2019-2020年高考數學二輪復習 專題8 選修專題 第二講 極坐標與參數方程 理1曲線的極坐標方程(1)極坐標系：一般地，在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系其中，點O稱為極點，射線Ox稱為極軸(2)極坐標(，)的含義：設M是平面上任一點，表示OM的長度，表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角那么，有序數對(，)稱為點M的極坐標顯然，每一個有序實數對(，)，決定一個點的位置其中稱為點M的極徑，稱為點M的極角極坐標系和直角坐標系的最大區(qū)別在于：在直角坐標系中，平面上的點與有序數對之間的對應關系是一一對應的，而在極坐標系中，對于給定的有序數對(，)，可以確定平面上的一點，但是平面內的一點的極坐標卻不是唯一的(3)曲線的極坐標方程：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上的任意一點的極坐標滿足方程f(，)0，并且坐標適合方程f(，)0的點都在曲線C上，那么方程f(，)0叫做曲線C的極坐標方程2直線的極坐標方程(1)過極點且與極軸成0角的直線方程是0和0，如下圖所示(2)與極軸垂直且與極軸交于點(a，0)的直線的極坐標方程是cos a，如下圖所示(3)與極軸平行且在x軸的上方，與x軸的距離為a的直線的極坐標方程為sin a，如下圖所示3圓的極坐標方程(1)以極點為圓心，半徑為r的圓的方程為r，如圖1所示(2)圓心在極軸上且過極點，半徑為r的圓的方程為2rcos_，如圖2所示(3)圓心在過極點且與極軸成的射線上，過極點且半徑為r的圓的方程為2rsin_，如圖3所示4極坐標與直角坐標的互化若極點在原點且極軸為x軸的正半軸，則平面內任意一點M的極坐標M(，)化為平面直角坐標M(x，y)的公式如下：或者，tan ，其中要結合點所在的象限確定角的值1曲線的參數方程的定義在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函數，即并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯(lián)系x，y之間關系的變數t叫做參變數，簡稱參數2常見曲線的參數方程(1)過定點P(x0，y0)，傾斜角為的直線：(t為參數)，其中參數t是以定點P(x0，y0)為起點，點M(x，y)為終點的有向線段PM的數量，又稱為點P與點M間的有向距離根據t的幾何意義，有以下結論：設A，B是直線上任意兩點，它們對應的參數分別為tA和tB，則|AB|tBtA|；線段AB的中點所對應的參數值等于.(2)中心在P(x0，y0)，半徑等于r的圓：(為參數)(3)中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的橢圓：(為參數).中心在點P(x0，y0)，焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數方程為(為參數)(4)中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的雙曲線：(為參數).(5)頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上的拋物線：(t為參數，p>0)注：sec .3參數方程化為普通方程由參數方程化為普通方程就是要消去參數，消參數時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數時要注意參數的取值范圍對x，y的限制1已知點A的極坐標為，則點A的直角坐標是(2，2)2把點P的直角坐標(，)化為極坐標，結果為3曲線的極坐標方程4sin 化為直角坐標方程為x2(y2)244以極坐標系中的點為圓心、1為半徑的圓的極坐標方程是2cos5在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數)過橢圓C：(為參數)的右頂點，則常數a的值為3解析：由直線l：得yxa.由橢圓C：得1.所以橢圓C的右頂點為(3，0)因為直線l過橢圓的右頂點，所以03a，即a3.一、選擇題1在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，)若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是(C)A. B.C. D.2若圓的方程為(為參數)，直線的方程為(t為參數)，則直線與圓的位置關系是(B)A相離 B相交C相切 D不能確定3以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程是4cos ，則直線l被圓C截得的弦長為(D)A. B2C. D2解析：由題意可得直線和圓的方程分別為xy40，x2y24x，所以圓心C(2，0)，半徑r2，圓心(2，0)到直線l的距離d，由半徑，圓心距，半弦長構成直角三角形，解得弦長為2.4已知動直線l平分圓C：(x2)2(y1)21，則直線l與圓O：(為參數)的位置關系是(A)A相交 B相切C相離 D過圓心解析：動直線l平分圓C：(x2)2(y1)21，即圓心(2，1)在直線l上，又圓O：的普通方程為x2y29且2212<9，故點(2，1)在圓O內，則直線l與圓O的位置關系是相交二、填空題5在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是(是參數)，若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標方程可寫為24sin_30解析：在平面直角坐標系xOy中，(是參數)，根據sin2cos21，可得x2(y2)21，即x2y24y30.曲線C的極坐標方程為24sin 30.6在平面直角坐標系中圓C的參數方程為(為參數)，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的圓心的極坐標為三、解答題7求極點到直線(R)的距離解析：由sin cos 1xy1，故d.8極坐標系中，A為曲線22cos 30上的動點，B為直線cos sin 70上的動點，求|AB|的最小值9(xx大連模擬)曲線C1的參數方程為(為參數)，將曲線C1上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長為原來的倍，得到曲線C2.以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：(cos 2sin )6.(1)求曲線C2和直線l的普通方程；(2)P為曲線C2上任意一點，求點P到直線l的距離的最值解析：(1)由題意可得C2的參數方程為(為參數)，即C2：1，直線l：(cos 2sin )6化為直角坐標方程為x2y60.(2)設點P(2cos ，sin )，由點到直線的距離公式得點P到直線l的距離為d.所以d2，故點P到直線l的距離的最大值為2，最小值為.10已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(為參數)，直線l經過定點P(3，5)，傾斜角為.(1)寫出直線l的參數方程和曲線C的標準方程(2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|PB|的值解析：(1)由曲線C的參數方程(為參數)，得普通方程為(x1)2(y2)216，即x2y22x4y110.直線l經過定點P(3，5)，傾斜角為，直線的參數方程為(t是參數)(2)將直線的參數方程代入x2y22x4y110，整理，得t2(23)t30，設方程的兩根分別為t1，t2，則t1t23，因為直線l與曲線C相交于A，B兩點，所以|PA|PB|t1t2|3.