狀元廊學校數(shù)學思維方法講義之十三 年級：九年級2019-2020年中考數(shù)學思維方法講義：第13講 直線和圓的位置關系 圓的知識在平面幾何中乃至整個初中教學中都占有重要的地位，而直線和圓的位置關系的應用又比較廣泛，它是初中幾何知識的綜合運用，又是在學習了點和圓的位置關系的基礎上進行的，在幾何證明與計算中，將起到重要的作用，是中考必考查點?！局R縱橫】直線和圓的位置關系： 設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d直線與圓相交d_ _ r；直線與圓相切d_ _ r；直線與圓相離d_ _r。圓的切線：1一個定義：與圓只有一個公共點的直線叫做圓的_ _；這個公共點叫做_ _；2兩種判定：若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線；3判定直線和圓的位置，一般考慮如下“三步曲”： 一“看”：看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點； 二“算”：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關系，然后根據(jù)上述關系作出判斷； 三“證明”： 證明直線是否經(jīng)過直徑的一端，并且與該直徑的位置關系是否垂直。4四條性質(zhì)：切線有許多重要性質(zhì) 圓心到切線的距離等于圓的_ _； 過切點的半徑垂直于_ _； 經(jīng)過圓心，與切線垂直的直線必經(jīng)過_ _； 經(jīng)過切點，與切線垂直的直線必經(jīng)過_ _。 5弦切角 定義 ：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角 推論 ：a)兩個弦切角所夾的弧相等，這兩個弦切角也相等；b)弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半?！镜淅觥靠键c1: 直線和圓的位置關系【例1】1、如圖，已知是以數(shù)軸的原點為圓心，半徑為1的圓，,點在數(shù)軸上運動，若過點且與平行的直線與有公共點, 設，則的取值范圍是_2、射線QN與等邊ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經(jīng)過t秒，以點P為圓心， cm為半徑的圓與ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值 （單位：秒）變式一：1、如圖，在RtABC中，C=90，A=30，AB=若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D作DEAC交AB邊于點E（1）當點D運動到線段AC中點時，DE= ；（2）點A關于點D的對稱點為點F，以FC為半徑作C，當DE= 時，C與直線AB相切2、如圖，在直角梯形ABCD中，已知ADBC，C=90，且AB>AD+ BC，AB是O直徑，則直線CD與O的位置關系為_ _考點2: 圓的切線的性質(zhì)基本運用【例2】已知直線PD垂直平分O的半徑OA于點B，PD交O于點C、D，PE是O的切線，E為切點，連結AE，交CD于點F（1）若O的半徑為8，求CD的長；（2）證明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=，求EF的長變式二：如圖，O是ABC的外接圓，F(xiàn)H是O 的切線，切點為F，F(xiàn)HBC，連結AF交BC于E，ABC的平分線BD交AF于D，連結BF（1）證明：AF平分BAC；（2）證明：BF=FD；（3）若EF4，DE3，求AD的長考點3:切線的判定定理運用【例4】如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點D，連接AD，過點D作DEAC，垂足為點E，交AB的延長線于點F（1）求證：EF是O的切線；（2）如果O的半徑為5，sinADE=，求BF的長【例5】如圖，在O中，直徑ABCD，垂足為E，點M在OC上，AM的延長線交O于點G，交過C的直線于F，1=2，連結CB與DG交于點N（1）求證：CF是O的切線；（2）求證：ACMDCN；（3）若點M是CO的中點，O的半徑為4，cosBOC=，求BN的長變式三：如圖，中，以為直徑作交邊于點，是邊的中點，連接（1）求證：直線是的切線；CEBAOFD（2）連接交于點，若，求的值【思維拓展】【例6】如圖，PA為O的切線，A為切點，直線PO交O與點E，F(xiàn)，過點A作PO的垂線AB垂足為D，交O與點B，延長BO與O交與點C，連接AC，BF（1）求證：PB與O相切；（2）試探究線段EF，OD，OP之間的數(shù)量關系，并加以證明；（3）若AC=12，tanF=，求cosACB的值【例7】已知AB是O的直徑，AB=4，點C在線段AB的延長線上運動，點D在O上運動（不與點B重合），連接CD，且CD=OA（1）當OC=時（如圖），求證：CD是O的切線；（2）當OC時，CD所在直線于O相交，設另一交點為E，連接AE當D為CE中點時，求ACE的周長；連接OD，是否存在四邊形AODE為梯形？