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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 等差、等比綜合問題（含解析） 1、 已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解　(1)設(shè){an}的公差為d.由題意，得a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)． 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列． 從而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 2、已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由題意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13， 所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)(a7＋1) 得(a1＋5)2＝(a1＋1)(a1＋13) 解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1. (2)由(1)知an＝2n＋1，則Sn＝n(n＋2)， ＝， Tn＝ ＝ ＝－. 考點(diǎn)二：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用 1、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對(duì)任意n∈N*，函數(shù)f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x滿足f′＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)由題設(shè)可得，對(duì)任意n∈N*，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x. f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}為等差數(shù)列． 由a1＝2，a2＋a4＝8，解得數(shù)列{an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1(n－1)＝n＋1. (2)由bn＝＝2＝2n＋＋2， 知Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2＋＝n2＋3n＋1－. 2、已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足an＝＋(n≥2)． (1)求證：{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閍n＝＋，所以Sn－Sn－1＝＋， 即－＝1，所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，得＝n， 所以an＝＋＝n＋(n－1)＝2n－1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也適合，所以an＝2n－1. (2)因?yàn)椋剑剑? 所以，Tn＝＝.∴Tn＜， 要使不等式4Tn＜a2－a恒成立，只需2≤a2－a恒成立，解得a≤－1或a≥2， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 考點(diǎn)：數(shù)列綜合練習(xí)題 1．公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且－3a1，－a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S4＝(　　)． A．－20 B．0 C．7 D．40 解析　記等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，依題意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，則S4＝＝－20. 答案　A 2．若－9，a，－1成等差數(shù)列，－9，m，b，n，－1成等比數(shù)列，則ab＝(　　)． A．15 B．－15 C．15 D．10 解析　由已知得a＝＝－5，b2＝(－9)(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，∴ab＝(－5)(－3)＝15. 答案　A 3．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是(　　)． A．9 B．10 C．11 D．12 解析　因?yàn)閍1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，則滿足Sn>1 025的最小n值是11. 答案　C 4．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝(　　)． A．35 B．33 C．31 D．29 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知， a2a3＝a1a4＝2a1，即a4＝2. 由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知，a4＋2a7＝2， ∴a7＝＝.∴q3＝＝，即q＝. ∴a4＝a1q3＝a1＝2，∴a1＝16，∴S5＝＝31. 答案　C 5．設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)． A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 解析　由題意可設(shè)f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(22＋1)＋(24＋1)＋…＋(22n＋1)＝2n2＋3n. 答案　A 6．已知實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，且a1，a3，a4構(gòu)成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比等于________． 解析　設(shè)公差為d，公比為q. 則a＝a1a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)， 解得a1＝－4d，所以q＝＝＝. 答案　 7．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 解析　每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an}， 其中a1＝2，q＝2.則Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天數(shù)n＝6. 答案　6