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2.3傅里葉變換性質(zhì)及定理,個隨之確定，兩者是一一對應(yīng)的。在實(shí)際的信號分析,傅氏變換揭示了信號時間特性與頻率特性之間的聯(lián)系。,信號可以在時域中用時間函數(shù),表示，亦可以在頻域,中用頻譜密度函數(shù),表示；只要其中一個確定，另一,氏變換基本性質(zhì)及定理進(jìn)行討論就非常重要。,內(nèi)在聯(lián)系，我們也希望能簡化變換的運(yùn)算，為此對傅,的什么樣變化？反之亦然。除了明白信號時頻之間的,當(dāng)一個信號在時域中發(fā)生了某些變化，會引起頻域中,變換規(guī)律有更深入、具體的了解。例如我們希望清楚，,中，往往還需要對信號的時、頻特性之間的對應(yīng)關(guān)系、,一、傅里葉變換性質(zhì),1.線性,傅里葉變換的線性特性表示為,若,則,式中,,,,為任意常數(shù)。,,,,證 ：,利用傅氏變換的線性特性，可以將待求信號分解為若干,基本信號之和。,2. 時延（時移、移位）性,傅里葉變換的時延（移位）特性表示為,若,則,時延（移位）性說明波形在時間軸上時延，不改變信號,,,,證：,,線性相位。,振幅頻譜，僅使信號增加一,例2.3-1 求如圖2-15所示信號,的頻譜函數(shù),并作頻譜圖。,，,解,由上節(jié)門函數(shù)的變換,再由線性與時移性，得到,與門函數(shù)的關(guān)系為,,,,,,,0,的振幅、相位頻譜函數(shù)、如圖2-16所示。,3、頻移性,傅里葉變換的頻移(調(diào)制)特性表示為,若,則,證：,,頻移(調(diào)制)特性表明信號在時域中與復(fù)因子,,,,,,,,信號乘以,相乘，,則在頻域中將使整個頻譜搬移,。通信技術(shù)中的調(diào)制,是將頻譜在,附近的低頻信號乘以,，使其頻譜,搬移到,附近。反之，頻譜在,附近的高頻,使其頻譜搬移到,，其頻譜被搬移到附近，這就是解調(diào)。,變頻是將頻譜在,附近的信號,的應(yīng)用。,乘以,，,附近。這些都是頻移特性,實(shí)際調(diào)制解調(diào)的載波信號是正（余）弦信號，借助歐拉,這樣，若有,則,這正是調(diào)制解調(diào)過程中頻譜搬移情況，所以這一性質(zhì),公式正（余）弦信號可以表示為,,,也稱調(diào)制特性。,例2-4 求,解： 已知,的波形以及頻譜如圖2-17所示。,圖。,,的頻譜函數(shù)，并畫出頻譜,，利用頻移性,,,圖2-17 例2-4的波形及振幅、相位頻譜,0,,,,,0,,,,,,,-A,例2-5 求如圖2.-18所示,解,其中,,并作圖。,的,，,,,,則,,圖2.3-4,,A,,,,,,,,,,,,令,以及,如圖2-19所示。,0,,,,,4、尺度變換,傅里葉變換的尺度變換特性表示為,若,則,證：,F,，,,,,,,則,,令,代入上式,，,F,，,則,令,代入上式,，,F,綜合,兩種情況，尺度變換特性表示為,、,特別地，當(dāng),尺度特性說明，信號在時域中壓縮，頻域中就擴(kuò)展；反,其頻譜亦為原頻譜的折疊，即,。,,,,時，得到,的折疊函數(shù),，,寬無限，反之亦然。,的脈寬與頻寬成反比。一般來說時寬有限的信號，其頻,之，信號在時域中擴(kuò)展，在頻域中就一定壓縮；即信號,,,,,,,可以理解為信號波形壓縮（擴(kuò)展）,倍，信號隨時間,變化加快（慢）,倍，所以信號所包含的頻率分量增加,圖2-20表示了矩形脈沖及頻譜的展縮情況。,0,,,,0,,,0,,,,0,,,,,0,,,,5、時域微分特性,傅里葉變換的時域微分特性表示為,交換微、積分運(yùn)算次序,若,則,證：,所以,,,同理，可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換,,,6、時域積分特性,傅里葉變換的時域積分特性表示為,若,則,證：,特別地，當(dāng),F,,,時,,,,,,,從時域上看，一般當(dāng),利用積分特性可以簡化由折線組成的信號頻譜的求解。