2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測(cè)4 立體幾何 文（含解析）一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(xx山東濰坊市質(zhì)檢)已知三條不同的直線m，n，l和兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A若mn，n，則mB若，m，nm，則nC若ln，mn，則lmD若l，m，且lm，則答案D解析若mn，n，則m或m，故A不正確；若，m，nm，則n與相交或n或n，故B不正確；若ln，mn，則l與m相交、平行或異面，故C不正確；若l，m，且lm，則由線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理知，故D正確2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為()A6B62C8D82答案D解析由三視圖可知該幾何體為一橫放的直三棱柱，其中底面正對(duì)觀察者，為一直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為1,2，棱柱的高為2，故其表面積S(21)22182.3如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體的體積是()A2B4C6D8答案D解析由圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體，VV圓柱V圓錐2232238，故選D4.在正四面體(棱長(zhǎng)都相等的四面體)ABCD中，棱長(zhǎng)為4，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)(P不與A、M重合)，過(guò)點(diǎn)P作直線l平面ABC，l與平面BCD交于點(diǎn)Q，給出下列命題：BC平面AMD；Q點(diǎn)一定在直線DM上；VCAMD4.其中正確的是()ABCD答案A解析由BCAM，BCMD，可得BC平面AMD，即正確；由BC平面AMD可得平面AMD平面ABC，則若過(guò)P作直線l平面ABC，l與平面BCD交于點(diǎn)Q，Q點(diǎn)一定在直線DM上，即正確；由VCAMDVCABD43，即不正確，綜上可得正確的命題序號(hào)為，故應(yīng)選A.5(xx淄博市質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.BC.Da3答案A解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)圓錐的，其中圓錐的底面圓的半徑為a，高為2a，所以該幾何體的體積V(a22a).故選A.6已知、是三個(gè)不重合的平面，m、n是不重合的直線，下列判斷正確的是()A若，則B若，l，則lC若m，n，則mnD若m，n，則mn答案D解析A錯(cuò)，兩平面還可垂直；B錯(cuò)，還可能有l(wèi)；C錯(cuò)，兩直線m，n的位置關(guān)系不確定；D正確，垂直于同一平面的兩直線互相平行7(xx臨沂八校質(zhì)檢)若四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，且PD垂直于底面ABCD，N為PB的中點(diǎn)，則三棱錐PANC與四棱錐PABCD的體積之比為()A.BC.D答案D解析本題考查空間幾何體的體積四棱錐PABCD的體積易求，關(guān)鍵是把三棱錐PANC的體積用四棱錐PABCD的高和底面積表示出來(lái)設(shè)正方形ABCD的面積為S，PDh，則所求體積之比為.8.如圖，正ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知AED是AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是()A動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的投影在線段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱錐AFED的體積有最大值D異面直線AE與BD不可能垂直答案D解析由題意，DE平面AGA，A、B、C正確，故選D9在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面A1DM的距離為()A.aBaC.aDa答案A解析設(shè)點(diǎn)C到平面A1DM的距離為h，則由已知得DMA1Ma，A1Da，SA1DMaa2，連接CM，SCDMa2，由VCA1DMVA1CDM，得SA1DMhSCDMa，即a2ha2a，得ha，所以點(diǎn)C到平面A1DM的距離為a，選A.10(xx河南六市聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是()A1B2C3D4答案D解析由三視圖知該幾何體是如圖所示的四棱錐PABCD，其中底面ABCD是直角梯形，側(cè)面ABP是Rt，且側(cè)面PAB底面ABCD，故其體積為V(24)224.11(xx濰坊市質(zhì)檢)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，棱SC是球O的直徑且SC2，則此三棱錐的體積為()A.BC.D答案A解析過(guò)點(diǎn)B作BDSC于點(diǎn)D，連接AD，因?yàn)镾BCSAC，所以ADSC，又BDADD，所以SC平面ABD，因?yàn)镾BBC，SC2，BC1，所以BDADsin60，又AB1，所以SABD1，所以V三棱錐SABCSABDSC2.12如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為1, E、F分別是棱AA、CC的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB、DD交于M、N，設(shè)BMx，x0,1，給出以下四個(gè)命題：平面MENF平面BDDB；當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，四邊形MENF的面積最小； 四邊形MENF周長(zhǎng)Lf(x)，x0,1是單調(diào)函數(shù)；四棱錐CMENF的體積Vh(x)為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號(hào)為()AB CD答案C解析AC平面BDDB，EFAC，EF平面BDDB，正確；EF為所在棱的中點(diǎn)，由對(duì)稱性及條件知四邊形EMFN為菱形，其面積隨著對(duì)角線MN的增大而增大，當(dāng)x時(shí)，M為BB的中點(diǎn)，此時(shí)MN取最小值，正確，錯(cuò)誤；V四棱錐CMENF2VCMEF2VEMFC為常數(shù)，Vh(x)為常函數(shù)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐PABC的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積的比值為_答案1解析依題意得三棱錐PABC的主視圖與左視圖均為三角形，且這兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)都等于正方體的棱長(zhǎng)，底邊上的高也都相等，因此三棱錐PABC的主視圖與左視圖的面積之比等于1.14一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案30解析本題考查三視圖及柱體體積公式由三視圖知該幾何體由一個(gè)棱長(zhǎng)為3,4,2的長(zhǎng)方體和一個(gè)底面是直角梯形高為4的直棱柱組成，則體積V3421430.15已知四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，點(diǎn)E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則棱AB與PD所在直線垂直；平面PBC與平面ABCD垂直；PCD的面積大于PAB的面積；直線AE與平面BF是異面直線以上結(jié)論正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))答案解析由條件可得AB平面PAD，ABPD，故正確；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，從而PAPB，這是不可能的，故錯(cuò)；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PD>PA知正確；由E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE與BF共面，錯(cuò)，故填.16(xx邯鄲一模)已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2沿AC折成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求此時(shí)三棱錐外接球的體積_答案解析在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，AB2，AD1，CD1，AC，BC，BCAC，取AC的中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)O，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面DCA平面ACB，OAOBOCOD，OB1，VR3.