2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列問(wèn)題的題型與方法教案 蘇教版一復(fù)習(xí)目標(biāo)：1 能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解題；2能熟練地求一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)的和；3使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題；4通過(guò)解決探索性問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力5在解綜合題的實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類(lèi)知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力6培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法二考試要求：1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題。3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。4數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問(wèn)題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決。三教學(xué)過(guò)程：（）基礎(chǔ)知識(shí)詳析1可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證都成立。3.在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng),d<0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng),d>0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。5注意事項(xiàng)：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明或而得。在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。對(duì)于一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。注意一些特殊數(shù)列的求和方法。注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=，=數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略通過(guò)解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問(wèn)題，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力（）范例分析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(2)過(guò)點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線(xiàn)12，設(shè)l與l的夾角為，證明：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列a的公差d0，所以Kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線(xiàn)l的方程為y-a=d(x-1)，直線(xiàn)l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32當(dāng)n2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說(shuō)明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用例3已知數(shù)列a是首項(xiàng)a10，q-1且q0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列b的通項(xiàng)b=a-ka(nN)，數(shù)列a、b的前n項(xiàng)和分別為S，T如果TkS對(duì)一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析：由探尋T和S的關(guān)系入手謀求解題思路。解：因?yàn)閍是首項(xiàng)a0，公比q-1且q0的等比數(shù)列，故a=aq，a=aq所以 b=a-ka=a(q-kq)T=b+b+b=(a+a+a)(q-kq)=S(q-kq)依題意，由TkS，得S(q-kq)kS， 對(duì)一切自然數(shù)n都成立當(dāng)q0時(shí)，由a10，知a0，所以S0；當(dāng)-1q0時(shí)，因?yàn)閍10，1-q0，1-q0，所以S=綜合上面兩種情況，當(dāng)q-1且q0時(shí)，S0總成立由式可得q-kqk ，例4從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元.寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?解析：第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800（1-）萬(wàn)元，第n年投入800（1）n1萬(wàn)元所以總投入an800800（1）800（1）n140001（）n同理：第1年收入400萬(wàn)元，第2年收入400（1）萬(wàn)元，第n年收入400（1）n1萬(wàn)元bn400400（1）400（1）n11600（）n1(2)bnan0，1600（）n140001（）n0化簡(jiǎn)得，5（）n2（）n70設(shè)x（）n，5x27x20x，x1（舍)即（）n，n5.說(shuō)明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用題重點(diǎn)在過(guò)好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問(wèn)題情景”中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。例5設(shè)實(shí)數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記，求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)都有=解：。記+得說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。解法一：設(shè)等差數(shù)列a的首項(xiàng)a=a，公差為d，則其通項(xiàng)為根據(jù)等比數(shù)列的定義知S0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依題意，得例7設(shè)二次方程x-+1x+1=0(nN)有兩根和，且滿(mǎn)足6-2+6=3(1)試用表示a；例8在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線(xiàn)列中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于軸，第條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線(xiàn)相切于的直線(xiàn)的斜率為，求：。設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式。解：（1）（2）的對(duì)稱(chēng)軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例9數(shù)列中，且滿(mǎn)足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故（3）若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。例10如圖，在y軸的正半軸上依次有點(diǎn)其中點(diǎn)，且，在射線(xiàn)上依次有點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），且用含的式子表示；用含的式子表示的坐標(biāo)；求四邊形面積的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐標(biāo)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列（3）連接，設(shè)四邊形的面積為，則單調(diào)遞減.的最大值為.說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例11設(shè)正數(shù)數(shù)列a為一等比數(shù)列，且a=4，a=16說(shuō)明：試題涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力例12已知拋物線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)作斜率1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，再過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小解：（1）因?yàn)椤⒃趻佄锞€(xiàn)上，故，又因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，即，代入可得，故是以為公比的等比數(shù)列；（2），故只要比較與的大小方法（一），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，方法（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中假設(shè)時(shí)有,則當(dāng)時(shí),.a)，是公差為-1的等差數(shù)列，又2a-a，2a-a，2a-a，(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；(2)計(jì)算(a+a+a)分析：由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關(guān)項(xiàng)構(gòu)成，分別求出它們的通項(xiàng)公式構(gòu)造關(guān)于a的方程組解：(1)設(shè)b=log(3a-a)，因?yàn)閎n是等差數(shù)列，d=-1b1=log3a-a2 