若存在，請說明梯形個數(shù)并求此時AEED的值；若不存在，請說明理由變式四：如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以點D為圓心、DC為半徑作，點E在AB上，且與A、B兩點均不重合，點M在AD上，且ME=MD，過點E作EFME，交BC于點F，連接DE、MF（1）求證：EF是所在D的切線；（2）當MA=時，求MF的長；（3）試探究：MFE能否是等腰直角三角形？若是，請直接寫出MF的長度；若不是，請說明理由【課后測控】1、如圖1，半徑為1cm的切于點，若將在上向右滾動，則當滾動到與也相切時，圓心移動的水平距離是_cm2、如圖2，DB為半圓的直徑，A為BD延長線上一點，AC切半圓于點E，BCAC于點C，交半圓于點F已知BD=2，設AD=x，CF=y，則y關于x的函數(shù)解析式是圖1 圖2 圖3 3、如圖，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為 4、如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點E在半圓弧上。若正方形的頂點F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是_；若正方形DEFG的面積為100，且ABC的內(nèi)切圓半徑=4，則半圓的直徑AB = _5、如圖，已知直線交O于A、B兩點，AE是O的直徑，點C為O上一點，且AC平分PAE，過C作，垂足為D(1) 求證：CD為O的切線；(2) 若DC+DA=6，O的直徑為10，求AB的長度6、如圖，直線經(jīng)過O上的點，并且，O交直線于，連接（1）求證：直線是O的切線；（2）試猜想三者之間的等量關系，并加以證明；（3）若，O的半徑為3，求的長7、如圖，已知AB是O直徑，BC是O的弦，弦EDAB于點F，交BC于點G，過點C作O的切線與ED的延長線交于點P（1）求證：PC=PG；（2）點C在劣弧上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程；（3）在滿足（2）的條件下，已知O的半徑為5，若點O到BC的距離為時，求弦ED的長部分答案與提示：【例2】考點：切線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形 分析：（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分O的半徑OA于點B，O的半徑為8，可求得OB的長，又由勾股定理，可求得BD的長，然后由垂徑定理，求得CD的長；（2）由PE是O的切線，易證得PEF=90AEO，PFE=AFB=90A，繼而可證得PEF=PFE，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，可得PE=PF；（3）首先過點P作PGEF于點G，易得FPG=A，即可得FG=PFsinA=13=5，又由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案解答：解：（1）連接OD，直線PD垂直平分O的半徑OA于點B，O的半徑為8，OB=OA=4，BC=BD=CD，在RtOBD中，BD=4，CD=2BD=8；（2）PE是O的切線，PEO=90，PEF=90AEO，PFE=AFB=90A，OE=OA，A=AEO，PEF=PFE，PE=PF；（2）過點P作PGEF于點G，PGF=ABF=90，PFG=AFB，F(xiàn)PG=A，F(xiàn)G=PFsinA=13=5，PE=PF，EF=2FG=10H變式二：2.證明（1）連結OFFH是O的切線OFFH 1分FHBC ，OF垂直平分BC 2分AF平分BAC 3分（2）證明：由（1）及題設條件可知1=2，4=3，5=2 4分H1+4=2+31+4=5+3 5分FDB=FBDBF=FD 6分 （3）解： 在BFE和AFB中5=2=1，F(xiàn)=FBFEAFB 7分， 8分 9分 AD= 10分【例4】考點：切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形分析：（1）連結OD，AB為0的直徑得ADB=90，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為ABC的中位線，所以ODAC，而DEAC，則ODDE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結論；（2）由DAC=DAB，根據(jù)等角的余角相等得ADE=ABD，在RtADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在RtADE中可計算出AE=，然后由ODAE，得FDOFEA，再利用相似比可計算出BF解答：（1）證明：連結OD，如圖，AB為0的直徑，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分BC，即DB=DC，OA=OB，OD為ABC的中位線，ODAC，DEAC，ODDE，EF是0的切線；（2）解：DAC=DAB，ADE=ABD，在RtADB中，sinADE=sinABD=，而AB=10，AD=8，在RtADE中，sinADE=，AE=，ODAE，F(xiàn)DOFEA，=，即=，BF=【例5】考點：圓的綜合題；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì) 