2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時(shí)訓(xùn)練21 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題 理1(xx高考重慶卷)如圖，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1|PQ|，求橢圓的離心率e.解：(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2.即c，從而b1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)方法一：連接F1Q，如圖，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，且PF1PF2，則1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|>|PF2|得x0>0，從而|PF1|2(c)22(a2b2)2a(a)2.由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.從而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|，又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.方法二：如圖，由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，從而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，則|PF1|2(2)a，從而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e.2(xx石家莊市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線x相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)P是曲線E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B、C在y軸上，PBC的內(nèi)切圓的方程為(x1)2y21，求PBC面積的最小值解：(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線x的距離，由拋物線的定義可知，曲線E的方程為y22x.(2)法一：設(shè)P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直線PB的方程為：(y0b)xx0yx0b0，又圓心(1,0)到PB的距離為1，所以1，整理得：(x02)b22y0bx00，同理可得：(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22y0xx00的兩根，所以bc，bc，依題意bc<0，即x0>2，則(bc)2，因?yàn)閥2x0，所以|bc|，所以S|bc|x0(x02)48，當(dāng)x04時(shí)上式取得等號(hào)，所以PBC面積的最小值為8.法二：設(shè)P(x0，y0)，直線PB：yy0k(xx0)，由題知PB與圓(x1)2y21相切，則1，整理得：(x2x0)k22(1x0)y0ky10，k1k2，k1k2，依題意x0>2，則|yByC|(y0k1x0)(y)k2x0|k1k2|x0，又|k1k2|，則|yByC|，所以S|yByC|x0|(x02)48，當(dāng)且僅當(dāng)x04時(shí)上式取得等號(hào)，所以 PBC面積的最小值為8.3(xx長(zhǎng)春市高三模擬)在ABC中，頂點(diǎn)B(1,0)，C(1,0)，G，I分別是ABC的重心和內(nèi)心，且.(1)求頂點(diǎn)A的軌跡M的方程；(2)過(guò)點(diǎn)C的直線交曲線M于P，Q兩點(diǎn)，H是直線x4上一點(diǎn)，設(shè)直線CH，PH，QH的斜率分別為k1，k2，k3，試比較2k1與k2k3的大小，并加以證明解：(1)由題意知SABC(|AB|AC|BC|)r|BC|yA|，且|BC|2，|yA|3r，其中r為內(nèi)切圓半徑， 化簡(jiǎn)得：|AB|AC|4，頂點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓(去掉長(zhǎng)軸端點(diǎn))，其中a2，c1，b，所以軌跡M的方程為1(y0)(2)2k1k2k3，以下進(jìn)行證明：當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ：yk(x1)且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，H(4，m)，聯(lián)立可得x1x2，x1x2.由題意：k1，k2，k3.k2k32k1.當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不妨取P，Q，則k2k32k1.綜上可得2k1k2k3.4(xx洛陽(yáng)市高三模擬)設(shè)M是焦距為2的橢圓E：1(a>b>0)上一點(diǎn)，A，B是其左、右頂點(diǎn)，直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，且k1k2.(1)求橢圓E的方程；(2)已知橢圓E：1(a>b>0)上點(diǎn)N(x0，y0)處切線方程為1，若與橢圓E相切于C(x1，y1)，D(x2，y2)兩點(diǎn)的切線相交于P點(diǎn)，且0.求證：點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為定值(1)解：由題意，2c2，c1，A(a,0)，B(a,0)，設(shè)M(x，y)，k1k2，即.M(x，y)在橢圓上，1.，a22b2.又a2b2c21，a22，b21.橢圓E的方程為y21.(2)證明：依題意，切線PC，PD的方程分別為y1y1，y2y1，即x1x2y1y2，x2x2y2y2.由，得P，0，PCPD，1，即x1x24y1y2.C，D在橢圓E上，x2y2，x2y2.x22y，x22y.|PO|2.x1x24y1y2，xx16yy.即(22y)(22y)16yy，(1y)(1y)4yy，得yy.|OP|23.|PO|，P到原點(diǎn)的距離為定值.