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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2.1 實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義教案 北師大選修1-1 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點 2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值 5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值 6.函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．⑴在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值． ⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．⑶函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值 二、講解范例： _ x _ x _ 60 _ 60 x x 例1在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？ 解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000 由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值 答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3 解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積 ．（后面同解法一，略） 由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處． 事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值 例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？ 解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，則 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2令 +4πR=0 解得，R=，從而h====2 即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例3在經(jīng)濟學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？ 變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？ 分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：收入， 利潤 令，即，求得唯一的極值點 答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大 三、課堂練習(xí)： 1.函數(shù)y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________. 2.函數(shù)f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值為_____；最小值為_______. 3.將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成______和___. 4.使內(nèi)接橢圓=1的矩形面積最大，矩形的長為_____，寬為_____. 5.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開__時，它的面積最大 答案：1. －15 2. － 3. 4.a b 5.R 四、小結(jié) ： ⑴解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義． ⑵根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較． ⑶相當多有關(guān)最值的實際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單 五、課后作業(yè)： 1.有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多少？ 解：（1）正方形邊長為x,則V=（8－2x)(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0時，l′>0. ∴h=時，l取最小值，此時b=