分析：（1）根據(jù)切線的判定定理得出1+BCO=90，即可得出答案；（2）利用已知得出3=2，4=D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根據(jù)已知得出OE的長，進而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長即可解答：（1）證明：BCO中，BO=CO，B=BCO，在RtBCE中，2+B=90，又1=2，1+BCO=90，即FCO=90，CF是O的切線；（2）證明：AB是O直徑，ACB=FCO=90，ACBBCO=FCOBCO，即3=1，3=2，4=D，ACMDCN；（3）解：O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，在RtCOE中，cosBOC=，OE=COcosBOC=4=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=2，BC=2，AB是O直徑，ABCD，由垂徑定理得：CD=2CE=2，ACMDCN，=，點M是CO的中點，CM=AO=4=2，CN=，BN=BCCN=2=【例6】考點：圓的綜合題；探究型；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義分析：（1）連接OA，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線；（2）由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證（3）連接BE，構建直角BEF在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設BE=x，BF=2x，進而可得EF=x；然后由面積法求得BD=x，所以根據(jù)垂徑定理求得AB的長度，在RtABC中，根據(jù)勾股定理易求BC的長；最后由余弦三角函數(shù)的定義求解解答：（1）證明：連接OA，PA與圓O相切，PAOA，即OAP=90，OPAB，D為AB中點，即OP垂直平分AB，PA=PB，在OAP和OBP中，OAPOBP（SSS），OAP=OBP=90，BPOB，則直線PB為圓O的切線；（2）答：EF2=4DOPO證明：OAP=ADO=90，AOD=POA，OADOPA，=，即OA2=ODOP，EF為圓的直徑，即EF=2OA，EF2=ODOP，即EF2=4ODOP；（3）解：連接BE，則FBE=90tanF=，=，可設BE=x，BF=2x，則由勾股定理，得EF=x，BEBF=EFBD，BD=x又ABEF，AB=2BD=x，RtABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，122+（x）2=（x）2，解得：x=4，BC=4=20，cosACB=【例7】考點：圓的綜合題；存在型；分類討論；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；等邊三角形的判定與性質(zhì)；梯形；切線的判定；解直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）關鍵是利用勾股定理的逆定理，判定OCD為直角三角形，如答圖所示；（2）如答圖所示，關鍵是判定EOC是含30度角的直角三角形，從而解直角三角形求出ACE的周長；符合題意的梯形有2個，答圖展示了其中一種情形在求AEED值的時候，巧妙地利用了相似三角形，簡單得出了結論，避免了復雜的運算解答：（1）證明：連接OD，如答圖所示由題意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，OD2+CD2=OC2由勾股定理的逆定理可知，OCD為直角三角形，則ODCD，又點D在O上，CD是O的切線（2）解：如答圖所示，連接OE，OD，則有CD=DE=OD=OE，ODE為等邊三角形，1=2=3=60；OD=CD，4=5，3=4+5，4=5=30，EOC=2+4=90，因此EOC是含30度角的直角三角形，AOE是等腰直角三角形在RtEOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30=，在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，ACE的周長為：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6+存在，這樣的梯形有2個答圖是D點位于AB上方的情形，同理在AB下方還有一個梯形，它們關于直線AB成軸對稱OA=OE，1=2