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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第八章 8.5 軌跡問(wèn)題教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.曲線(xiàn)與方程的關(guān)系 曲線(xiàn)C 方程f(x,y)=0. 2.求軌跡方程的基本方法 ①直接求；②代入(相關(guān)點(diǎn))法；③參數(shù)法；④定義法；⑤待定系數(shù)法. 二、點(diǎn)擊雙基 1.動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離與它到點(diǎn)A(4，0)的距離之比為2，則P點(diǎn)的軌跡是 …( ) A.中心在原點(diǎn)的橢圓 B.中心在(5，0)的橢圓 C.中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn) D.中心在(5，0)的雙曲線(xiàn) 答案：B 2.若動(dòng)圓與圓(x+2)2+y2=4外切，且與直線(xiàn)x=2相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是( ) A.y2+8x=0 B.y2-8x=0 C.y2-12x+12=0 D.y2+12x-12=0 解析：定義法.動(dòng)圓圓心到定圓圓心(-2,0)與到直線(xiàn)x=4的距離相等(都是動(dòng)圓的半徑)，∴p=6. ∴y2=12(x-1),即選C. 答案：C 3.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)A(3,1)、B(-1,3)，若點(diǎn)C滿(mǎn)足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-1)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 解析：直接代入法.設(shè)C(x,y), ∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3). ∴利用α+β=1,消去α、β得x+2y=5. 答案：D 4.F1、F2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F1向∠F1AF2的外角平分線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是________________________________. 解析：延長(zhǎng)F1D與F2A交于B，連結(jié)DO，可知DO=F2B=2，∴動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為x2+y2=4. 答案：x2+y2=4 5.已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是（ ） A.y2-=1（y≤-1） B.y2-=1 C.y2-=-1 D.x2-=1 解析：由題意｜AC｜=13，｜BC｜=15，|AB|=14， 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴｜AF｜-｜BF｜=｜BC｜-｜AC｜=2. 故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)下支. 又c=7,a=1,b2=48, 所以軌跡方程為y2-=1(y≤-1). 答案：A 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 求過(guò)點(diǎn)(0，2)的直線(xiàn)被橢圓x2+2y2=2所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 解：設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+2, 把它代入x2+2y2=2, 整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 要使直線(xiàn)和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則Δ＞0，即k＜-或k＞. 設(shè)直線(xiàn)與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)、B（x2，y2），中點(diǎn)坐標(biāo)為C(x,y)，則 x==-,y=-=. 從參數(shù)方程(k＜-或k＞),消去k得x2+2（y-1）2=2, 且｜x｜＜，0＜y＜． 【例2】 在△PMN中，tan∠PMN= ,tan∠MNP=-2,且△PMN的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的方程. 剖析：如下圖，以直線(xiàn)MN為x軸，線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則所求橢圓方程為+=1.顯然a2、b2是未知數(shù)，但a2、b2與已知條件沒(méi)有直接聯(lián)系，因此應(yīng)尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元，或改造已知條件. 解法一：如下圖，過(guò)P作PQ⊥MN，垂足為Q， 令|PQ|=m,于是可得 |MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m, |QN|=|PQ|cot∠PNQ=m. ∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m. 于是S△PMN=|MN||PQ|=mm=1. 因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=. |MP|= = =, |NP|= = =. 以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0). 則2a=|MP|+|NP|=, 2c=|MN|=, 故所求橢圓方程為+=1. 解法二：設(shè)M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y＞0, 則 解之，得x=,y=,c=. 設(shè)橢圓方程為b2x2+a2y2=a2b2,則 解之，得a2=,b2=3. （以下略） 講評(píng)：解法一選擇了與a較接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知條件，以便利用正弦定理和面積公式；解法二以條件為主，選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多，但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學(xué)生易于理解和接受的是這兩種解法. 鏈接拓展 若把△PMN的面積為1改為=,求橢圓方程. 提示：由tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,易得sin∠MPN=,cos∠MPN=. 由=,得||||=. 易求得|PM|=,|PN|=. 進(jìn)而求得橢圓方程為+=1. 【例3】 （xx江蘇高考）如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線(xiàn)PM、PN(M、N分別為切點(diǎn))，使得PM=2PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 剖析：此題是以O(shè)1O2所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段O1O2的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，把PM、PN的關(guān)系轉(zhuǎn)化為PO1與PO2的關(guān)系，這樣就把P、M、N三個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的問(wèn)題. 解：作直線(xiàn)O1O2，以直線(xiàn)O1O2為x軸，線(xiàn)段O1O2的垂直平分線(xiàn)為y軸，連結(jié)O1M、O2N，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y). ∵PM、PN分別為⊙O1、⊙O2的切線(xiàn)， ∴O1M⊥PM,O2N⊥PN. ∴△PO1M，△PO2N為直角三角形. ∴PO12=PM2+O1M2=PM2+1, PO22=PN2+O2N2=PN2+1. ∵PM=PN, ∴PM2=2PN2. ∴PO12=2PN2+1, ① 2PO22=2(PN2+1)=2PN2+2. ② 由②-①得2PO22-PO12=1. ∵PO22=(x-2)2+y2,PO12=(x+2)2+y2, ∴2［(x-2)2+y2］-［(x+2)2+y2］=1. ∴2x2-8x+8+2y2-x2-4x-4-y2-1=0. ∴x2-12x+y2+3=0. ∴(x-6)2+y2=33. 講評(píng)：正確建系是解好本題的首要任務(wù),用PM、PN來(lái)表示PO1、PO2是本題的核心，這樣就把三個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只關(guān)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的問(wèn)題.體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想的重要性，轉(zhuǎn)化時(shí)用到了消去變量PM、PN的方法.