2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 第8講 曲線與方程 理 新人教A版一、選擇題1已知兩定點A(1,1)，B(1，1)，動點P滿足，則點P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析 設(shè)點P(x，y)，則(1x,1y)，(1x，1y)，所以(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以點P的軌跡為橢圓答案B2已知點F，直線l：x，點B是l上的動點若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓 C圓 D拋物線解析由已知：|MF|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，故選D.答案D3設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡為橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標準方程為1.答案D4已知點P是直線2xy30上的一個動點，定點M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則Q點的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析由題意知，M為PQ中點，設(shè)Q(x，y)，則P為(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.答案D5已知二面角l的平面角為，點P在二面角內(nèi)，PA，PB，A，B為垂足，且PA4，PB5，設(shè)A，B到棱l的距離分別為x，y，當變化時，點(x，y)的軌跡方程是()Ax2y29(x0)Bx2y29(x0，y0)Cy2x29(y0)Dy2x29(x0，y0)解析 實際上就是求x，y所滿足的一個等式，設(shè)平面PAB與二面角的棱的交點是C，則ACx，BCy，在兩個直角三角形RtPAC，RtPBC中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關(guān)系式如圖，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案B6在平行四邊形ABCD中，BAD60，AD2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點，且滿足：xy0(x，yR)則當點P在以A為圓心，|為半徑的圓上時，實數(shù)x，y應(yīng)滿足關(guān)系式為()A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1解析如圖，以A為原點建立平面直角坐標系，設(shè)AD2.據(jù)題意，得AB1，ABD90，BD.B、D的坐標分別為(1,0)、(1，)，(1,0)，(1，)設(shè)點P的坐標為(m，n)，即(m，n)，則由xy0，得：xy，據(jù)題意，m2n21，x24y22xy1.答案D二、填空題7已知圓的方程為x2y24，若拋物線過點A(1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程是_解析 設(shè)拋物線焦點為F，過A、B、O作準線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|BB1|2|OO1|4，由拋物線定義得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F點的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點)答案 1(y0)8. 如圖，點F(a,0)(a>0)，點P在y軸上運動，M在x軸上運動，N為動點，且0，0，則點N的軌跡方程為_解析由題意，知PMPF且P為線段MN的中點，連接FN，延長FP至點Q使P恰為QF之中點；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點Q恒在直線l：xa上，故點N的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為：y24ax.答案y24ax9如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點M在AB上，且AMAB，點P在平面ABCD上，且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1，在平面直角坐標系xAy中，動點P的軌跡方程是_解析過P作PQAD于Q，再過Q作QHA1D1于H，連接PH、PM，可證PHA1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化簡得y2x.答案y2x10. 曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：曲線C過坐標原點；曲線C關(guān)于坐標原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號是_解析 曲線C經(jīng)過原點，這點不難驗證是錯誤的，如果經(jīng)過原點，那么a1，與條件不符；曲線C關(guān)于原點對稱，這點顯然正確，如果在某點處|PF1|PF2|a2，關(guān)于原點的對稱點處也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面積SF1F2P2，很顯然SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正確答案 三、解答題11.如圖，已知F(1,0)，直線l：x1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且 .求動點P的軌跡C的方程解 法一：設(shè)點P(x，y)，則Q(1，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1， y)(2，y)，化簡得C：y24x.法二：由，得()0，()()0，220.|.點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為y24x.12設(shè)橢圓方程為x21，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足()，點N的坐標為，當直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：(1)動點P的軌跡方程；(2)|的最大值，最小值解(1)直線l過定點M(0,1)，當其斜率存在時設(shè)為k，則l的方程為ykx1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標滿足方程組消去y得(4k2)x22kx30.則4k212(4k2)>0.x1x2，x1x2.P(x，y)是AB的中點，則由消去k得4x2y2y0.當斜率k不存在時，AB的中點是坐標原點，也滿足這個方程，故P點的軌跡方程為4x2y2y0.(2)由(1)知4x22，x而|NP|222232，當x時，|取得最大值，當x時，|取得最小值.13在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：1(a>0，b>0)經(jīng)過點A，且點F(0，1)為其一個焦點(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)隨圓E與y軸的兩個交點為A1，A2，不在y軸上的動點P在直線yb2上運動，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點M，N，證明：直線MN通過一個定點，且FMN的周長為定值解(1)根據(jù)題意可得可解得橢圓E的方程為1.(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，2)，P(x0，4)為直線y4上一點(x00)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PA1方程為yx2，直線PA2方程為yx2，點M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標滿足方程組可得點N(x2，y2)，A2(0，2)的坐標滿足方程組可得由于橢圓關(guān)于y軸對稱，當動點P在直線y4上運動時，直線MN通過的定點必在y軸上，當x01時，直線MN的方程為y1，令x0，得y1可猜測定點的坐標為(0,1)，并記這個定點為B.則直線BM的斜率kBM，直線BN的斜率kBN，kBMkBN，即M，B，N三點共線，故直線MN通過一個定點B(0，1)，又F(0，1)，B(0,1)是橢圓E的焦點，F(xiàn)MN周長為|FM|MB|BN|NF|4b8，為定值14已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)(1)求點Q(x，y)的軌跡C的方程；(2)設(shè)曲線C與直線ykxm相交于不同的兩點M、N，又點A(0，1)，當|AM|AN|時，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(x)(x)yy0.化簡得y21，Q點的軌跡C的方程為y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直線與橢圓有兩個不同的交點，>0，即m2<3k21.(i)當k0時，設(shè)弦MN的中點為P(xP，yP)，xM、xN分別為點M、N的橫坐標，則xP，從而yPkxPm，kAP，又|AM|AN|，APMN.則，即2m3k21，將代入得2m>m2，解得0<m<2，由得k2>0，解得m>，故所求的m的取值范圍是.(ii)當k0時，|AM|AN|，APMN，m2<3k21，解得1<m<1.綜上，當k0時，m的取值范圍是，當k0時，m的取值范圍是(1,1).