設(shè)c=2a-a，c是等比數(shù)列，公比為q，|q|1，c=2a-a=例14等比數(shù)列a中，已知a10，公比q0，前n項(xiàng)和為S，自然數(shù)b，c，d，e滿(mǎn)足bcde，且b+e=c+d求證：SSSS分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)Sn的問(wèn)題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時(shí)，正確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵(證明不等式首選方法是差比較法，即作差變形判定符號(hào)，變形要有利于判定符號(hào))be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因?yàn)閏e，de，所以c-e0，e-d0，于是(c-e)(e-d)0又同理(要比較SS與SS的大小，只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小，仍然運(yùn)用差比較法)(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關(guān)鍵，利用給定的c+d=b+e，尋求變形的途徑，c=b+e-d，d、e出現(xiàn)了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)恒等變形只有目標(biāo)明確，變形才能有方向)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)因?yàn)閝0所以q-d0(運(yùn)用函數(shù)的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號(hào))事實(shí)上，由bde，q0，當(dāng)0q1時(shí)，y=qx是減函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0；當(dāng)q1時(shí)，y=qx是增函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0所以無(wú)論0q1還是q1，都有qe-qd與qb-qd異號(hào)，即(qe-qd)(qb-qd)0綜上所述，無(wú)論q=1還是q1，都有SSSS說(shuō)明：復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對(duì)知識(shí)的深化，對(duì)能力的提高、關(guān)鍵在落實(shí)根據(jù)上面所研究的問(wèn)題，進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問(wèn)題的能力例15（北京高考）如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為.（）證明是等比數(shù)列；（）求的值.（）證明：記rn為圓On的半徑，則 所以故成等比數(shù)列.（）解：因?yàn)樗哉f(shuō)明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力.例16（xx年北京春季高考20）下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：47（）（）（）712（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。（I）寫(xiě)出的值；（II）寫(xiě)出的計(jì)算公式；（III）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。解：（I）（II）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此（III）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得從而即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而可見(jiàn)N在該等差數(shù)陣中。綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。（）、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)S和T分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意nN， （ ）A43B32C74D78712一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n等于 （ ）A5 B6C7 D83若數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)4設(shè)在等比數(shù)列中，求及5根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式6數(shù)列的前項(xiàng)和為不等于0，1的常數(shù))，求其通項(xiàng)公式7某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到xx年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從xx年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。（1）設(shè)全縣面積為1，xx年底綠化面積為經(jīng)過(guò)年綠化總面積為求證（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？8（xx年春招試題）已知點(diǎn)的序列（，0），其中=0，A3是線(xiàn)錢(qián)A1A2的中點(diǎn)，A4是線(xiàn)段A2A3的中點(diǎn)，An是線(xiàn)段的中點(diǎn)，。（I）寫(xiě)出與、之間的關(guān)系式（3）（II）設(shè)，計(jì)算，由此推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并加以證明。9(94年全國(guó)理)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)所有自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).(1)寫(xiě)出數(shù)列an的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程)；(3)令bn=(nN)，求：b1+b2+bn-n.（）、參考答案1解：設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列分別為an和bn故選擇A說(shuō)明：注意巧妙運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)來(lái)反映等差數(shù)列的通項(xiàng)an與前2n-1項(xiàng)和S2n-1的內(nèi)在聯(lián)系2解：依題意知數(shù)列單調(diào)遞減，公差d0因?yàn)镾3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0，故當(dāng)n=7時(shí)，a70，a80選擇C解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用3解：多次運(yùn)用迭代，可得4解：，又，由以上二式得 或；由此得或.說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運(yùn)算和方程思想的應(yīng)用。5解：（1），（2）=又解：由題意，對(duì)一切自然數(shù)成立，（3）是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)求通項(xiàng)公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法。6解：由可得當(dāng)時(shí)，是公比為的等比數(shù)列. 又當(dāng)時(shí)，。說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)由有關(guān)與遞推式求，關(guān)鍵是利用與的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。7（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得故，故使得上式成立的最小為5，故最少需要經(jīng)過(guò)5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.8（I）解：當(dāng)n3時(shí)，（II）解：.由此推測(cè)。證法一：因?yàn)椋遥╪2）所以。證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：）（i）當(dāng)時(shí)，公式成立，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，公式成立，即成立。那么當(dāng)時(shí)，=式仍成立。根據(jù)（i）與（ii）可知，對(duì)任意，公式成立評(píng)注：本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。9解：(1)由題意=an0令n=1時(shí)，=S1=a1解得a1=2令n=2時(shí)有=a1+a2解得a2=6令n=3時(shí)有=S3=a1+a2+a3解得a3=10故該數(shù)列的前三項(xiàng)為2、6、10.(2)解法一：由(1)猜想數(shù)列an有通項(xiàng)公式an=4n-2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=4n-2(nN)1當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?1-22，又在(1)中已求得a1=2，所以上述結(jié)論正確.2假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論正確，即有ak=4k-2由題意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2由題意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+10，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2這就是說(shuō)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立.根據(jù)1，2上述結(jié)論對(duì)所有自然數(shù)n成立.解法二：由題意有，=(nN)整理得Sn=(an+2)2由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=（an+1+2)2-(an+2)2整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由題意知an+1+an0,所以an+1-an=4即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2,公差d=4，所以an=a1(n-1)d=2+4(n-1)即通項(xiàng)公式an=4n-2.(3)令cn=bn-1,則cn=b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=說(shuō)明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對(duì)于含自然數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.