在于此法只考慮了cosB的下限，上限沒(méi)有確定.也就是說(shuō)，根據(jù)題目的條件，cosB的上限是否一定是1呢？當(dāng)然，我們可以從cosB=34a2+c22ac-14出發(fā)，cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，如果根據(jù)條件，得出ac的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性，cosB的范圍就確定了，問(wèn)題就迎刃而解了.解析b=a+c2，不妨設(shè)abc.因?yàn)閍，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，所以a+b>c，故a+a+c2>c，整理得13cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14.令t=ac，則t13，1，所以，y=cosB=38t+1t-14，當(dāng)t13，1時(shí)，y=381-1t2=38t2-1t20，所以y=38t+1t-14在t13，1上是減函數(shù)，所以cosB12，1，所以B0，3.評(píng)注通過(guò)推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)，cosB的上限確實(shí)是1.有些人會(huì)認(rèn)為，這樣的考慮根本沒(méi)有必要.實(shí)際上，我們看了以下的變式，就知道，如此考慮是非常有必要的.變式1在銳角三角形ABC中，A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求B的取值范圍.分析本變式與上題不同的地方是多了“銳角兩個(gè)字.要保證ABC是銳角三角形，只需要ABC的三個(gè)角都是銳角，也就是三個(gè)角中最大的角是銳角即可.雖然還是考慮利用余弦定理求出cosB的范圍，但是不能單純地依賴根本不等式了.解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以b=a+c2，不妨設(shè)abc.因?yàn)閍，b，c是銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)，所以，a+b>c，1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab，所以a+a+c2>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c235，又ac，所以1ac>35，cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，令t=ac，那么t35，1，所以y=cosB=38t+1t-14，當(dāng)t35，1時(shí)，y=381-1t2=38t2-1t20，所以y=38t+1t-14在t35，1上是減函數(shù)，所以cosB12，35，所以，Barccos35，3.評(píng)注此題如果不考慮cosB的上限，直接用根本不等式，那么此題就會(huì)出錯(cuò).也就是說(shuō)，原來(lái)利用根本不等式的方法對(duì)變式1已經(jīng)不適合了.利用函數(shù)單調(diào)性的解法才是真正的“通解通法.變式2在鈍角三角形ABC中，A，B，C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求B的取值范圍.答案B0，arccos35.過(guò)程留給讀者.變式3在銳角三角形ABC中，A，B，C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，求B的取值范圍.解析因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，不妨設(shè)abc.因?yàn)閍，b，c是銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)，所以a+b>c，1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab，所以a+ac>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c25-12，又ac，所以1ac>5-12，cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12，令t=ac，那么t5-12，1，所以y=cosB=12t+1t-12，當(dāng)t35，1時(shí)，y=121-1t2=12t2-1t20，所以y=38t+1t-14在t5-12，1上是減函數(shù)，所以cosB12，5-12，所以Barccos5-12，3.例3設(shè)fx=1+ax1-axa>0且a1，當(dāng)0分析此題是2021年高考理科四川卷22題第3問(wèn).它考查了函數(shù)、不等式等根底知識(shí)，是一道區(qū)分度很高的題目.參考書(shū)或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法是：設(shè)a=11+p，那么p1，1當(dāng)n=1時(shí)，|f1-1|=2p2當(dāng)n2時(shí)，設(shè)k2kN*時(shí)，那么fk=1+pk+11+pk-1=1+21+pk-1=1+2C1kp+C2kp2+Ckkpk，所以1從而n-1所以n綜上所述，總有nk=1fk-n評(píng)注這種構(gòu)造a=11+p，然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，從而放縮的證明方法很巧妙.這種技巧性非常強(qiáng)的證法很難想到，當(dāng)然不是通解通法.其實(shí)，我們可以如此思考這道問(wèn)題，從而給出適合此題的、更為通用的解法：fk=1+ak1-ak=1+2ak1-ak，kN*0|f1-1|=2a1-a=21a-12112-1=2當(dāng)n=2時(shí)，|f1+f2-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-12112-1+21122-1=83于是，我們會(huì)猜想nk=1fk-n事實(shí)上，nk=1fk-n=nk=12ak1-ak，而ga=2ak1-ak在a0，12上是增函數(shù)，故ga0，22k-1，從而nk=1fk-n=nk=12ak1-ak=nk=12ak1-aknk=122k-1，關(guān)于nk=122k-1解析nk=122k-1=2nk=112k-1=2nk=12k+1-12k-12k+1-1=41-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=41-12n+1-1ga=2ak1-ak在a0，12上是增函數(shù)，故ga0，22k-1，從而nk=1fk-n=nk=12ak1-ak=nk=12ak1-aknk=122k-1評(píng)注如此的分析和解答，才是此題的常規(guī)解答方法，才是適合此題的“通解通法.方法方法，利用的函數(shù)單調(diào)性，從而精準(zhǔn)地確定cosB的取值范圍，進(jìn)而確定B的取值范圍，這才是本類題目的“通解通法.對(duì)例3來(lái)說(shuō)，參考書(shū)或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法具有太強(qiáng)的技巧性，而本文提供的思路和方法是學(xué)生易于接受的，也是考生能夠“想得到，做得出的.誠(chéng)然，我們也需明白，沒(méi)有適合所有題型的通解通法，因?yàn)轭}目條件千變?nèi)f化，但我們對(duì)教學(xué)中、課堂上講的每一道題目，只有給予認(rèn)真全面地思考，才能真正做到“授業(yè)解惑，才能實(shí)現(xiàn)真正的高效教學(xué).建設(shè)一個(gè)和諧，完美，高效的課堂，不正是每一名優(yōu)秀教師所期待的嘛！【參考文獻(xiàn)】【1】丁聰穎.一道函數(shù)高考題的別解、巧解與通解J.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，20212：45-47.【2】李建潮.函數(shù)問(wèn)題的通法通解J.中學(xué)生數(shù)學(xué)：高中版，20217：26.【3】孫娜.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“通解通法能力的培養(yǎng)J.高中數(shù)理化，20212：5.