2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件最新考綱1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義知 識(shí) 梳 理1四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系2充分條件、必要條件與充要條件的概念若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pq且qpp是q的必要不充分條件pq且qpp是q的充要條件pqp是q的既不充分也不必要條件pq且qp診 斷 自 測(cè)1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩PPT展示(1)“x22x80”是命題()(2)一個(gè)命題非真即假()(3)命題“三角形的內(nèi)角和是180”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是180”()(4)“a2”是“(a1)(a2)0”的必要不充分條件()(5)給定兩個(gè)命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件()2命題“若，則tan 1”的逆否命題是()A若，則tan 1B若，則tan 1C若tan 1，則D若tan 1，則解析命題的條件是p：，結(jié)論是q：tan 1.由命題的四種形式，可知命題“若p，則q”的逆否命題是“若q，則p”，顯然q：tan 1，p：，所以該命題的逆否命題是“若tan 1，則”答案C3(xx福建卷)已知集合A1，a，B1,2,3，則“a3”是“AB”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析a3時(shí)，A1,3，顯然AB.但AB時(shí)，a2或3.所以A正確答案A4(xx浙江卷)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以“四邊形ABCD為菱形”“ACBD”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分條件；又因?yàn)閷?duì)角線垂直的四邊形不一定是菱形，所以“ACBD” “四邊形ABCD為菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”不是“ACBD”的必要條件綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分不必要條件答案A5(人教A選修11P10練習(xí)4改編)下列命題：x2是x24x40的必要不充分條件；圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件；sin sin 是的充要條件；ab0是a0的充分不必要條件其中為真命題的是_(填序號(hào))答案考點(diǎn)一四種命題及其相互關(guān)系【例1】 (xx陜西卷)原命題為“若an，nN，則an為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A真，真，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假解析從原命題的真假入手，由于anan1anan為遞減數(shù)列，即原命題和逆命題均為真命題，又原命題與其逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，則其逆命題、否命題和逆否命題均為真命題答案A規(guī)律方法(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假(3)判斷一個(gè)命題為假命題可舉反例【訓(xùn)練1】 已知：命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則下列結(jié)論正確的是()A否命題是“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m1”，是真命題B逆命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”，是假命題C逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”，是真命題D逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”，是真命題解析由f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則f(x)exm0恒成立，m1.命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題答案D考點(diǎn)二充分、必要條件的判定與探求【例2 】 (1)(xx新課標(biāo)全國(guó)卷)函數(shù)f(x)在xx0處導(dǎo)數(shù)存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的極值點(diǎn)，則()Ap是q的充分必要條件Bp是q的充分條件，但不是q的必要條件Cp是q的必要條件，但不是q的充分條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件(2)ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是()A0a1Ba1Ca1D0a1或a0解析(1)設(shè)f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，在x0處不存在極值，故“若p，則q”是一個(gè)假命題，由極值點(diǎn)的定義可得“若q，則p”是一個(gè)真命題(2)法一當(dāng)a0時(shí)，原方程為一元一次方程2x10，有一個(gè)負(fù)實(shí)根當(dāng)a0時(shí)，原方程為一元二次方程，有實(shí)根的充要條件是44a0，即a1.設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，則x1x2，x1x2，當(dāng)只有一個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，a0；當(dāng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，綜上所述，a1.法二 (排除法)當(dāng)a0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，可以排除A，D；當(dāng)a1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，可以排除B.答案(1)C(2)C規(guī)律方法判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問(wèn)題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題【訓(xùn)練2】 (1)(xx北京卷)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“ab”是“a2b2”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件(2)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，則ab的充要條件是()AxBx1Cx5Dx0解析(1)令a1，b2，顯然ab，但a2b2；“ab”不是“a2b2”的充分條件令a2，b1，顯然a2b2，但ab，“ab”不是“a2b2”的必要條件“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要條件(2)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.答案(1)D(2)D考點(diǎn)三根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍【例3】 已知命題p：x22x30；命題q：xa，且q的一個(gè)充分不必要條件是p，則a的取值范圍是()A1，)B(，1C1，)D(，3解析由x22x30，得x3或x1，由q的一個(gè)充分不必要條件是p，可知p是q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件故a1.答案A規(guī)律方法解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象【訓(xùn)練3】 若x<m1或x>m1是x22x3>0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析由已知易得x|x22x3>0x|x<m1或x>m1，又x|x22x3>0x|x<1或x>3，或0m2.