,，說明無直流分量 則,是無限區(qū)間可積時，即,。,0,,例2-6 求如圖2-21(a)所示,的頻譜函數(shù),。,,,,,,（a）,解：,0,(b),,,,,,,,,,如圖2-21(b)所示。,0,,,,,,,,,,如圖2-21(c)所示,,因?yàn)?最后,,,7、頻域微分特性,傅里葉變換的頻域微分特性表示為,若,則,一般頻域微分特性的實(shí)用形式為,對頻譜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)亦成立,或,,,,,證：,或,,,交換微、積分次序,,所以,同理可證高階導(dǎo)數(shù),或,,例2-7 求,解：利用,的頻譜函數(shù)。,，則,,,8、對稱（偶）性,傅里葉變換的對稱特性表示為,若：,則,或,證：,,,,,,,,特別地：當(dāng),或,是,的偶函數(shù)，那么,,,由上式看，在此條件下時域與頻域是完全對稱性關(guān)系。,(2-54),的信號，其時域函數(shù)必為,就是說，當(dāng),是偶函數(shù)時，如果的頻譜函數(shù)為,，,則頻譜為,。,例2-8 已知,解,圖2-22,0,,,,,如圖2-22所示，利用對稱性求,。,0,,,,,,其對應(yīng)的,例2-6的波形是如圖2-23所示的對稱三角波,即,比較圖2-22、2-23兩者變化規(guī)律相同，利用對稱性可以,則,得到(只差,很方便地求出,，因?yàn)橛蓤D可以看出，,只要將,中的,,,；,；就有,。這樣一來,亦可由,的,，,,數(shù))，即：,系,,,,利用對稱性可以由已知的一對傅氏變換對，方便的推出,利用對稱性，我們還可以得到任意周期信號的傅氏變換。,與之相關(guān)的另一對傅氏變換對，從而減少了大量的運(yùn)算。,例2.3-8 求,解 由時延特性，可得,的傅氏變換。,利用對稱性，將上式中的,，我們得到另一對變換對,變換成,、,變換成,，并乘以系數(shù),利用上面結(jié)果，可推導(dǎo)周期正、余弦函數(shù)的傅氏變換。,,,-1,-1,1,1,0,、,,的波形與頻譜如圖2-24 所示。,,,,,0,,,,,,,,,,,,,,,,利用的,的頻譜函數(shù)為,傅氏變換，我們還可以推導(dǎo)任意周期函數(shù),,,,F,F,F,證,F,例2.3-9 求周期單位沖激序列,解：先將周期單位沖激序列展開傅氏級數(shù),其中,的傅氏變換,,,,,,即：,再求這個級數(shù)的傅氏變換,F,,,,的頻譜函數(shù)如圖2-25b所示。,0,,,,,,,,,,單位周期沖激序列的傅氏變換仍為周期沖激序列。,9、奇、偶、虛、實(shí)性,為實(shí)函數(shù)時，,,的模與幅角、實(shí)部與虛部表示形式,為,,,,,,,,,,,其中,由上式可知,,,,,,是,、,,,，是,的偶函數(shù)；,、,的奇函數(shù)。,,,實(shí)偶函數(shù)。,,,,特別地,為實(shí)奇函數(shù)，則,虛奇函數(shù)。,10、時域卷積定理,傅里葉變換的時域卷積定理表示為,交換積分次序,利用時延性,若：,則,證：,,,由這個性質(zhì)，我們可將兩個時間函數(shù)的卷積運(yùn)算變?yōu)閮?求解信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)。,個頻譜函數(shù)的相乘(代數(shù))運(yùn)算。由此我們可以用頻域法,11.頻域卷積定理,傅里葉變換的頻域卷積定理表示為,若：,則,利用移頻性,證：,,交換積分次序,表3-1 傅氏變換性質(zhì)（定理）,序號 名稱 時域 頻域,1 線性,2、 延時,3、 尺度,4、 頻移性,5、時域微分,6、時域積分,7、頻域微分,8、對稱性,9、時域卷積,10頻域卷積,