2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題 專題04 大題好拿分（提升版，20題）蘇教版一、解答題1（13分）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線l的方程為（1）求橢圓C的方程；（2）是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記、的斜率分別為、問：是否存在常數(shù)，使得? 若存在，求的值； 若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）（2） 又將代入得， ， 12分故存在常數(shù)符合題意 13分考點(diǎn)：1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2直線與橢圓的位置關(guān)系問題2函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（2）若判斷的奇偶性；（3）是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在2,3遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）奇函數(shù)(3) （2）易知，且，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，為奇函數(shù).（3）令，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在遞增，又函數(shù)在的最大值為1，即，符合題意.即存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在遞增，并且最大值為 .點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，考查奇偶性的判斷，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí).第一問考查函數(shù)的定義域，需要對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零.第二問考查函數(shù)的奇偶性，判斷的時(shí)候先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再判斷和的關(guān)系，由此判斷的單調(diào)性.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷主要是根據(jù)同增異減. 3已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若存在，當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）（2）（3）（2）令，且定義域?yàn)樗?令，列表如下：1+0-遞增極大值遞減考點(diǎn)：1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性;2.函數(shù)思想及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用和零點(diǎn)判定定理的運(yùn)用; 3.函數(shù)思想及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用.4（xx秋揚(yáng)州期末）若數(shù)列an中不超過f（m）的項(xiàng)數(shù)恰為bm（mN*），則稱數(shù)列bm是數(shù)列an的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f（m）是數(shù)列an生成bm的控制函數(shù)（1）已知an=n2，且f（m）=m2，寫出b1、b2、b3；（2）已知an=2n，且f（m）=m，求bm的前m項(xiàng)和Sm；（3）已知an=2n，且f（m）=Am3（AN*），若數(shù)列bm中，b1，b2，b3是公差為d（d0）的等差數(shù)列，且b3=10，求d的值及A的值【答案】（1）b1=1；b2=2；b3=3（2）（3）d=3，A=64或65【解析】試題分析：（1）利用生成數(shù)列，與控制函數(shù)的意義即可得出（2）對(duì)m分類討論：可得bm進(jìn)而得出前n項(xiàng)和（3）依題意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，設(shè)b1=t，即數(shù)列an中，不超過A的項(xiàng)恰有t項(xiàng)，所以2tA2t+1，同理：2t+d8A2t+d+1，2t+2d125A2t+2d+1，可得d4，d為正整數(shù)，得出d=1，2，3，分類討論即可得出解：（1）m=1，則a1=11，b1=1；m=2，則a1=14，a2=44，b2=2；m=3，則a1=19，a2=49，a3=99，b3=3（2）m為偶數(shù)時(shí)，則2nm，則；m為奇數(shù)時(shí)，則2nm1，則；，m為偶數(shù)時(shí)，則；m為奇數(shù)時(shí)，則；b3=10，4t7，t為整數(shù)，t=4，t=5，t=6或t=7f（3）=27A，b3=10，21027A211，當(dāng)t=4時(shí)，無(wú)解當(dāng)t=5時(shí)，無(wú)解當(dāng)t=6時(shí)，當(dāng)t=7時(shí)，無(wú)解，AN*，A=64或A=65綜上：d=3，A=64或65考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用5（xx秋揚(yáng)州期末）已知函數(shù)f（x）=（ax2+x+2）ex（a0），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的極值；（2）若f（x）在2，2上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求整數(shù)t的所有值，使方程f（x）=x+4在t，t+1上有解【答案】（1），；（2）a的取值范圍是（3）t=4，0（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）=ax2+（2a+1）x+3ex0在x2，2上恒成立；又ex0即ax2+（2a+1）x+30在x2，2上恒成立；令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，a0，對(duì)稱軸當(dāng)12，即時(shí)，g（x）在2，2上單調(diào)增，g（x）的最小值g（x）=g（2）=10，0a當(dāng)210，即時(shí)，g（x）在2，1上單調(diào)減，在1，2上單調(diào)增，=（2a+1）212a0，解得：，a1+，綜上，a的取值范圍是考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的幾何意義6某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20米，要求通行車輛限高4.5米，隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少？（2）為了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面積最小. 