2019-2020年高中數(shù)學小問題集中營專題1.1易丟點無處不在的空集問題一、問題的提出在集合的學習過程中，許多同學對空集這個特殊的集合理解往往不是很深刻，尤其在一些解題過程中，由于對空集的理解不到位，經常會漏掉空集這種特殊集合，導致解題錯誤，為幫組學生走出誤區(qū)，減少失誤，特策劃此專題。二、問題的探源1.不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一個單元素集，不是空集。從而，都成立。2.若，則；若，則；若，則；若，則；若，則；若，則。3.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B” 或AB，時，一定要分A和A兩種情況進行討論，其中A的情況易被忽略，應引起足夠的重視三、問題的佐證一、不了解空集的定義而忽略空集的存在例1. ，MP|P為A的子集，NQ|Q為B的子集，那么（ ）A. B. C. D. 解：由于A、B的子集中都有，即，而相對M、N來說是作為一個元素的身份出現(xiàn)，則，應選B。二、在集合的運算過程中，不了解空集的性質而忽視空集的存在例2. 設集合，若，求實數(shù)a的范圍。當B0，4時，由韋達定理得，解得a1。綜上知，所求實數(shù)a的范圍為。三、不了解空集的實質而忽視空集的存在例3. 集合， ，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】試題分析：先由得，再根據(jù)及分類討論，最后求兩者并集得實數(shù)的取值范圍.試題解析：解：由，得.當時，有： ，解得.當時，由數(shù)軸可得，解得.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.四、問題的解決1下列關系中表述正確的是（ ）A B C D【答案】D【解析】集合中只有一個元素，即方程，而不是0，故A錯；集合中只有一個元素，即點，而非0，故B錯；空集不含任何元素，故C錯，選D.2下列表述中正確的是（ ）ABCD【答案】B【解析】由集合元素的無序性知B正確.3下列說法中，正確的是（ ）A空集沒有子集B空集是任何一個集合的真子集C空集的元素個數(shù)為零D任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集【答案】C4下列四個集合中，是空集的是（ ）A BC D【答案】D【解析】A中；B中；C中；D中5已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A BC D【答案】C6已知集合 ，若，則等于_.【答案】 【解析】由題意知，則，當時，符合題意；當時，集合，解得或，綜上，的值為，故答案為.7. 已知集合， ，若，則的取值范圍為_【答案】或【解析】由解得或，所以，因為，所以可能，分別分析，當即時，符合題意，再有根與系數(shù)的關系知， 時， 符合題意， 不符合題意，故填或8. 已知函數(shù)的定義域為集合， （）若，求（）若，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）先得到函數(shù)的定義域A，再根據(jù)集合關系求出參數(shù)值；（2）由知道B是A的子集，根據(jù)集合間的包含關系得到和兩種情況.最終需要將兩種情況并到一起.（），即，若，則，（）若，則，分情況討論：當時， ，解得： ；當時， ，解得： ；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是： 9.設全集，已知集合 ， (1)求；(2)記集合，已知集合，若BAA，求實數(shù)的取值范圍【解析】(1) ， ， 10. 已知集合 (1)當時，用列舉法表示出集合C；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2) 【解析】(1)當時， 則，所以(2)若，則當時， ,解得；當時，由,解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍是11. 已知集合，全集（）求（）已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1) ;(2) .【解析】試題解析: (1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求出集合A,進而求出;(2)對集合C是否為空集,進行分類討論,求出a的取值范圍.12. 已知集合，集合.（1）若，求的取值范圍； （2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】（1）或 .（2）,當 時，滿足要求， 此時， 得;當 時，要，則，解得，由 得， 實數(shù) 的取值范圍.