，CD=OA=OD，4=5，四邊形AODE為梯形，ODAE，4=1，3=2，3=5=1，在ODE與COE中，ODECOE，則有，CEDE=OE2=22=41=5，AE=CE，AEDE=CEDE=4綜上所述，存在四邊形AODE為梯形，這樣的梯形有2個，此時AEDE=4變式四：考點：圓的綜合題；幾何綜合題；切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理分析：（1）過點D作DGEF于G，根據(jù)等邊對等角可得MDE=MED，然后根據(jù)等角的余角相等求出AED=GED，再利用“角角邊”證明ADE和GDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=GD，再根據(jù)切線的定義即可得證；（2）求出ME=MD=，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根據(jù)同角的余角相等求出1=3，然后求出AME和BEF相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式計算即可得解；（3）假設MFE能是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ME=EF，先利用“角角邊”證明AME和BEF全等，根據(jù)全等三角形對邊角相等可得AM=BE，設AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根據(jù)ME=MD，從而得到ME=AE，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可知MEF不可能是等腰直角三角形解答：（1）證明：過點D作DGEF于G，ME=MD，MDE=MED，EFME，DME+GED=90，DAB=90，MDE+AED=90，AED=GED，在ADE和GDE中，ADEGDE（AAS），AD=GD，的半徑為DC，即AD的長度，EF是所在D的切線；（2）MA=時，ME=MD=2=，在RtAME中，AE=1，BE=ABAE=21=1，EFME，1+2=18090=90，B=90，2+3=90，1=3，又DAB=B=90，AMEBEF，=，即=，解得EF=，在RtMEF中，MF=；（3）假設MFE能是等腰直角三角形，則ME=EF，在AME和BEF中，AMEBEF（AAS），MA=BE，設AM=BE=x，則MD=ADMA=2x，AE=ABBE=2x，ME=MD，ME=2x，ME=AE，ME、AE分別是RtAME的斜邊與直角邊，MEAE，假設不成立，故MFE不能是等腰直角三角形5、（1）證明：連接OC， 1分因為點C在O上，OA=OC，所以 因為，所以，有.因為AC平分PAE，所以3分所以 4分又因為點C在O上，OC為O的半徑，所以CD為O的切線. 5分（2）解:過O作，垂足為F，所以，所以四邊形OCDF為矩形，所以 7分因為DC+DA=6，設,則因為O的直徑為10，所以，所以.在中，由勾股定理知即化簡得，解得或x=9. 9分由，知，故. 10分從而AD=2， 11分因為，由垂徑定理知F為AB的中點，所以12分7、考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）連結OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OCPC，則OCG+PCG=90，由EDAB得B+BGF=90，而B=OCG，所以PCG=BGF，根據(jù)對頂角相等得BGF=PGC，于是PGC=PCG，所以PC=PG；（2）連結OG，由點G是BC的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OGBC，BG=CG，易證得RtBOGRtBGF，則BG：BF=BO：BG，即BG2=BOBF，把BG用CG代換得到CG2=BOBF；（3）解：連結OE，OG=OG=，在RtOBG中，利用勾股定理計算出BG=2，再利用BG2=BOBF可計算出BF，從而得到OF=1，在RtOEF中，根據(jù)勾股定理計算出EF=2，由于ABED，根據(jù)垂徑定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4解答：（1）證明：連結OC，如圖，PC為O的切線，OCPC，OCG+PCG=90，EDAB，B+BGF=90，OB=OC，B=OCG，PCG=BGF，而BGF=PGC，PGC=PCG，PC=PG；（2）解：CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關系為CG2=BOBF理由如下：連結OG，如圖，點G是BC的中點，OGBC，BG=CG，OGB=90，OBG=GBF，RtBOGRtBGF，BG：BF=BO：BG，BG2=BOBF，CG2=BOBF；（3）解：連結OE，如圖，由（2）得BGBC，OG=，在RtOBG中，OB=5，BG=2，由（2）得BG2=BOBF，BF=4，OF=1，在RtOEF中，EF=2，ABED，EF=DF，DE=2EF=4