現(xiàn)隧道口的最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，使得隧道口截面面積最??？（隧道口截面面積公式為）【答案】（1）40（2）拱高為米，拱寬為米（2）拋物線最大拱高為h米，拋物線過點(diǎn)，代入拋物線方程得：令，則，解得：，則， 即 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，在時(shí)取得最小值，此時(shí)，答：當(dāng)拱高為米，拱寬為米時(shí)，使得隧道口截面面積最小 考點(diǎn)：求拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)求最值7如圖，已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)，在上，且滿足（），為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若橢圓方程為，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若，求橢圓離心率的取值范圍【答案】（1）（2）直線的方程為：，直線的方程為： 由解得： 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 （2）設(shè) ， 即 聯(lián)立方程得：，消去得：解得：或 解得：綜上，橢圓離心率的取值范圍為考點(diǎn)：橢圓離心率8在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為，已知，為圓上一點(diǎn)，求面積的最小值【答案】 考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由；（3）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一個(gè)是左頂點(diǎn)為，所以，另一個(gè)是，所以，（2）實(shí)質(zhì)利用斜率k表示點(diǎn)，P，E，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，因此，即恒成立，從而即（3）利用斜率k表示點(diǎn)M，因此，本題思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量較大試題解析：（1）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以，又，所以又因?yàn)?，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由，得 ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系10（本小題滿分16分）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，令，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，有成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）的極小值為，無(wú)極大值（2）【解析】試題解析：（1），令，得 1分列表：x0 + 極小值 所以的極小值為，無(wú)極大值 4分（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，則在上恒成立 5分1）當(dāng)時(shí)， 可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意恒成立；（*）則，令，則時(shí)，因?yàn)椋?故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減， 2）當(dāng)時(shí)，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的恒成立；（*）則，令，則時(shí)，故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，此時(shí)（*）成立；11分當(dāng)時(shí)，）若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（*）不成立； 13分）若，則，所以當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（*）不成立；所以當(dāng)，恒成立時(shí)，； 15分綜上所述，當(dāng)，恒成立時(shí)， ，從而實(shí)數(shù)的取值集合為 16分考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性11在數(shù)列中，已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中為正整數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1) ， (2) 當(dāng)時(shí)，兩式相減得， 4分所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成公差為2的等差，偶數(shù)項(xiàng)也成公差為2的等差又，可解得 6分因?yàn)椋杂?，所以?shù)列成公比為的等比數(shù)列所以 8分考點(diǎn)：由數(shù)列和項(xiàng)求通項(xiàng)，數(shù)列綜合應(yīng)用12已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.(1)若時(shí)，求的值；(2)若時(shí)，證明直線過定點(diǎn).【答案】(1) (2)詳見解析試題解析：(1)將直線方程代入橢圓方程得： 2分解得4分所以 6分所以8分(2) 設(shè)將直線方程代入橢圓方程得： 10分考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系13如圖，過四棱柱形木塊上底面內(nèi)的一點(diǎn)和下底面的對(duì)角線將木塊鋸開，得到截面.(1)請(qǐng)?jiān)谀緣K的上表面作出過的鋸線，并說明理由；(2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形時(shí)矩形，試證明：平面平面.【答案】(1)如圖 (2)詳見解析【解析】試題分析：（1）在上底面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線分別交、于、兩點(diǎn)，即即為所作的鋸線. 在四棱柱中，易知四邊形是平行四邊形即，再由（2）證明：由于四邊形是矩形，所以，又，所以.又因?yàn)樗睦庵牡酌媸橇庑危?因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫媸?，所以平面平?考點(diǎn)：1.平面與平面平行的性質(zhì)及其判定定理；2.平面與平面垂直的判定定理；3.線面垂直的判定定理；14已知函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時(shí)，恒有f(x)kg(x)，求k的取值范圍【答案】（1）因?yàn)榍€yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0，2)，所以b=d=2；因?yàn)?