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿分10分)在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC1，AB4，BC2，CBA30.(1)求證：ACPB；(2)當(dāng)PD2時(shí)，求此四棱錐的體積解析(1)PC平面ABCD，PCAC，又CBA30，BC2，AB4，AC2，AC2BC241216AB2，ACB90，故ACBC.又PC、BC是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線，故AC平面PBC，ACPB(2)當(dāng)PD2時(shí)，作CEAB交AB于E，在RtCEB中，CECBsin302，又在RtPCD中，DC1，PC，VPABCDPCSABCD(14).18(本題滿分12分)(xx山西太原檢測(cè))如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)(1)求證：AC平面BDEF；(2)求證：平面BDGH/平面AEF；(3)求多面體ABCDEF的體積解析(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以ACBD又因?yàn)槠矫鍮DEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD，所以AC平面BDEF.(2)證明：在CEF中，因?yàn)镚、H分別是CE、CF的中點(diǎn)，所以GHEF，又因?yàn)镚H平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.設(shè)ACBDO，連接OH，在ACF中，因?yàn)镺AOC，CHHF，所以O(shè)HAF，又因?yàn)镺H平面AEF，AF平面AEF，所以O(shè)H平面AEF.又因?yàn)镺HGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(3)解：由(1)，得AC平面BDEF，又因?yàn)锳O，四邊形BDEF的面積SBDEF326，所以四棱錐ABDEF的體積V1AOSBDEF4.同理，四棱錐CBDEF的體積V24.所以多面體ABCDEF的體積VV1V28.19(本題滿分12分)(xx洛陽(yáng)市期末) 如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是PD的中點(diǎn)，且AB2，BAD60.(1)求證：OM平面PAB；(2)求證：平面PBD平面PAC；(3)當(dāng)三棱錐MBCD的體積等于時(shí)，求PB的長(zhǎng)解析(1)在PBD中，O、M分別是BD、PD的中點(diǎn)，OM是PBD的中位線，OMPB，OM平面PAB，PB平面PAB，OM平面PAB(2)PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD底面ABCD是菱形，BDAC，AC平面PAC，PA平面PAC，ACPAA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC，(3)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，M是PD的中點(diǎn)，所以VMBCDVMABCDVPABCD，從而VPABCD.又AB2，BAD60，所以S菱形ABCD2.四棱錐PABCD的高為PA，2PA，得PA，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB在RtPAB中，PB.20(本題滿分12分)(xx威海兩校質(zhì)檢)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA2，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)(1)求四棱錐PABCD的體積；(2)如果E是PA的中點(diǎn)，求證PC平面BDE；(3)是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE？證明你的結(jié)論解析(1)PA平面ABCD，VPABCDS正方形ABCDPA122.即四棱錐PABCD的體積為.(2)連接AC交BD于O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，O是AC的中點(diǎn)又E是PA的中點(diǎn)，PCOE.PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.(3)不論點(diǎn)E在何位置，都有BDCE.證明如下：四邊形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA.又ACPAA，BD平面PAC.不論點(diǎn)E在何位置，都有CE平面PAC.不論點(diǎn)E在何位置，都有BDCE.21(本題滿分12分)(xx海淀區(qū)期末)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，又ADBC，ADDC，且BCPD3AD3.(1)畫出四棱錐PABCD的正視圖；(2)求證：平面PAD平面PCD；(3)求證：棱PB上存在一點(diǎn)E，使得AE平面PCD，并求的值解析(1)四棱錐PABCD的正視圖如圖所示(2)證明：因?yàn)镻D平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD因?yàn)锳DDC，PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AD平面PCD因?yàn)锳D平面PAD，所以平面PAD平面PCD(3)證明：當(dāng)時(shí)，AE平面PCD理由如下：分別延長(zhǎng)CD，BA交于點(diǎn)O，連接PO.因?yàn)锳DBC，BC3AD，所以，即.所以，所以AEOP.因?yàn)镺P平面PCD，AE平面PCD，所以AE平面PCD22(本題滿分12分)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1BC，AC1平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)(1)求證：B1C平面A1BD；(2)求證：B1C1平面ABB1A1；(3)在CC1上是否存在一點(diǎn)E，使得BA1E45，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析(1)連接AB1，交A1B于M，則MD就是平面A1BD內(nèi)與B1C平行的直線；(2)需在平面ABB1A1中找兩條相交直線都與B1C1垂直，由直三棱柱的概念，知BB1B1C1，另一條的尋找，從AC1平面A1BD，以平行四邊形ABB1A1為正方形入手，證明A1B平面AB1C1從而得出A1BB1C1.(3)用余弦定理解A1BE.解析(1)連接AB1與A1B相交于M，則M為AB1的中點(diǎn)連接MD，又D為AC的中點(diǎn)，B1CMD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD(2)ABB1B，平行四邊形ABB1A1為正方形，A1BAB1.又AC1平面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)設(shè)ABa，CEx，B1C1A1B1，在RtA1B1C1中有A1C1a，同理A1Ba，C1Eax，A1E，BE，在A1BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45，即a2x22a2x23a22ax2a，2ax，xa，即E是C1C的中點(diǎn)，D、E分別為AC、C1C的中點(diǎn)，DEAC1.AC1平面A1BD，DE平面A1BD又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.方法點(diǎn)撥空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為線線垂直線面垂直面面垂直