2019-2020年高二數(shù)學(xué)數(shù)列 極限 數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案 人教版教學(xué)目標(biāo)1牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過程2通過事例，學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的思想方法3培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，和分析問題、解決問題的能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇及解題技巧教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)回顧師：上次課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)想“多米諾骨牌”游戲，說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？生：數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法設(shè)要證命題為P（n）（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（kN且kn0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確師：演示小黑板或運(yùn)用投影儀講評(píng)作業(yè)（講評(píng)作業(yè)的目的是從錯(cuò)誤中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵）作業(yè)中用數(shù)學(xué)歸納法證明：2+4+6+8+2n=n（n+1）如采用下面的證法，對(duì)嗎？證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，則等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)（kN，k1），等式成立，即2+4+6+2k=k（k+1）當(dāng)n=k+1時(shí)，2+4+6+2k+（k+1）所以n=k+1時(shí)，等式也成立根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，原等式都能成立生甲：證明過程正確生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)榈诙阶C明時(shí)，沒有應(yīng)用歸納假設(shè)師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學(xué)歸納法，但實(shí)質(zhì)在要證明n=k+1正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特點(diǎn)遞推性，所以不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法因此告誡我們?cè)谶\(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，不能機(jī)械套用兩個(gè)步驟，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)（課堂上講評(píng)作業(yè)，指出學(xué)生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)掃清障礙，使學(xué)生引以為戒，所謂溫故而知新）（二）講授新課師：在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用（板書）例1已知x-1，且x0，nN，n2求證：（1+x）n1+nx師：首先驗(yàn)證n=2時(shí)的情況（板書）證：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x20，則原不等式成立（在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊右邊，關(guān)鍵在于x20是由已知條件x0獲得，為下面證明做鋪墊）（2）假設(shè)n=k時(shí)（k2），不等式成立，即（1+x）k1+kx師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）k+11+（k+1）x，請(qǐng)同學(xué)考慮生：因?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因?yàn)閤-1（已知），所以1+x0于是（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x顯然，上式中“=”不成立故只需證：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x提問：證明不等式的基本方法有哪些？生甲：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法（提問的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時(shí)，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）生乙：證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比較法（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20（因x0，則x20）所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x生丙：也可采用綜合法的放縮技巧（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2因?yàn)閗x20，所以1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）1+（1+k）x成立生丁：（學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)總結(jié)）師：這些方法，哪種更簡便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生丙用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫（板書）將例1的格式完整規(guī)范當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤-1，所以1+x0，于是左邊=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2；右邊=1+（k+1）x因?yàn)閗x20，所以左邊右邊，即（1+x）k+11+（k+1）x這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立根據(jù)（1）和（2），原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立（通過例1的講解，明確在第二步證明過程中，雖然可以采取證明不等式的有關(guān)方法，但為了書寫更流暢，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)，通常經(jīng)歸納假設(shè)后，要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的）師：下面再舉例子，來說明合理放縮的重要性（板書）例2證明：2n+2n2，nN+師：（1）當(dāng) n=1時(shí)，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊右邊所以原不等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)（k1且kN）時(shí)，不等式成立，即2k+2k2現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們考慮n=k+1時(shí)，如何論證2k+1+2（k+1）2成立生：利用歸納假設(shè)2k+1+2=22k+2=2（2k+2）-22k2-2師：將不等式2k2-2（k+1）2，右邊展開后得：k2+2k+1，由于轉(zhuǎn)化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3由此不難看出，只需證明k2-2k-30，不等式2k2-2k2+2k+1即成立生：因?yàn)閗2-2k-3=（k-3）（k+1），而kN，故k+10，但k-30成立的條件是k3，所以當(dāng)kN時(shí)，k-30未必成立師：不成立的條件是什么？