，故?，故，故；所以， ；（2）令，則，由題設(shè)可得，故，令得，（1）若，則，從而當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，即在上最小值為，此時(shí)f(x)kg(x)恒成立；（2）若， ，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗詅(x)kg(x)恒成立（3）若，則，故f(x)kg(x)不恒成立；綜上所述k的取值范圍為.考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)視頻15（xx秋揚(yáng)州期末）某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20米，要求通行車輛限高4.5米，隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）為了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面積最小現(xiàn)隧道口的最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，使得隧道口截面面積最?。浚ㄋ淼揽诮孛婷娣e公式為S=lh）【答案】（1）40米；（2）當(dāng)拱高為米，拱寬為米時(shí)，使得隧道口截面面積最小（2）拋物線最大拱高為h米，h6，拋物線過點(diǎn)（10，（h），代入拋物線方程得：令y=h，則，解得：，則，h6，6，即20l40，當(dāng)時(shí)，S0；當(dāng)時(shí)，S0，即S在上單調(diào)減，在（20，40上單調(diào)增，S在時(shí)取得最小值，此時(shí)，答：當(dāng)拱高為米，拱寬為米時(shí)，使得隧道口截面面積最小考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系16設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在處的切線互相垂直，求的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮浚?）5；（2）；（3）存在， ，理由見解析（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，由題意，得的最小值為負(fù)， （注：結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到）， ， ， （以下解法供參考，請(qǐng)酌情給分）解法2： ，其中根據(jù)條件對(duì)任意正數(shù)恒成立即對(duì)任意正數(shù)恒成立 且，解得且，即時(shí)上述條件成立此時(shí)解法3： ，其中設(shè) ， 函數(shù)單調(diào)遞增， 函數(shù)單調(diào)遞減，要使得對(duì)任意正數(shù)恒成立，只能是函數(shù)， 的與軸的交點(diǎn)重合，即，所以考點(diǎn)：1導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用；2不等式恒成立問題17已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足：，.（1）求證：，都有；（2）求證：【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）由（1）可得兩邊同時(shí)取為底的對(duì)數(shù)，可得化簡(jiǎn)為所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 ，化簡(jiǎn)求得：，時(shí)， 時(shí)，時(shí)，考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列綜合應(yīng)用18已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直，求的值（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍（3）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)試題解析：（1）由題意，因?yàn)榈膱D象在處的切線與直線垂直， 所以，解得 （2）法一：由，得，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)橛深}意，可得，所以只有一個(gè)極值點(diǎn)或有三個(gè)極值點(diǎn)令，若有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象必穿過x軸且只穿過一次，即為單調(diào)遞增函數(shù)或者極值同號(hào) ）當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，在上恒成立，得12分）當(dāng)極值同號(hào)時(shí)，設(shè)為極值點(diǎn)，則，由有解，得，且，考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值19對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若同時(shí)滿足下列條件：在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)椋荒敲窗眩ǎ┙虚]函數(shù).（1）求閉函數(shù)符合條件的區(qū)間；（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；（3）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）不是閉函數(shù)，理由見解析；（3）（2）取，則，即不是上的減函數(shù)，取，即不是上的增函數(shù)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù).（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，在區(qū)間上，函數(shù)的值域?yàn)?，即，為方程的兩個(gè)實(shí)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，無(wú)解綜上所述，.考點(diǎn)：1、新定義；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、不等式的解法20（本題滿分16分）已知函數(shù)， （1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求證： （取為，取為，取為）【答案】（1）（2）（3）詳見解析，即，為研究等式右邊范圍構(gòu)造函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，有即，所以，再利用基本不等式進(jìn)行放縮： ，即，再一次構(gòu)造函數(shù)，易得其在上單調(diào)遞增，而，因此，即（3）由題意知， ，兩式相加得，兩式相減得，考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用