答案0,2思想方法1寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來(lái)寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來(lái)判定2命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價(jià)法：利用AB與BA，BA與AB，AB與BA的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，則“xA”是“xB”的充分條件或“xB”是“xA”的必要條件；若AB，則“xA”是“xB”的充要條件易錯(cuò)防范對(duì)于命題正誤的判斷是高考的熱點(diǎn)之一，理應(yīng)引起大家的關(guān)注，命題正誤的判斷可涉及各章節(jié)的內(nèi)容，覆蓋面寬，也是學(xué)生的易失分點(diǎn)命題正誤的判斷的原則是正確的命題要有依據(jù)或者給以論證；不一定正確的命題要舉出反例，絕對(duì)不要主觀臆斷，這也是最基本的數(shù)學(xué)邏輯思維方式.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析依題意，得原命題的逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)答案B2已知a，b，cR，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是()A若abc3，則a2b2c23B若abc3，則a2b2c23C若abc3，則a2b2c23D若a2b2c23，則abc3解析同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題答案A3命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是()A若xy是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B若xy是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若xy不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)解析由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C.答案C4(xx鄭州檢測(cè))已知直線l，m，其中只有m在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析當(dāng)l時(shí)，直線l與平面內(nèi)的直線m平行、異面都有可能，所以lm不成立；當(dāng)lm時(shí)，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知直線l，即“l(fā)”是“l(fā)m”的必要不充分條件，故選B.答案B5(xx云南統(tǒng)一檢測(cè))“l(fā)g xlg y”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析若lg xlg y，則xy0，有，所以充分性成立；反之，當(dāng)x0，y0時(shí)，有，但沒(méi)有l(wèi)g xlg y，所以必要性不成立，所以“l(fā)g xlg y”是“”的充分不必要條件，故選A.答案A6(xx成都二診)下列說(shuō)法正確的是()A命題“若x21，則x1”的否命題為“若x21，則x1”B命題“x0R，x1”的否定是“xR，x21”C命題“若xy，則cos xcos y”的逆否命題為假命題D命題“若xy，則cos xcos y”的逆命題為假命題解析A項(xiàng)中否命題為“若x21，則x1”，所以A錯(cuò)誤；B項(xiàng)中否定為“xR，x21”，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)槟娣衩}與原命題同真假，所以C錯(cuò)誤；易知D正確，故選D.答案D7(xx廣東卷)在ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“ab”是“sin Asin B”的()A充分必要條件B充分非必要條件C必要非充分條件D非充分非必要條件解析結(jié)合正弦定理可知，ab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B(R為ABC外接圓的半徑)故選A.答案A8(xx東北三省四市聯(lián)考)下列命題中真命題是()A“ab”是“a2b2”的充分條件B“ab”是“a2b2”的必要條件C“ab”是“ac2bc2”的必要條件D“ab”是“|a|b|”的充要條件解析由ab不能得知ac2bc2，當(dāng)c20時(shí)，ac2bc2；反過(guò)來(lái)，由ac2bc2可得a b.因此，“ab”是“ac2bc2”的必要不充分條件，故選C.答案C二、填空題9命題“若x2y2，則xy”的逆否命題是_答案“若xy，則x2y2”10“m<”是“一元二次方程x2xm0有實(shí)數(shù)解”的_條件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)解析x2xm0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于14m0，即m.答案充分不必要11函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是_解析已知函數(shù)f(x)x22x1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則m2；反之也成立所以函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是m2.答案m212下列命題：“全等三角形的面積相等”的逆命題；“若ab0，則a0”的否命題；“正三角形的三個(gè)角均為60”的逆否命題其中真命題的序號(hào)是_解析“全等三角形的面積相等”的逆命題為“面積相等的三角形全等”，顯然該命題為假命題；“若ab0，則a0”的否命題為“若ab0，則a0”，而由ab0，可得a，b都不為零，故a0，所以該命題是真命題；因?yàn)樵}“正三角形的三個(gè)角均為60”是一個(gè)真命題，故其逆否命題也是一個(gè)真命題答案能力提升題組(建議用時(shí)：15分鐘)13(xx天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)x，yR，則“x2y29”是“x3且y3”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析當(dāng)x4時(shí)滿足x2y29，但不滿足x3，所以充分性不成立；反之，當(dāng)x3且y3時(shí)，一定有x2y29，所以必要性成立，即“x2y29”是“x3且y3”的必要不充分條件，故選B.答案B14(xx臨沂模擬)已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A2，)B(2，) C1，)D(，1解析由q：(x1)(2x)0，得x1或x2，又p是q的充分不必要條件，所以k2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2，)，故選B.答案B15(xx湖南高考診斷)下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是()Ap：x1，q：x2xBp：|a|b|，q：a2b2Cp：xa2b2，q：x2abDp：acbd，q：ab且cd解析A中，x1x2x，x2xx0或x1x1，故p是q的充分不必要條件；B中，因?yàn)閨a|b|，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a2b2，反之也成立，故p是q的充要條件；C中，因?yàn)閍2b22ab，由xa2b2，得x2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要條件；D中，取a1，b1，c0，d3，滿足acbd，但是ab，cd，反之，由同向不等式可加性得ab，cdacbd，故p是q的必要不充分條件綜上所述，故選D.答案D16設(shè)nN*，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.解析已知方程有根，由判別式164n0，解得n4，又nN*，逐個(gè)分析，當(dāng)n1,2時(shí)，方程沒(méi)有整數(shù)根；而當(dāng)n3時(shí)，方程有整數(shù)根1,3；當(dāng)n4時(shí)，方程有整數(shù)根2.答案3或417已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一個(gè)充分不必要的條件是xA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析Ax|1x3，xB成立的一個(gè)充分不必要條件是xA，AB，m13，即m2.答案(2，)