2019-2020年九年級總復(fù)習(xí)（河北）習(xí)題 第7章 第3節(jié) 圖形的相似及位似 基礎(chǔ)過關(guān) 一、精心選一選 1．(xx涼山州)如果兩個相似多邊形面積的比為1∶5，則它們的相似比為( D ) A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶ 2．(xx玉林)△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是( D ) A．3 B．6 C．9 D．12 3．(xx河北)在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點如下： 甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖①的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似． 乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似． 對于兩人的觀點，下列說法正確的是( A ) A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對 4．(xx武漢)如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(6，6)，B(8，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點C的坐標為( A ) A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1) 5．(xx寧波)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為( C ) A．2∶3 B． 2∶5 C．4∶9 D.∶ 6．(xx上海)如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A ) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 7．(xx南通)如圖，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的頂點E，F(xiàn)在△ABC內(nèi)，頂點D，G分別在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，則點F到BC的距離為( D ) A．1 B．2 C．12－6 D．6－6 8．(xx瀘州)如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分線分別交AD，AC于點E，F(xiàn)，則的值是( C ) A.－1 B．2＋ C.＋1 D. 二、細心填一填 9．(xx邵陽)如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點，直線DF與AB的延長線相交于點E，BP∥DF，且與AD相交于點P，請從圖中找出一組相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP∽△AED__． ,第9題圖)　　,第10題圖) 10．(xx婁底)如圖，小明用長為3 m的竹竿CD做測量工具，測量學(xué)校旗桿AB的高度，移動竹竿，使竹竿與旗桿的距離DB＝12 m，則旗桿AB的高為__9__m. 11．(xx烏魯木齊)如圖，AB∥GH∥CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，則GH的長為____． ,第11題圖)　　,第12題圖) 12．(xx黔東南州)將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是____． 13．如圖，已知P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，若S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長是AB，寬為PB的矩形的面積，則S1__＝__S2.(填“＞”“＜”或“＝”) ,第13題圖)　　　,第14題圖) 14．(xx泰州)如圖，平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO關(guān)于A的位似圖形，且O′的坐標為(－1，0)，則點B′的坐標為__(，－4)__． 15．(xx遵義)“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E，南門點F分別是AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH＝__1.05__里． 三、用心做一做 16．(xx南寧)如圖，△ABC三個定點坐標分別為A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)． (1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1； (2)以原點O為位似中心，將△A1B1C1放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在第三象限內(nèi)畫出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值． 解：(1)圖略　(2)圖略，S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝ 17．(xx陜西)一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25 m．已知李明直立時的身高為1.75 m，求路燈的高度CD的長．(精確到0.1 m) 解：設(shè)CD長為x m，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴＝，即＝，解得x＝6.125≈6.1，∴路燈高CD約為6.1 m 18．(xx廣東)如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構(gòu)造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C. (1)設(shè)Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3, 則S1__＝__S2＋ S3；(用“>”“<”或“＝”填空) (2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明． 解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；選△BCF∽△CDE，證明：在矩形ABCD中，∠BCD＝90且點C在邊EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90，在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE 19．(xx莆田)定義：如圖①，點C在線段AB上，若滿足AC2＝BCAB，則稱點C為線段AB的黃金分割點． 如圖②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36，BD平分∠ABC交AC于點D. (1)求證：點D是線段AC的黃金分割點； (2)求出線段AD的長． 解：(1)∵∠A＝36，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36，∠BDC＝72，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即＝，∴AD2＝ACCD，∴點D是線段AC的黃金分割點 (2)∵點D是線段AC的黃金分割點，∴AD＝AC＝ 20．(xx泰安)如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90，E為AB的中點． (1)求證：AC2＝ABAD； (2)求證：CE∥AD； (3)若AD＝4，AB＝6，求的值． 解：(1)由△ABC∽△ACD得AC2＝ABAD　(2)∵E點為Rt△ABC斜邊AB的中點，∴EC＝AB＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，可得∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD　(3)由CE∥AD得△ECF∽△DAF，∴＝，EC＝AB＝3，∴＝，即＝，∴＝ 21．(xx自貢)閱讀理解： 如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A，B重合)，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”． 解決問題： (1)如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由； (2)如圖②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點； (3)如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系． 解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45，∴∠AED＋∠ADE＝135，∠AED＋∠CEB＝135，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點　(2)如圖，點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點 (3)∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折疊可知△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30，BE＝CE＝AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝tan30＝，∴＝ 挑戰(zhàn)技能 22．(xx東營)如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3，4及x，那么x的值( B ) A．只有1個 B．可以有2個 C．可以有3個 D．有無數(shù)個 23．(xx泰州)如圖，A，B，C，D依次為一條直線上4個點，BC＝2，△BCE為等邊三角形，⊙O過A，D，E三點，且∠AOD＝120.設(shè)AB＝x，CD＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為__y＝(x＞0)__． 24．(xx咸寧)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點(不與B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝.下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4.其中正確的是__①②③④__.(把你認為正確結(jié)論的序號都填上) 25．(xx玉林)如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段MN，在CD邊上取點P使CP＝BM，連接NP，BP. (1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形； (2)線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由． 解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，由SAS可證△ABM≌△BCP，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90，∴∠CBP＋∠AMB＝90，∴AM⊥BP，∵將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴BP＝MN，∴四邊形BMNP是平行四邊形　(2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90，∠AMB＋∠CMQ＝90，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90，∴△ABM∽△MCQ，∴＝，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴＝，∴＝，∴BM＝MC 26．(xx黃石)AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α角，交邊AB于點M，交射線AC于點N，設(shè)AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC(x，y≠0)． (1)如圖①，當△ABC為等邊三角形且α＝30時證明：△AMN∽△DMA； (2)如圖②，證明：＋＝2. 解：(1)在△AMD中，∠MAD＝30，∠ADM＝60，∴∠AMD＝90，在△AMN中，∠AMN＝90，∠MAN＝60，∴△AMN∽△DMA (2)作CF∥AB交MN于點F，則△CFN∽△AMN，∴＝，又可證△CFD≌△BMD，∴BM＝CF，∴＝＝，∴＝，∴x＋y＝2xy，∴＋＝2 27．(xx武漢)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ. (1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值； (2)連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 解：(1)①當△BPQ∽△BAC時，∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，∴＝，∴t＝1；②當△BPQ∽△BCA時，∵＝，∴＝，∴t＝，∴t＝1或時，△BPQ與△ABC相似　(2)過P作PM⊥BC于點M，設(shè)AQ，CP交于點N，則有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90，∠PCM＋∠NCA＝90，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90，∴△ACQ∽△CMP，∴＝，∴＝，解得t＝