生：當(dāng)k=1，2時(shí)，不等式k-30不成立師：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用歸納法，將其逐一驗(yàn)證原命題成立，因此在證明第一步中，應(yīng)補(bǔ)充驗(yàn)證n=2時(shí)原命題成立，那么，n=3時(shí)是否也需要論證？生：n=3需要驗(yàn)證，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法中的第一步驗(yàn)證是第二步歸納假設(shè)的基礎(chǔ)，而第二步中對(duì)于k是大于或等于3才成立，故在驗(yàn)證時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證n=3時(shí)，命題成立師：（補(bǔ)充板書）當(dāng)n=2時(shí)，左=22+2=6，右=22=4，所以左右；當(dāng)n=3時(shí)，左=23+2=10，右=32=9，所以左右因此當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立（以下請(qǐng)學(xué)生板書）（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k3且kN）時(shí)，不等式成立即2k+2k2因?yàn)?k+1+2=22k+2=2（2k+2）-22k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k3，則k-30，k+10）k2+2k+1=（k+1）2所以2k+1+2（k+1）2故當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)（1）和（2），原不等式對(duì)于任何nN都成立師：通過例2可知，在證明n=k+1時(shí)命題成立過程中，針對(duì)目標(biāo)k2+2k+1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍（k1）太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟（把驗(yàn)證n=1擴(kuò)大到驗(yàn)證n=1，2，3）的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo)（板書）例3求證：當(dāng)n2時(shí)，（由學(xué)生自行完成第一步的驗(yàn)證；第二步中的假設(shè)，教師應(yīng)重點(diǎn)講解n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化過程）師：當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式的左邊表達(dá)式是怎樣的？生：當(dāng)n=k+1時(shí)，k項(xiàng)，應(yīng)是第2k項(xiàng)，數(shù)列各項(xiàng)分母是連續(xù)的自然數(shù)，最后一項(xiàng)是以3k在3k后面還有3k+1、3k+2最后才為3k+3即3（k+1），所以正確（在這里，學(xué)生極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的思維定勢認(rèn)為從n=k到n=k+1時(shí)，只增加一項(xiàng)，求和式中最后一項(xiàng)即為第幾項(xiàng)的通項(xiàng)，教師在這里要著重分析，化解難點(diǎn)）運(yùn)算，應(yīng)針對(duì)問題的特點(diǎn)，巧妙合理地利用“放縮技巧”，使問題獲得簡捷的證明：（板書略）師：設(shè)S（n）表示原式左邊，f（n）表示原式右邊，則由上面的證法可知，從n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化途徑是：要注意：這里 S（k）不一定是一項(xiàng)，應(yīng)根據(jù)題目情況確定（三）課堂小結(jié)1用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)3數(shù)學(xué)歸納法也不是萬能的，也有不能解決的問題錯(cuò)誤解法：（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，則n=k+1時(shí)，不等式也成立根據(jù)（1）（2），原不等式對(duì)nN+都成立（四）課后作業(yè)1課本P121：5，P122：62證明不等式：（提示：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即那么，這就是說，n=k+1時(shí)，不等式也成立根據(jù)（1）（2）可知不等式對(duì)nN+都成立）3對(duì)于任意大于1的自然數(shù)n，求證：（提示：（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即這就是說，n=k+1時(shí)，原不等式成立根據(jù)（1），（2）可知，對(duì)任意大于1的自然數(shù)n，原不等式都成立）用數(shù)學(xué)歸納法證明式：（1）當(dāng)n=3時(shí)，式成立（2）假設(shè) n=k（k3，kN）時(shí)，式成立，即2k2k+1那么2k+1=2k22（2k+1）=2（k+1）+1+（2k-1）2（k+1）+1（因k3，則2k-150）這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，式也成立根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)一切nN，n3式都成立，即f課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1數(shù)歸法是以皮亞諾的歸納公理作為依據(jù)，把歸納法與演繹法結(jié)合起來的一種完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想在教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生明確這兩個(gè)步驟的關(guān)系：第一步是遞推的基礎(chǔ)；第二步是遞推的依據(jù)，缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤為了取得良好的教學(xué)效果，不妨利用“多米諾骨牌”游戲來加深這兩步驟之間的關(guān)系的理解，在演示時(shí)，應(yīng)分三種情況：（1）推倒第一張，接著依次倒下直至最后一張；（2）推倒第一張，中途某處停止，最后一張不倒；（3）第一張不倒，后面不管能否推倒，都不會(huì)全部倒下通過具體生動(dòng)的模型，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個(gè)不等式間的差異，以決定n=k時(shí)不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明3要注意：在證明的第二步中，必須利用“n=k時(shí)命題成立”這一歸納假設(shè)，并且由f（k）到 f（k+1），并不總是僅增加一項(xiàng)，如例2，4要教會(huì)學(xué)生思維，離開研究解答問題的思維過程幾乎是不可能的，因此在日常教學(xué)中，尤其是解題教學(xué)中，必須把教學(xué)集中在問題解答者解答問題的整個(gè)過程上，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)作問題解答過程的框圖，因?yàn)橛梦淖?、符?hào)或圖表簡明地表達(dá)解答過程或結(jié)果的能力，敘述表達(dá)自己解題思路的能力，這也是問題解答所必需的